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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de segundo grado incompletas

Ecuaciones que, al operar, se convierten en incompletas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones que, después de operar con identidades notables y denominadores, resultan incompletas, e interpretar cuántas soluciones tienen.

Explicación

Ecuaciones que esconden una incompleta

Muchas ecuaciones no parecen incompletas, pero lo son después de operar. Para resolverlas:

Desarrolla los paréntesis y las identidades notables: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Quita los denominadores (m.c.m.).
Pasa todo a un miembro y reduce. Es frecuente que los términos en $x$ o los números se anulen.
Resuelve según el tipo que quede:
- $ax^2 + c = 0$ : despeja $x^2$ y haz la raíz ( $\pm$ ).
- $ax^2 + bx = 0$ : factor común $x$ .
- $ax^2 = 0$ : $x = 0$ .

¿Cuántas soluciones tiene?

Tipo	Soluciones
$ax^2 + c = 0$ con $-\dfrac{c}{a} > 0$	Dos, opuestas
$ax^2 + c = 0$ con $-\dfrac{c}{a} < 0$	Ninguna
$ax^2 + bx = 0$ ( $b \neq 0$ )	Dos: $0$ y $-\dfrac{b}{a}$
$ax^2 = 0$	Una: $x = 0$ (solución doble)

Interpretación gráfica. Las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$ son los valores de $x$ donde la parábola $y = ax^2 + bx + c$ corta al eje X: dos cortes, dos soluciones; ningún corte, ninguna solución; si la parábola solo toca el eje en un punto, una solución.

En los problemas, después de resolver hay que interpretar: una longitud o una edad no pueden ser negativas.

Puntos clave

Antes de resolver, opera (paréntesis, identidades, denominadores) y reduce a la forma general.
Después de reducir, mira si falta el término en $x$ o el término independiente.
$ax^2 + c = 0$ : dos soluciones opuestas o ninguna. $ax^2 + bx = 0$ : siempre dos, una es 0. $ax^2 = 0$ : solo $x = 0$ .
Las soluciones son los puntos de corte de la parábola $y = ax^2 + bx + c$ con el eje X.
En los problemas, descarta las soluciones que no tengan sentido.

Errores frecuentes

ErrorDesarrollar $(x - 3)^2$ como $x^2 - 9$ o como $x^2 + 9$ .
Cómo corregirloEs una identidad notable: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ . Escríbela entera antes de seguir.
ErrorDividir los dos miembros entre $x$ al llegar a $x^2 = 8x$ .
Cómo corregirloPasa todo a un miembro: $x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0$ , y no pierdes la solución $x = 0$ .
ErrorAl quitar denominadores, no poner entre paréntesis un numerador como $x^2 - 2$ cuando la fracción lleva un signo menos delante.
Cómo corregirloEscribe $-5(x^2 - 2) = -5x^2 + 10$ : el menos afecta a los dos términos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Con una identidad notable numérico
Resuelve $(2x - 1)^2 + 4x = 37$ .

Resolución
1. Identidad notable: $4x^2 - 4x + 1 + 4x = 37$
2. Reducimos (los términos en $x$ se anulan): $4x^2 + 1 = 37 \Rightarrow 4x^2 = 36$
3. $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
Comprobación con $x = -3$ : $(-7)^2 + 4 \cdot (-3) = 49 - 12 = 37$ . ✔
Ejemplo 2. Con denominadores numérico
Resuelve $\dfrac{x(x - 2)}{3} + \dfrac{x}{2} = \dfrac{x^2 + x}{6}$ .

Resolución
m.c.m. $(3, 2, 6) = 6$ : $2x(x - 2) + 3x = x^2 + x$ $2x^2 - 4x + 3x = x^2 + x \Rightarrow 2x^2 - x - x^2 - x = 0 \Rightarrow x^2 - 2x = 0$ Factor común: $x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 2$
Ejemplo 3. Lo que dice la parábola gráfico
En la gráfica están las parábolas $y = x^2 - 4$ , $y = x^2 + 2$ e $y = x^2 - 3x$ . Usa la gráfica para decir cuántas soluciones tienen $x^2 - 4 = 0$ , $x^2 + 2 = 0$ y $x^2 - 3x = 0$ , y comprueba resolviéndolas.

Resolución
- $y = x^2 - 4$ corta al eje X en $x = -2$ y $x = 2$ : dos soluciones. Resolviendo: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . ✔
- $y = x^2 + 2$ no corta al eje X (siempre está por encima): ninguna solución. Resolviendo: $x^2 = -2$ , imposible. ✔
- $y = x^2 - 3x$ corta al eje X en $x = 0$ y $x = 3$ : dos soluciones. Resolviendo: $x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 3$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve: a) $(x + 5)(x - 5) = 11$ b) $(x - 3)^2 = 9 - 2x$

Ver solución
a) $\pm 6$ b) $0$ y $4$
a) $x^2 - 25 = 11 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$ b) $x^2 - 6x + 9 = 9 - 2x \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 4$
2. Media
Resuelve $\dfrac{x^2 + 1}{5} - \dfrac{x^2 - 2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .

Ver solución
$\pm 2$
m.c.m. 20: $4(x^2 + 1) - 5(x^2 - 2) = 10$ $4x^2 + 4 - 5x^2 + 10 = 10 \Rightarrow -x^2 + 14 = 10 \Rightarrow -x^2 = -4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
3. Media
Sin terminar de resolverlas, reduce cada ecuación y di cuántas soluciones tiene: a) $(x + 1)^2 = 2x$ b) $x(x + 6) = 6x$ c) $(x - 2)(x + 2) = 5$ d) $3x^2 + 5 = 2x^2 + 4x + 5$

Ver solución
a) Ninguna b) Una ( $x = 0$ ) c) Dos d) Dos
a) $x^2 + 2x + 1 = 2x \Rightarrow x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ : ninguna. b) $x^2 + 6x = 6x \Rightarrow x^2 = 0$ : una, $x = 0$ . c) $x^2 - 4 = 5 \Rightarrow x^2 = 9$ : dos ( $\pm 3$ ). d) $x^2 - 4x = 0$ : dos ( $0$ y $4$ ).
4. Media
Encuentra y corrige el error: a) Sara resuelve $x(x - 5) = 3x$ dividiendo entre $x$ : $x - 5 = 3 \Rightarrow x = 8$ . b) Iker resuelve $x^2 = 121$ y escribe: $x = 11$ .

Ver solución
a) Falta $x = 0$ : soluciones $0$ y $8$ . b) Falta $x = -11$ : soluciones $\pm 11$ .
a) Al dividir entre $x$ pierde $x = 0$ . Bien: $x^2 - 5x - 3x = 0 \Rightarrow x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 8$ . b) Olvida la raíz negativa: $x = \pm 11$ .
5. Media
Un terreno rectangular en Getafe mide de largo el doble que de ancho y tiene 450 m² de superficie. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Ver solución
15 m de ancho y 30 m de largo.
Ancho $x$ , largo $2x$ : $x \cdot 2x = 450 \Rightarrow 2x^2 = 450 \Rightarrow x^2 = 225 \Rightarrow x = \pm 15$ . La solución negativa no vale para una longitud: ancho 15 m y largo 30 m. Comprobación: $15 \cdot 30 = 450$ m². ✔

Para practicar más

1. Media
Resuelve: a) $(x + 4)^2 = 8x + 41$ b) $(2x + 1)(2x - 1) = 3x^2 + 15$ c) $(x + 2)^2 - 2(x + 2) = 0$

Ver solución
a) $\pm 5$ b) $\pm 4$ c) $0$ y $-2$
a) $x^2 + 8x + 16 = 8x + 41 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ b) $4x^2 - 1 = 3x^2 + 15 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ c) $x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -2$
2. Difícil
Resuelve: a) $\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{x(x + 2)}{4} = \dfrac{x}{6}$ b) $\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{4} - \dfrac{x^2}{6} = \dfrac{3}{4}$

Ver solución
a) $0$ y $8$ b) $\pm 6$
a) m.c.m. 12: $4x^2 - 3x(x + 2) = 2x \Rightarrow 4x^2 - 3x^2 - 6x - 2x = 0 \Rightarrow x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 8$ b) m.c.m. 12: $3(x^2 - 9) - 2x^2 = 9 \Rightarrow 3x^2 - 27 - 2x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$
3. Media
Reduce y di cuántas soluciones tiene cada ecuación (si las tiene, calcúlalas): a) $x^2 + 7 = 3$ b) $5x^2 = 0$ c) $(x - 1)^2 = 1 - 2x$ d) $2x^2 - 3 = 0$

Ver solución
a) Ninguna b) Una: $x = 0$ c) Una: $x = 0$ d) Dos: $\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}} \approx \pm 1{,}22$
a) $x^2 = -4$ : ninguna. b) $x^2 = 0$ : una, $x = 0$ . c) $x^2 - 2x + 1 = 1 - 2x \Rightarrow x^2 = 0$ : una, $x = 0$ . d) $x^2 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}} \approx \pm 1{,}22$ (redondeado a centésimas): dos.
4. Fácil
Observa la gráfica de la parábola $y = x^2 - 2x$ . a) ¿Qué soluciones tiene la ecuación $x^2 - 2x = 0$ según la gráfica? b) Compruébalo resolviéndola.

Ver solución
a) y b) $x = 0$ y $x = 2$ .
a) La parábola corta al eje X en $x = 0$ y en $x = 2$ . b) $x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 2$ . ✔
5. Media
Un rectángulo tiene lados de $(x + 4)$ cm y $(x - 4)$ cm, y su área es 48 cm². Calcula $x$ y las medidas del rectángulo.

Ver solución
$x = 8$ ; el rectángulo mide 12 cm × 4 cm.
$(x + 4)(x - 4) = 48 \Rightarrow x^2 - 16 = 48 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8$ . $x = -8$ daría lados negativos; por tanto $x = 8$ : lados de 12 cm y 4 cm. Comprobación: $12 \cdot 4 = 48$ cm². ✔