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Explicación

1. Fracciones dentro de paréntesis o corchetes

Cuando hay fracciones dentro de un paréntesis o un corchete, lo más seguro es:

Quitar primero el paréntesis o el corchete, multiplicando el número de fuera por cada término (y simplificando las fracciones que salgan).
Quitar denominadores con el m.c.m.
Agrupar, reducir, despejar y comprobar.

$3\left[\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{1}{3}\right] = \dfrac{3(x - 1)}{2} - \dfrac{3}{3} = \dfrac{3(x - 1)}{2} - 1$

2. Ecuaciones literales

Una ecuación literal tiene, además de la incógnita $x$ , otras letras (parámetros), como $a$ , $b$ o $m$ , que representan números fijos. Se resuelve igual que siempre, tratando los parámetros como números:

Pasa todos los términos con $x$ a un miembro y los demás al otro.
Saca factor común la $x$ : $\;ax - 3x = x\,(a - 3)$ .
Divide entre lo que multiplica a la $x$ , siempre que no sea 0.

Discutir la ecuación

Si queda $x\,(a - 3) = a - 2$ :

Si $a \neq 3$ : hay una solución, $x = \dfrac{a - 2}{a - 3}$ .
Si $a = 3$ : queda $0x = 1$ , sin solución.
Si en algún caso quedara $0x = 0$ , habría infinitas soluciones.

Despejar en una fórmula

Las fórmulas de Física o de Geometría son ecuaciones literales. Despejar una letra es resolver la ecuación tomando esa letra como incógnita.

Puntos clave

Con fracciones dentro de un paréntesis, quita primero el paréntesis y después los denominadores.
En una ecuación literal, los parámetros se tratan como números.
Para despejar $x$ , saca factor común $x$ y divide entre su coeficiente, que no puede ser 0.
Discutir es estudiar aparte los valores del parámetro que anulan el coeficiente de $x$ .

Errores frecuentes

ErrorAl quitar el corchete, multiplicar el número de fuera por el numerador y también por el denominador: $3 \cdot \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{3(x - 1)}{6}$ .
Cómo corregirloEl número solo multiplica al numerador: $3 \cdot \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{3(x - 1)}{2}$ .
ErrorDividir entre $(a - 3)$ sin pensar que podría ser 0.
Cómo corregirloAntes de dividir, escribe la condición $a \neq 3$ y estudia aparte qué pasa si $a = 3$ .
ErrorAl despejar, dejar la $x$ en los dos miembros: $x = \dfrac{a - 2 + 3x}{a}$ .
Cómo corregirloReúne todos los términos con $x$ en un miembro y saca factor común antes de dividir.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Fracciones dentro de un corchete numérico
Resuelve $2\left[\dfrac{x + 1}{3} - \dfrac{1}{4}\right] = \dfrac{x}{2}$ .

Resolución
1. Quitamos el corchete: $\dfrac{2(x + 1)}{3} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{x}{2}$ , es decir, $\dfrac{2(x + 1)}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{2}$
2. m.c.m. $(3, 2) = 6$ : $4(x + 1) - 3 = 3x$
3. $4x + 4 - 3 = 3x \Rightarrow 4x - 3x = -1 \Rightarrow x = -1$
Comprobación: $2\left[0 - \dfrac{1}{4}\right] = -\dfrac{1}{2}$ y $\dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}$ . ✔
Ejemplo 2. Una ecuación con un parámetro numérico (literal)
Resuelve la ecuación $ax + 2 = 3x + a$ , donde $a$ es un número. a) Despeja $x$ . b) ¿Cuál es la solución si $a = 5$ ? c) ¿Qué ocurre si $a = 3$ ?

Resolución
a) Términos con $x$ a la izquierda: $ax - 3x = a - 2$ Factor común: $x\,(a - 3) = a - 2$ Si $a \neq 3$ : $x = \dfrac{a - 2}{a - 3}$

b) $x = \dfrac{5 - 2}{5 - 3} = \dfrac{3}{2}$ . Comprobación: $5 \cdot \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{19}{2}$ y $3 \cdot \dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{19}{2}$ . ✔

c) Con $a = 3$ la ecuación es $3x + 2 = 3x + 3$ , que da $0x = 1$ : no tiene solución. Por eso no se podía dividir entre $a - 3$ .
Ejemplo 3. De grados Fahrenheit a Celsius situación real (despejar en una fórmula)
En Estados Unidos la temperatura se mide en grados Fahrenheit. La relación con los grados Celsius es $F = \dfrac{9C}{5} + 32$ . a) Despeja $C$ . b) En un viaje a Nueva York, el termómetro marca 86 °F. ¿Cuántos grados Celsius son?

Resolución
a) Pasamos el 32: $F - 32 = \dfrac{9C}{5}$ Multiplicamos por 5: $5(F - 32) = 9C$ Dividimos entre 9: $C = \dfrac{5(F - 32)}{9}$

b) $C = \dfrac{5 \cdot (86 - 32)}{9} = \dfrac{5 \cdot 54}{9} = 30$ °C.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve $\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{x}{4} + 1$ .

Ver solución
$x = \dfrac{16}{3}$
Paréntesis: $\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{x}{4} + 1$ m.c.m. 12: $6x - 4 = 3x + 12 \Rightarrow 3x = 16 \Rightarrow x = \dfrac{16}{3}$
2. Media
Resuelve $4\left[x - \dfrac{x + 1}{2}\right] = \dfrac{x}{3} + 1$ .

Ver solución
$x = \dfrac{9}{5}$
Corchete: $4x - 2(x + 1) = \dfrac{x}{3} + 1 \Rightarrow 2x - 2 = \dfrac{x}{3} + 1$ m.c.m. 3: $6x - 6 = x + 3 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = \dfrac{9}{5}$
3. Media
Despeja $x$ e indica para qué valores del parámetro se puede hacer: a) $ax + b = c$ b) $mx - 4 = 2x$ c) $a(x - 1) = b$

Ver solución
a) $x = \dfrac{c - b}{a}$ , si $a \neq 0$ . b) $x = \dfrac{4}{m - 2}$ , si $m \neq 2$ . c) $x = \dfrac{a + b}{a}$ , si $a \neq 0$ .
a) $ax = c - b \Rightarrow x = \dfrac{c - b}{a}$ (si $a \neq 0$ ) b) $mx - 2x = 4 \Rightarrow x\,(m - 2) = 4 \Rightarrow x = \dfrac{4}{m - 2}$ (si $m \neq 2$ ) c) $ax - a = b \Rightarrow ax = a + b \Rightarrow x = \dfrac{a + b}{a}$ (si $a \neq 0$ )
4. Difícil
Dada la ecuación $a(x - 2) = 3(x - a)$ : a) resuélvela para $a = 5$ ; b) despeja $x$ en general; c) ¿para qué valor de $a$ no tiene solución?

Ver solución
a) $x = -\dfrac{5}{2}$ b) $x = \dfrac{a}{3 - a}$ c) $a = 3$
a) $5(x - 2) = 3(x - 5) \Rightarrow 5x - 10 = 3x - 15 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -\dfrac{5}{2}$ b) $ax - 2a = 3x - 3a \Rightarrow ax - 3x = 2a - 3a \Rightarrow x\,(a - 3) = -a \Rightarrow x = \dfrac{-a}{a - 3} = \dfrac{a}{3 - a}$ (si $a \neq 3$ ). Con $a = 5$ : $\dfrac{5}{-2}$ , como en a). ✔ c) Si $a = 3$ : $3x - 6 = 3x - 9 \Rightarrow 0x = -3$ : sin solución.
5. Difícil
Resuelve $ax - b = bx + a$ y discute: ¿qué pasa si $a \neq b$ ? ¿Y si $a = b \neq 0$ ? ¿Y si $a = b = 0$ ?
Ver solución
Si $a \neq b$ : $x = \dfrac{a + b}{a - b}$ . Si $a = b \neq 0$ : sin solución. Si $a = b = 0$ : infinitas soluciones.
$ax - bx = a + b \Rightarrow x\,(a - b) = a + b$
- Si $a \neq b$ : una solución, $x = \dfrac{a + b}{a - b}$ .
- Si $a = b \neq 0$ : queda $0x = 2a$ , con $2a \neq 0$ : sin solución.
- Si $a = b = 0$ : queda $0x = 0$ : infinitas soluciones.

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve $\dfrac{2}{3}\left(x + \dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{x}{6} = 2$ .

Ver solución
$x = \dfrac{10}{3}$
Paréntesis: $\dfrac{2x}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{6} = 2$ m.c.m. 6: $4x + 2 - x = 12 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \dfrac{10}{3}$
2. Media
Resuelve $5\left[\dfrac{x - 1}{10} + \dfrac{1}{2}\right] = x - 3$ y comprueba la solución.

Ver solución
$x = 10$
Corchete: $\dfrac{5(x - 1)}{10} + \dfrac{5}{2} = x - 3$ , es decir, $\dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{5}{2} = x - 3$ Por 2: $x - 1 + 5 = 2x - 6 \Rightarrow x + 4 = 2x - 6 \Rightarrow x = 10$

Comprobación: $5\left[\dfrac{9}{10} + \dfrac{5}{10}\right] = 5 \cdot \dfrac{14}{10} = 7$ y $10 - 3 = 7$ . ✔
3. Media
Despeja $x$ : a) $3x - a = x + 5a$ b) $bx + 2 = 5 - x$ (indica para qué valor de $b$ no se puede).

Ver solución
a) $x = 3a$ b) $x = \dfrac{3}{b + 1}$ , si $b \neq -1$ .
a) $3x - x = 5a + a \Rightarrow 2x = 6a \Rightarrow x = 3a$ b) $bx + x = 5 - 2 \Rightarrow x\,(b + 1) = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{b + 1}$ , si $b \neq -1$ (con $b = -1$ queda $0x = 3$ , sin solución).
4. Media
a) Despeja $t$ en la fórmula de la velocidad $v = v_0 + a \cdot t$ . b) Despeja la base menor $b$ en el área del trapecio $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$ . c) Un parterre de una plaza de Madrid tiene forma de trapecio, 60 m² de área, 8 m de altura y 9 m de base mayor. ¿Cuánto mide la base menor?

Ver solución
a) $t = \dfrac{v - v_0}{a}$ b) $b = \dfrac{2A}{h} - B$ c) 6 m
a) $v - v_0 = a \cdot t \Rightarrow t = \dfrac{v - v_0}{a}$ (si $a \neq 0$ ) b) $2A = (B + b) \cdot h \Rightarrow \dfrac{2A}{h} = B + b \Rightarrow b = \dfrac{2A}{h} - B$ c) $b = \dfrac{2 \cdot 60}{8} - 9 = 15 - 9 = 6$ m. Comprobación: $\dfrac{(9 + 6) \cdot 8}{2} = 60$ m². ✔
5. Difícil
Dada la ecuación $m(x + 1) = 2x + 3$ : a) resuélvela para $m = 4$ ; b) ¿para qué valor de $m$ no tiene solución?; c) ¿para qué valor de $m$ la solución es $x = 0$ ?

Ver solución
a) $x = -\dfrac{1}{2}$ b) $m = 2$ c) $m = 3$
En general: $mx + m = 2x + 3 \Rightarrow mx - 2x = 3 - m \Rightarrow x\,(m - 2) = 3 - m$ a) $m = 4$ : $2x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}$ b) $m = 2$ : $0x = 1$ , sin solución. c) $x = 0$ cuando $3 - m = 0$ , es decir, $m = 3$ . Comprobación: $3(0 + 1) = 3$ y $2 \cdot 0 + 3 = 3$ . ✔

Fracciones dentro de paréntesis y ecuaciones literales