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Explicación

¿Cuántas soluciones tiene?

Recuerda que las soluciones de la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$ ) se obtienen con la fórmula $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

La expresión que hay dentro de la raíz se llama discriminante y se representa con la letra griega $\Delta$ (delta): $\Delta = b^2 - 4ac$

Como solo existe la raíz cuadrada de los números positivos y del cero, el signo del discriminante nos dice cuántas soluciones tiene la ecuación sin necesidad de resolverla:

Discriminante	Número de soluciones
$\Delta > 0$	Dos soluciones distintas: $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ y $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	Una solución doble: $x = \dfrac{-b}{2a}$
$\Delta < 0$	Ninguna solución (no existe la raíz cuadrada de un número negativo)

Cómo se hace

Escribe la ecuación en la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ : quita paréntesis y denominadores y deja un 0 en un miembro.
Identifica $a$ , $b$ y $c$ con su signo.
Calcula $\Delta = b^2 - 4ac$ y fíjate en su signo.

Un atajo: si $a$ y $c$ tienen signos contrarios, el producto $-4ac$ es positivo y, como $b^2$ nunca es negativo, $\Delta > 0$ . La ecuación tiene seguro dos soluciones.

Lo que se ve en una gráfica

Si dibujamos $y = ax^2 + bx + c$ (es una curva llamada parábola), las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$ son los valores de $x$ donde la curva corta al eje X, porque allí $y = 0$ :

$\Delta > 0$ : la curva corta al eje X en dos puntos.
$\Delta = 0$ : la curva toca al eje X en un solo punto.
$\Delta < 0$ : la curva no llega a tocar el eje X.

Puntos clave

El discriminante de $ax^2 + bx + c = 0$ es $\Delta = b^2 - 4ac$ : lo que va dentro de la raíz en la fórmula.
$\Delta > 0$ : dos soluciones distintas; $\Delta = 0$ : una solución doble, $x = \dfrac{-b}{2a}$ ; $\Delta < 0$ : ninguna solución.
Antes de calcular $\Delta$ , la ecuación tiene que estar en la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ .
Si $a$ y $c$ tienen signos contrarios, la ecuación tiene siempre dos soluciones.
En la gráfica de $y = ax^2 + bx + c$ , el número de soluciones es el número de puntos en que la curva corta al eje X.

Errores frecuentes

ErrorCalcular $b^2$ sin paréntesis cuando $b$ es negativo: con $b = -6$ , escribir $-6^2 = -36$ .
Cómo corregirloEleva el número con su signo: $(-6)^2 = 36$ . El término $b^2$ nunca es negativo.
ErrorTomar $a$ , $b$ y $c$ de una ecuación que no está en forma general; por ejemplo, en $x^2 + 16 = 8x$ , decir que $b = 16$ .
Cómo corregirloPrimero pasa todo a un miembro y ordena: $x^2 - 8x + 16 = 0$ . Ahora sí: $a = 1$ , $b = -8$ , $c = 16$ .
ErrorEquivocarse con el signo de $-4ac$ cuando $a$ o $c$ son negativos.
Cómo corregirloSustituye con paréntesis: si $a = 2$ y $c = -3$ , entonces $-4 \cdot 2 \cdot (-3) = +24$ .
ErrorPensar que si $\Delta = 0$ la solución es $x = 0$ .
Cómo corregirlo $\Delta = 0$ significa que la raíz vale 0, no la solución. La solución (doble) es $x = \dfrac{-b}{2a}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres ecuaciones, tres casos numérico
Sin resolverlas, averigua cuántas soluciones tiene cada ecuación. Después, resuelve las que tengan solución. a) $2x^2 - 5x + 3 = 0$ b) $9x^2 - 12x + 4 = 0$ c) $x^2 + 4x + 7 = 0$

Resolución
a) $a = 2$ , $b = -5$ , $c = 3$ : $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 > 0$ Dos soluciones. $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{4} = \dfrac{5 \pm 1}{4}$ , es decir, $x_1 = \dfrac{3}{2}$ y $x_2 = 1$ .

b) $a = 9$ , $b = -12$ , $c = 4$ : $\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$ Una solución doble: $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ .

c) $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 7$ : $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 < 0$ Ninguna solución: no existe $\sqrt{-12}$ .
Ejemplo 2. Leer el discriminante en una gráfica gráfico
En la gráfica están dibujadas las curvas A: $y = x^2 + x - 2$ , B: $y = x^2 + 2x + 1$ y C: $y = x^2 - 3x + 4$ . Calcula el discriminante de las ecuaciones $x^2 + x - 2 = 0$ , $x^2 + 2x + 1 = 0$ y $x^2 - 3x + 4 = 0$ y relaciónalo con los puntos en que cada curva corta al eje X.

Resolución
A: $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0$ → dos soluciones: $x = \dfrac{-1 \pm 3}{2}$ , o sea, $x = 1$ y $x = -2$ . La curva A corta al eje X en dos puntos: $(-2, 0)$ y $(1, 0)$ .

B: $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$ → una solución doble: $x = \dfrac{-2}{2} = -1$ . La curva B toca al eje X en un solo punto, $(-1, 0)$ .

C: $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$ → ninguna solución. La curva C no corta al eje X: está siempre por encima.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el discriminante y di cuántas soluciones tiene cada ecuación (no hace falta resolverlas): a) $x^2 - 7x + 10 = 0$ b) $3x^2 - 2x + 5 = 0$ c) $4x^2 + 4x + 1 = 0$ d) $x^2 - 5x - 3 = 0$

Ver solución
a) Δ = 9: dos. b) Δ = −56: ninguna. c) Δ = 0: una doble. d) Δ = 37: dos.
a) $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 > 0$ → dos soluciones. b) $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56 < 0$ → ninguna solución. c) $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$ → una solución doble ( $x = -\tfrac{4}{8} = -\tfrac{1}{2}$ ). d) $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37 > 0$ → dos soluciones.
2. Media
Escribe cada ecuación en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ y averigua cuántas soluciones tiene. Si tiene una solución doble, calcúlala. a) $5x = 2x^2 + 1$ b) $x^2 + 36 = 12x$ c) $(x + 1)^2 = x - 2$ d) $2x(x - 3) = 1$

Ver solución
a) 2x² − 5x + 1 = 0, Δ = 17: dos. b) x² − 12x + 36 = 0, Δ = 0: doble, x = 6. c) x² + x + 3 = 0, Δ = −11: ninguna. d) 2x² − 6x − 1 = 0, Δ = 44: dos.
a) $0 = 2x^2 - 5x + 1$ → $\Delta = 25 - 8 = 17 > 0$ → dos soluciones. b) $x^2 - 12x + 36 = 0$ → $\Delta = 144 - 144 = 0$ → solución doble $x = \dfrac{12}{2} = 6$ . c) $x^2 + 2x + 1 = x - 2$ → $x^2 + x + 3 = 0$ → $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$ → ninguna. d) $2x^2 - 6x = 1$ → $2x^2 - 6x - 1 = 0$ → $\Delta = 36 + 8 = 44 > 0$ → dos soluciones.
3. Media
Sin hacer ninguna cuenta, explica por qué $x^2 + 3x - 11 = 0$ tiene dos soluciones. ¿Puedes decir lo mismo de $x^2 + 3x + 11 = 0$ ? Calcula su discriminante.

Ver solución
La primera: a y c tienen signos contrarios, así que Δ > 0. La segunda no se puede saber sin calcular: Δ = −35, no tiene solución.
En $x^2 + 3x - 11 = 0$ , $a = 1 > 0$ y $c = -11 < 0$ : el término $-4ac = -4 \cdot 1 \cdot (-11) = 44$ es positivo y $b^2 = 9$ también, así que $\Delta > 0$ → dos soluciones (de hecho, $\Delta = 53$ ).

En $x^2 + 3x + 11 = 0$ , $a$ y $c$ tienen el mismo signo, y el atajo no sirve. Calculamos: $\Delta = 9 - 44 = -35 < 0$ → ninguna solución.
4. Difícil
Lucía quiere recortar un rectángulo de cartulina de 20 cm de perímetro. a) Si uno de los lados mide $x$ cm, explica por qué el otro mide $10 - x$ y el área es $x(10 - x)$ . b) ¿Puede tener un área de 30 cm²? ¿Y de 24 cm²? Responde con el discriminante y, si es posible, calcula los lados. c) Comprueba que, para un área de 25 cm², el discriminante vale 0. ¿Qué forma tiene entonces la cartulina?

Ver solución
a) Dos lados suman la mitad del perímetro, 10 cm. b) 30 cm²: no (Δ = −20). 24 cm²: sí, 4 cm × 6 cm. c) Δ = 0, x = 5: es un cuadrado de 5 cm de lado.
a) El perímetro es $2 \cdot (\text{base} + \text{altura}) = 20$ , así que base + altura = 10 y, si un lado mide $x$ , el otro mide $10 - x$ . Área: $x(10 - x)$ . b) Área 30: $x(10 - x) = 30$ → $10x - x^2 = 30$ → $x^2 - 10x + 30 = 0$ → $\Delta = 100 - 120 = -20 < 0$ . Imposible. Área 24: $x^2 - 10x + 24 = 0$ → $\Delta = 100 - 96 = 4 > 0$ → $x = \dfrac{10 \pm 2}{2}$ → $x = 6$ o $x = 4$ . Los lados miden 4 cm y 6 cm. c) $x^2 - 10x + 25 = 0$ → $\Delta = 100 - 100 = 0$ → $x = 5$ , y el otro lado mide $10 - 5 = 5$ : es un cuadrado de 5 cm de lado.

Para practicar más

1. Fácil
Sin resolverlas, indica cuántas soluciones tiene cada ecuación: a) $x^2 + 5x + 6 = 0$ b) $2x^2 + x + 3 = 0$ c) $x^2 - 10x + 25 = 0$ d) $6x^2 - x - 2 = 0$

Ver solución
a) Δ = 1: dos. b) Δ = −23: ninguna. c) Δ = 0: una doble. d) Δ = 49: dos.
a) $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ → dos. b) $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ → ninguna. c) $\Delta = 100 - 100 = 0$ → una solución doble ( $x = 5$ ). d) $\Delta = 1 + 48 = 49 > 0$ → dos.
2. Media
Pasa a la forma general y averigua cuántas soluciones tiene cada ecuación. Resuelve la que tenga solución. a) $x(x + 4) = -5$ b) $(2x - 1)^2 = 2 - 4x$

Ver solución
a) x² + 4x + 5 = 0, Δ = −4: ninguna. b) 4x² − 1 = 0, Δ = 16: dos, x = 1/2 y x = −1/2.
a) $x^2 + 4x + 5 = 0$ → $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$ → ninguna solución. b) $4x^2 - 4x + 1 = 2 - 4x$ → $4x^2 - 1 = 0$ . Aquí $b = 0$ : $\Delta = 0^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 > 0$ → dos soluciones: $x^2 = \dfrac{1}{4}$ , $x = \dfrac{1}{2}$ y $x = -\dfrac{1}{2}$ .
3. Media
Lanzamos una pelota hacia arriba. Su altura, en metros, a los $t$ segundos es aproximadamente $h = 20t - 5t^2$ . a) ¿Llega la pelota a 25 m de altura? Plantea la ecuación y usa el discriminante. b) ¿Y a 20 m? ¿Y a 15 m? ¿En qué instantes? c) ¿Qué significa que en un caso salga una solución doble?

Ver solución
a) No (Δ < 0). b) A 20 m llega una sola vez, en t = 2 s; a 15 m, dos veces, en t = 1 s y t = 3 s. c) Que 20 m es la altura máxima.
a) $20t - 5t^2 = 25$ → $5t^2 - 20t + 25 = 0$ → dividiendo entre 5: $t^2 - 4t + 5 = 0$ → $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$ . No llega a 25 m. b) 20 m: $t^2 - 4t + 4 = 0$ → $\Delta = 0$ → una sola vez, en $t = 2$ s. 15 m: $t^2 - 4t + 3 = 0$ → $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$ → $t = \dfrac{4 \pm 2}{2}$ → $t = 1$ s (subiendo) y $t = 3$ s (bajando). c) La pelota solo pasa una vez por 20 m: es el punto más alto de su trayectoria, donde deja de subir y empieza a bajar.
4. Difícil
Escribe una ecuación de segundo grado que tenga una solución doble y otra que no tenga solución. Comprueba con el discriminante que son correctas.
Ver solución
Respuesta abierta. Por ejemplo, x² + 4x + 4 = 0 (Δ = 0, x = −2) y x² + 1 = 0 (Δ = −4).
Respuesta abierta. Por ejemplo:
- Solución doble: $x^2 + 4x + 4 = 0$ → $\Delta = 16 - 16 = 0$ (es $(x + 2)^2 = 0$ , solución $x = -2$ ).
- Sin solución: $x^2 + 1 = 0$ → $\Delta = 0 - 4 = -4 < 0$ . Una pista para inventarlas: una solución doble sale de un cuadrado perfecto, $(x - r)^2 = 0$ ; para que no haya solución basta con $a$ y $c$ positivos y $b = 0$ .

El discriminante: número de soluciones de una ecuación de segundo grado