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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de segundo grado completas

Recuerda: la fórmula de la ecuación de segundo grado

Objetivo: Al terminar, sabrás escribir una ecuación de segundo grado en forma general y resolverla con la fórmula, interpretando cuántas soluciones tiene según el discriminante.

Recuerda

La fórmula de la ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado completa en forma general es $ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0,\; b \neq 0,\; c \neq 0)$ Se resuelve con la fórmula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ El signo $\pm$ indica que hay que hacer dos cuentas: una con $+$ y otra con $-$ . La fórmula también sirve para las incompletas, aunque para ellas es más rápido el método directo.

Pasos

Escribe la ecuación en forma general (todo en un miembro e igualado a 0). Si todos los coeficientes tienen un divisor común, divide entre él; si $a$ es negativo, puedes multiplicar por $-1$ .
Identifica $a$ , $b$ y $c$ con su signo.
Calcula aparte lo de dentro de la raíz, $b^2 - 4ac$ , que se llama discriminante.
Sustituye en la fórmula y calcula las dos soluciones.
Comprueba (al menos una de ellas).

Fíjate en el discriminante

Si $b^2 - 4ac > 0$ : dos soluciones distintas.
Si $b^2 - 4ac = 0$ : una solución (doble).
Si $b^2 - 4ac < 0$ : no tiene solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

Si $b^2 - 4ac$ no es un cuadrado perfecto, las soluciones llevan una raíz. Se dan exactas, con la raíz indicada, y, si te lo piden, aproximadas con la calculadora: por ejemplo, $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$ , es decir, $x \approx 2{,}41$ y $x \approx -0{,}41$ (redondeando a las centésimas).

Puntos clave

Fórmula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .
$a$ , $b$ y $c$ se leen con su signo, con la ecuación igualada a 0.
Calcula aparte $b^2 - 4ac$ : si es negativo, no hay solución; si es 0, hay una sola.
Si $b$ es negativo, $-b$ es positivo: con $b = -7$ , $-b = 7$ .

Errores frecuentes

ErrorCon $b = -7$ , escribir $-b = -7$ en la fórmula.
Cómo corregirlo $-b$ es el opuesto de $b$ : si $b = -7$ , entonces $-b = 7$ .
ErrorCalcular $b^2$ como $-7^2 = -49$ .
Cómo corregirloEl cuadrado de un número negativo es positivo: $(-7)^2 = 49$ . Pon el paréntesis.
ErrorDividir entre 2 solo la raíz y no todo el numerador, o dividir entre $a$ en vez de entre $2a$ .
Cómo corregirloLa raya de fracción abarca $-b \pm \sqrt{\;}$ entero, y el denominador es $2a$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Aplicar la fórmula numérico
Resuelve $x^2 - 7x + 6 = 0$ .

Resolución
$a = 1$ , $b = -7$ , $c = 6$ . Dentro de la raíz: $b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$ $x = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{7 \pm 5}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = \dfrac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \dfrac{2}{2} = 1$ Comprobación con $x = 6$ : $36 - 42 + 6 = 0$ . ✔
Ejemplo 2. Con a distinto de 1 numérico
Resuelve $2x^2 + 3x - 5 = 0$ .

Resolución
$a = 2$ , $b = 3$ , $c = -5$ : $b^2 - 4ac = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$ $x = \dfrac{-3 \pm 7}{4} \;\Rightarrow\; x_1 = \dfrac{4}{4} = 1, \quad x_2 = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}$ Comprobación con $x = 1$ : $2 + 3 - 5 = 0$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve: a) $x^2 + 4x - 21 = 0$ b) $x^2 - 9x + 14 = 0$ c) $2x^2 - 9x + 4 = 0$ d) $-x^2 + 4x + 12 = 0$

Ver solución
a) $3$ y $-7$ b) $7$ y $2$ c) $4$ y $\dfrac{1}{2}$ d) $6$ y $-2$
a) $b^2 - 4ac = 16 + 84 = 100$ ; $x = \dfrac{-4 \pm 10}{2}$ : $x_1 = 3$ , $x_2 = -7$ b) $81 - 56 = 25$ ; $x = \dfrac{9 \pm 5}{2}$ : $x_1 = 7$ , $x_2 = 2$ c) $81 - 32 = 49$ ; $x = \dfrac{9 \pm 7}{4}$ : $x_1 = 4$ , $x_2 = \dfrac{1}{2}$ d) Multiplicamos por $-1$ : $x^2 - 4x - 12 = 0$ ; $16 + 48 = 64$ ; $x = \dfrac{4 \pm 8}{2}$ : $x_1 = 6$ , $x_2 = -2$
2. Media
Resuelve y di cuántas soluciones tiene: a) $x^2 - 6x + 9 = 0$ b) $x^2 + x + 1 = 0$

Ver solución
a) Una: $x = 3$ . b) Ninguna.
a) $b^2 - 4ac = 36 - 36 = 0$ ; $x = \dfrac{6 \pm 0}{2} = 3$ : una solución (doble). b) $b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0$ : no tiene solución.

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve: a) $x^2 - 10x + 21 = 0$ b) $x^2 + 3x - 10 = 0$ c) $4x^2 + 4x - 3 = 0$ d) $5x^2 - 3x - 2 = 0$

Ver solución
a) $7$ y $3$ b) $2$ y $-5$ c) $\dfrac{1}{2}$ y $-\dfrac{3}{2}$ d) $1$ y $-\dfrac{2}{5}$
a) $100 - 84 = 16$ ; $x = \dfrac{10 \pm 4}{2}$ : $x_1 = 7$ , $x_2 = 3$ b) $9 + 40 = 49$ ; $x = \dfrac{-3 \pm 7}{2}$ : $x_1 = 2$ , $x_2 = -5$ c) $16 + 48 = 64$ ; $x = \dfrac{-4 \pm 8}{8}$ : $x_1 = \dfrac{1}{2}$ , $x_2 = -\dfrac{3}{2}$ d) $9 + 40 = 49$ ; $x = \dfrac{3 \pm 7}{10}$ : $x_1 = 1$ , $x_2 = -\dfrac{2}{5}$
2. Media
Resuelve y di cuántas soluciones tiene: a) $4x^2 - 12x + 9 = 0$ b) $2x^2 - 3x + 5 = 0$

Ver solución
a) Una: $x = \dfrac{3}{2}$ . b) Ninguna.
a) $144 - 144 = 0$ ; $x = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$ : una solución (doble). b) $9 - 40 = -31 < 0$ : no tiene solución.
3. Media
Comprueba que $x = -3$ es solución de $2x^2 + 5x - 3 = 0$ y halla la otra solución.

Ver solución
La otra solución es $x = \dfrac{1}{2}$ .
Sustituimos: $2 \cdot 9 + 5 \cdot (-3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0$ . ✔ Fórmula: $25 + 24 = 49$ ; $x = \dfrac{-5 \pm 7}{4}$ : $x_1 = \dfrac{1}{2}$ , $x_2 = -3$ .