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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de segundo grado incompletas

Recuerda: ecuaciones de segundo grado del tipo ax² + c = 0

Objetivo: Al terminar, sabrás escribir una ecuación de segundo grado en forma general, distinguir las completas de las incompletas y resolver las del tipo ax² + c = 0 (dos soluciones opuestas o ninguna).

Recuerda

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es la que, después de quitar paréntesis y denominadores y pasar todo a un miembro, se puede escribir en la forma general $ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0)$

$a$ es el coeficiente de $x^2$ , $b$ el de $x$ y $c$ el término independiente. Se leen con su signo: en $2x^2 - 3x - 5 = 0$ , $a = 2$ , $b = -3$ y $c = -5$ .
Si los tres coeficientes son distintos de 0, la ecuación es completa.
Si $b = 0$ o $c = 0$ (o los dos), es incompleta: $\;ax^2 + c = 0$ , $\;ax^2 + bx = 0$ , $\;ax^2 = 0$ .

Una ecuación de segundo grado tiene como mucho dos soluciones.

Antes de nada, reduce. Por ejemplo, $x(x + 3) = 3x + 16 \Rightarrow x^2 + 3x - 3x - 16 = 0 \Rightarrow x^2 - 16 = 0$ : es incompleta, con $a = 1$ , $b = 0$ , $c = -16$ .

Ecuaciones del tipo $ax^2 + c = 0$ (sin término en $x$ )

Se despeja $x^2$ y se extrae la raíz cuadrada. No olvides las dos raíces, la positiva y la negativa: $ax^2 + c = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = -\dfrac{c}{a} \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$

Si $x^2$ es igual a un número positivo: dos soluciones opuestas. Por ejemplo, $x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ o $x = -4$ , porque $4^2 = 16$ y $(-4)^2 = 16$ .
Si $x^2 = 0$ : una sola solución, $x = 0$ .
Si $x^2$ es igual a un número negativo: no tiene solución, porque el cuadrado de un número nunca es negativo.

Si la raíz no es exacta, da la solución exacta con la raíz y, si te lo piden, una aproximación: $x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5} \approx \pm 2{,}24$ (redondeando a las centésimas).

En los problemas, comprueba si las dos soluciones tienen sentido: una longitud o un tiempo no pueden ser negativos.

Puntos clave

Forma general: $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$ .
En $ax^2 + c = 0$ se despeja $x^2$ y se hace la raíz cuadrada.
Si $x^2$ es igual a un número positivo, hay dos soluciones opuestas: $\pm$ .
Si $x^2$ es igual a un número negativo, no hay solución.

Errores frecuentes

ErrorDar solo la solución positiva: $x^2 = 49 \Rightarrow x = 7$ .
Cómo corregirloTanto $7^2$ como $(-7)^2$ valen 49: las soluciones son $x = 7$ y $x = -7$ .
ErrorEscribir $x = \pm 3$ como solución de $x^2 = -9$ .
Cómo corregirloNingún número al cuadrado da un resultado negativo: $x^2 = -9$ no tiene solución.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos soluciones o ninguna numérico
Resuelve: a) $3x^2 - 48 = 0$ b) $2x^2 + 18 = 0$

Resolución
a) $3x^2 = 48 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm\sqrt{16} = \pm 4$ . Soluciones: $x_1 = 4$ , $x_2 = -4$ . Comprobación: $3 \cdot 16 - 48 = 0$ (vale para $4$ y para $-4$ ). ✔

b) $2x^2 = -18 \Rightarrow x^2 = -9$ . Ningún número al cuadrado es negativo: no tiene solución.
Ejemplo 2. El lado de una baldosa situación real
Una baldosa cuadrada tiene 900 cm² de área. ¿Cuánto mide su lado?

Resolución
Llamamos $x$ al lado: $x^2 = 900 \Rightarrow x = \pm 30$ .

La solución negativa no tiene sentido para una longitud: el lado mide 30 cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve: a) $x^2 - 49 = 0$ b) $5x^2 = 125$ c) $x^2 + 9 = 0$ d) $4x^2 - 9 = 0$ e) $2x^2 - 14 = 0$

Ver solución
a) $\pm 7$ b) $\pm 5$ c) Sin solución d) $\pm\dfrac{3}{2}$ e) $\pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65$
a) $x^2 = 49 \Rightarrow x = \pm 7$ b) $x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ c) $x^2 = -9$ : sin solución. d) $4x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = \dfrac{9}{4} \Rightarrow x = \pm\dfrac{3}{2}$ e) $x^2 = 7 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65$ (redondeado a centésimas)
2. Media
Si al cuadrado de un número le restas 11, obtienes 70. ¿Qué número puede ser?

Ver solución
9 o $-9$ .
$x^2 - 11 = 70 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x = \pm 9$ . Los dos valen: $9^2 - 11 = 70$ y $(-9)^2 - 11 = 70$ .

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve: a) $x^2 - 100 = 0$ b) $7x^2 = 63$ c) $3x^2 + 12 = 0$ d) $9x^2 - 4 = 0$ e) $x^2 - 12 = 0$

Ver solución
a) $\pm 10$ b) $\pm 3$ c) Sin solución d) $\pm\dfrac{2}{3}$ e) $\pm\sqrt{12} \approx \pm 3{,}46$
a) $x^2 = 100 \Rightarrow x = \pm 10$ b) $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ c) $x^2 = -4$ : sin solución. d) $x^2 = \dfrac{4}{9} \Rightarrow x = \pm\dfrac{2}{3}$ e) $x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm\sqrt{12} \approx \pm 3{,}46$ (redondeado a centésimas)
2. Media
Para alicatar una pared se usan 20 azulejos cuadrados iguales que cubren en total 0,8 m². ¿Cuánto mide el lado de cada azulejo? Da el resultado en centímetros.

Ver solución
20 cm
Área de cada azulejo: $x^2$ . Ecuación: $20x^2 = 0{,}8 \Rightarrow x^2 = 0{,}04 \Rightarrow x = \pm 0{,}2$ .

Como es una longitud, $x = 0{,}2$ m = 20 cm.