Ecuaciones de segundo grado con denominadores

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorQuitar denominadores multiplicando solo las fracciones y olvidar los términos enteros.

  Cómo corregirloTodos los términos, también los que no tienen denominador, se multiplican por el m.c.m.

• ErrorEscribir $-2(x^2 - 1) = -2x^2 - 2$.

  Cómo corregirloEl $-2$ multiplica a los dos términos: $-2(x^2 - 1) = -2x^2 + 2$.

• ErrorDesarrollar $3(x - 1)^2$ como $(3x - 3)^2$.

  Cómo corregirloPrimero la identidad y después el 3: $3(x - 1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 3$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Denominadores sencillos numérico

   Resuelve $\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{x}{2} = \dfrac{3}{2}$.

   Resolución

   m.c.m.$(3, 2) = 6$: $2x^2 - 3x = 9 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 9 = 0$ $a = 2$, $b = -3$, $c = -9$: $b^2 - 4ac = 9 + 72 = 81$ $$x = \dfrac{3 \pm 9}{4} \;\Rightarrow\; x_1 = 3, \quad x_2 = -\dfrac{6}{4} = -\dfrac{3}{2}$$ Comprobación con $x = 3$: $\dfrac{9}{3} - \dfrac{3}{2} = 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$. ✔

2. Ejemplo 2. Identidad notable, signo menos y denominadores numérico

   Resuelve $\dfrac{(x - 1)^2}{4} - \dfrac{x^2 - 1}{6} = \dfrac{x - 1}{3}$.

   Resolución

   1. m.c.m.$(4, 6, 3) = 12$: $3(x - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 4(x - 1)$
   2. Desarrollamos: $3(x^2 - 2x + 1) - 2x^2 + 2 = 4x - 4 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 3 - 2x^2 + 2 = 4x - 4$
   3. Todo a un miembro: $x^2 - 6x + 5 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x + 9 = 0$
   4. $b^2 - 4ac = 100 - 36 = 64$; $x = \dfrac{10 \pm 8}{2} \Rightarrow x_1 = 9$, $x_2 = 1$

   Comprobación con $x = 1$: $0 - 0 = 0$. ✔ Con $x = 9$: $\dfrac{64}{4} - \dfrac{80}{6} = 16 - \dfrac{40}{3} = \dfrac{8}{3}$ y $\dfrac{8}{3}$. ✔

3. Ejemplo 3. ¿Cuántos lados tiene el polígono? situación real (fórmula)

   El número de diagonales de un polígono de $n$ lados es $D = \dfrac{n(n - 3)}{2}$. ¿Qué polígono tiene 54 diagonales?

   Resolución

   $\dfrac{n(n - 3)}{2} = 54 \Rightarrow n^2 - 3n = 108 \Rightarrow n^2 - 3n - 108 = 0$ $b^2 - 4ac = 9 + 432 = 441 = 21^2$; $n = \dfrac{3 \pm 21}{2} \Rightarrow n_1 = 12$, $n_2 = -9$

   Un polígono no puede tener un número negativo de lados: es un dodecágono (12 lados). Comprobación: $\dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54$. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Resuelve: a) $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{x^2 + 2}{3} - \dfrac{x + 4}{2} = 1$

   Ver solución

   a) $2$ y $-\dfrac{2}{3}$ b) $\dfrac{7}{2}$ y $-2$

   a) m.c.m. 12: $3x^2 - 4x = 4 \Rightarrow 3x^2 - 4x - 4 = 0$; $16 + 48 = 64$; $x = \dfrac{4 \pm 8}{6}$: $x_1 = 2$, $x_2 = -\dfrac{2}{3}$ b) m.c.m. 6: $2(x^2 + 2) - 3(x + 4) = 6 \Rightarrow 2x^2 + 4 - 3x - 12 - 6 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 14 = 0$; $9 + 112 = 121$; $x = \dfrac{3 \pm 11}{4}$: $x_1 = \dfrac{7}{2}$, $x_2 = -2$

2. 2. Media

   Resuelve $\dfrac{x^2 + x}{6} - \dfrac{x + 2}{4} = \dfrac{1}{3}$.

   Ver solución

   $\dfrac{5}{2}$ y $-2$

   m.c.m. 12: $2(x^2 + x) - 3(x + 2) = 4 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 3x - 6 - 4 = 0 \Rightarrow 2x^2 - x - 10 = 0$ $1 + 80 = 81$; $x = \dfrac{1 \pm 9}{4}$: $x_1 = \dfrac{5}{2}$, $x_2 = -2$

3. 3. Media

   Resuelve $2x - \dfrac{x^2 + 4}{6} = \dfrac{x - 2}{3}$. ¿Qué tipo de ecuación queda al reducir?

   Ver solución

   Queda incompleta: $x = 0$ y $x = 10$.

   m.c.m. 6: $12x - (x^2 + 4) = 2(x - 2) \Rightarrow 12x - x^2 - 4 = 2x - 4$ $-x^2 + 10x = 0$: es incompleta (sin término independiente). $x(-x + 10) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 10$

4. 4. Difícil

   Resuelve $\dfrac{(x - 2)^2}{3} - \dfrac{x}{2} = \dfrac{x - 4}{6}$. Da las soluciones exactas y redondeadas a las centésimas.

   Ver solución

   $x = 3 \pm \sqrt{3}$: $x_1 \approx 4{,}73$, $x_2 \approx 1{,}27$

   m.c.m. 6: $2(x - 2)^2 - 3x = x - 4 \Rightarrow 2x^2 - 8x + 8 - 3x - x + 4 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 12x + 12 = 0$ Entre 2: $x^2 - 6x + 6 = 0$; $36 - 24 = 12$; $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$ $x_1 = 3 + \sqrt{3} \approx 4{,}73$, $x_2 = 3 - \sqrt{3} \approx 1{,}27$

5. 5. Media

   Los números pentagonales 1, 5, 12, 22… se obtienen con la fórmula $P = \dfrac{n(3n - 1)}{2}$, donde $n$ es el lugar que ocupan. ¿Qué lugar ocupa el número pentagonal 51?

   Ver solución

   El sexto lugar ($n = 6$).

   $\dfrac{n(3n - 1)}{2} = 51 \Rightarrow 3n^2 - n = 102 \Rightarrow 3n^2 - n - 102 = 0$ $1 + 1224 = 1225 = 35^2$; $n = \dfrac{1 \pm 35}{6}$: $n_1 = 6$, $n_2 = -\dfrac{34}{6} = -\dfrac{17}{3}$ (no vale: el lugar es un número natural). Ocupa el sexto lugar. Comprobación: $\dfrac{6 \cdot 17}{2} = 51$. ✔

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Resuelve: a) $\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2}$ b) $\dfrac{x^2}{5} - \dfrac{x}{2} = \dfrac{3}{10}$

   Ver solución

   a) $3$ y $-1$ b) $3$ y $-\dfrac{1}{2}$

   a) m.c.m. 6: $x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$; $4 + 12 = 16$; $x = \dfrac{2 \pm 4}{2}$: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$ b) m.c.m. 10: $2x^2 - 5x = 3 \Rightarrow 2x^2 - 5x - 3 = 0$; $25 + 24 = 49$; $x = \dfrac{5 \pm 7}{4}$: $x_1 = 3$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$

2. 2. Media

   Resuelve $\dfrac{x(x + 2)}{3} - \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{x + 11}{6}$.

   Ver solución

   $\pm 2$

   m.c.m. 6: $2x(x + 2) - 3(x - 1) = x + 11 \Rightarrow 2x^2 + 4x - 3x + 3 - x - 11 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 8 = 0$ Es incompleta: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

3. 3. Difícil

   Resuelve $\dfrac{(x - 1)^2}{2} - \dfrac{x^2 + 1}{3} = -1$. Da las soluciones exactas y redondeadas a las centésimas.

   Ver solución

   $x = 3 \pm \sqrt{2}$: $x_1 \approx 4{,}41$, $x_2 \approx 1{,}59$

   m.c.m. 6: $3(x - 1)^2 - 2(x^2 + 1) = -6 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 3 - 2x^2 - 2 + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 7 = 0$ $36 - 28 = 8$; $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$: $x_1 \approx 4{,}41$, $x_2 \approx 1{,}59$

4. 4. Media

   Resuelve $\dfrac{x^2 + 5}{6} - \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2}$. ¿Qué ocurre?

   Ver solución

   No tiene solución.

   m.c.m. 6: $x^2 + 5 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0$ $b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4$: es negativo, así que no tiene solución.

5. 5. Media

   La suma de los $n$ primeros números naturales, $1 + 2 + 3 + \ldots + n$, es $\dfrac{n(n + 1)}{2}$. ¿Cuántos números hay que sumar, empezando por el 1, para obtener 210?

   Ver solución

   20 números.

   $\dfrac{n(n + 1)}{2} = 210 \Rightarrow n^2 + n - 420 = 0$ $1 + 1680 = 1681 = 41^2$; $n = \dfrac{-1 \pm 41}{2}$: $n_1 = 20$, $n_2 = -21$ (no vale). Hay que sumar 20 números.

6. 6. Difícil

   Resuelve $\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{3} - \dfrac{x(x - 1)}{2} = -2$.

   Ver solución

   $4$ y $-1$

   m.c.m. 6: $2(x^2 - 4) - 3x(x - 1) = -12 \Rightarrow 2x^2 - 8 - 3x^2 + 3x + 12 = 0 \Rightarrow -x^2 + 3x + 4 = 0$ Por $-1$: $x^2 - 3x - 4 = 0$; $9 + 16 = 25$; $x = \dfrac{3 \pm 5}{2}$: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$