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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de segundo grado incompletas

Recuerda: ecuaciones de segundo grado del tipo ax² + bx = 0

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones de segundo grado incompletas sin término independiente sacando factor común, también cuando hay que reducirlas antes.

Recuerda

Ecuaciones del tipo $ax^2 + bx = 0$ (sin término independiente)

Saca factor común $x$ : $\;x\,(ax + b) = 0$
Si un producto vale 0, alguno de los factores vale 0 (si ninguno fuera 0, el producto tampoco lo sería): $x = 0 \qquad \text{o} \qquad ax + b = 0 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{b}{a}$

Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, y una de ellas es $x = 0$ .

¡Cuidado! No dividas los dos miembros entre $x$ : perderías la solución $x = 0$ .

Resumen de las incompletas

Tipo	Cómo se resuelve	Soluciones
$ax^2 = 0$	$x^2 = 0$	$x = 0$
$ax^2 + c = 0$	Despejar $x^2$ y hacer la raíz	$\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$ , o ninguna si $-\dfrac{c}{a} < 0$
$ax^2 + bx = 0$	Factor común $x$	$x = 0$ y $x = -\dfrac{b}{a}$

Reducir antes

Si la ecuación tiene paréntesis, cuadrados de binomios, denominadores o $x$ en los dos miembros, primero opera y pasa todo a un miembro, igualado a 0. Después mira qué tipo de ecuación queda. Por ejemplo: $(x + 5)^2 = 25 - x \;\Rightarrow\; x^2 + 10x + 25 = 25 - x \;\Rightarrow\; x^2 + 11x = 0$

Lo que dice la gráfica

Las soluciones de $ax^2 + bx = 0$ son los valores de $x$ en los que la parábola $y = ax^2 + bx$ corta al eje $X$ (donde $y = 0$ ). Siempre pasa por el origen, porque $x = 0$ es solución.

Puntos clave

En $ax^2 + bx = 0$ se saca factor común $x$ .
Si un producto es 0, alguno de los factores es 0: $x = 0$ o $ax + b = 0$ .
Siempre hay dos soluciones y una es $x = 0$ .
Nunca dividas entre $x$ : se pierde la solución $x = 0$ .

Errores frecuentes

ErrorDividir entre $x$ : $5x^2 = 15x \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$ .
Cómo corregirloPasa todo a un miembro y saca factor común: $5x^2 - 15x = 0 \Rightarrow 5x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 3$ .
ErrorIgualar el factor común $3x$ a 0 y escribir $x = 3$ .
Cómo corregirlo $3x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{0}{3} = 0$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Factor común numérico
Resuelve $3x^2 - 12x = 0$ .

Resolución
Factor común $3x$ : $3x\,(x - 4) = 0$
- $3x = 0 \Rightarrow x = 0$
- $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
Soluciones: $x_1 = 0$ , $x_2 = 4$ . Comprobación con $x = 4$ : $3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 = 0$ . ✔
Ejemplo 2. El salto de un delfín situación real
En el Zoo Aquarium de Madrid, un delfín salta fuera del agua. Su altura sobre la superficie, en metros, a los $t$ segundos de salir es aproximadamente $h = 6t - 5t^2$ . ¿Cuánto tiempo está fuera del agua?

Resolución
Está en la superficie cuando $h = 0$ : $6t - 5t^2 = 0$ Factor común: $t\,(6 - 5t) = 0 \Rightarrow t = 0$ o $6 - 5t = 0 \Rightarrow t = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$

$t = 0$ es el instante en que sale del agua; vuelve a entrar a los 1,2 s, así que está 1,2 s fuera del agua.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve: a) $x^2 - 6x = 0$ b) $4x^2 + 10x = 0$ c) $-x^2 + 7x = 0$ d) $4x^2 = 18x$

Ver solución
a) $0$ y $6$ b) $0$ y $-\dfrac{5}{2}$ c) $0$ y $7$ d) $0$ y $\dfrac{9}{2}$
a) $x(x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 6$ b) $2x(2x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -\dfrac{5}{2}$ c) $x(-x + 7) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 7$ d) $4x^2 - 18x = 0 \Rightarrow 2x(2x - 9) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = \dfrac{9}{2}$
2. Media
Opera, reduce y resuelve: a) $(x + 3)^2 = 9 + 2x$ b) $2x(x - 1) = 3x$

Ver solución
a) $0$ y $-4$ b) $0$ y $\dfrac{5}{2}$
a) $x^2 + 6x + 9 = 9 + 2x \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -4$ b) $2x^2 - 2x = 3x \Rightarrow 2x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(2x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = \dfrac{5}{2}$

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve: a) $x^2 + 8x = 0$ b) $6x^2 - 9x = 0$ c) $3x^2 = -21x$

Ver solución
a) $0$ y $-8$ b) $0$ y $\dfrac{3}{2}$ c) $0$ y $-7$
a) $x(x + 8) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -8$ b) $3x(2x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = \dfrac{3}{2}$ c) $3x^2 + 21x = 0 \Rightarrow 3x(x + 7) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -7$
2. Media
Opera, reduce y resuelve: a) $(x - 1)^2 = 1 - 5x$ b) $x(2x + 1) = 3x(x - 1)$

Ver solución
a) $0$ y $-3$ b) $0$ y $4$
a) $x^2 - 2x + 1 = 1 - 5x \Rightarrow x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -3$ b) $2x^2 + x = 3x^2 - 3x \Rightarrow 0 = x^2 - 4x \Rightarrow x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 4$
3. Media
Javier ha resuelto $5x^2 = 20x$ dividiendo entre $x$ : « $5x = 20$ , luego $x = 4$ ». ¿Qué solución ha perdido? Resuélvela bien.

Ver solución
Ha perdido $x = 0$ . Soluciones: $0$ y $4$ .
$5x^2 - 20x = 0 \Rightarrow 5x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 4$ . Al dividir entre $x$ se pierde $x = 0$ (que sí cumple la ecuación: $5 \cdot 0 = 20 \cdot 0$ ).