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Matemáticas 3.º ESO · Discriminante. Suma y producto de las soluciones

Suma y producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Objetivo: Al terminar, sabrás usar la suma y el producto de las soluciones para comprobarlas, resolver mentalmente ecuaciones sencillas, hallar una solución conociendo la otra y escribir la ecuación que tiene unas soluciones dadas.

Explicación

Una relación entre las soluciones y los coeficientes

Si la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ tiene soluciones $x_1$ y $x_2$ (es decir, si $\Delta \geq 0$ ), su suma y su producto se pueden calcular sin resolverla:

$S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} \qquad\qquad P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

¿Por qué? Sumando las dos soluciones de la fórmula, las raíces se anulan: $x_1 + x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = \dfrac{-b}{a}$ Y multiplicándolas (es una suma por diferencia): $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}$ .

El caso $a = 1$

Si $a = 1$ , la ecuación se escribe $x^2 - Sx + P = 0$ : el coeficiente de $x$ es la suma cambiada de signo y el término independiente es el producto.

Para qué sirve

Comprobar las soluciones de una ecuación sin sustituir.
Resolver mentalmente ecuaciones sencillas con $a = 1$ : en $x^2 - 7x + 12 = 0$ buscamos dos números que sumen 7 y multipliquen 12: son 3 y 4.
Escribir una ecuación con soluciones dadas: $x^2 - Sx + P = 0$ . Si salen fracciones, multiplica toda la ecuación por el denominador común.
Hallar la otra solución sabiendo una: con la suma o con el producto.

Ojo: si $\Delta < 0$ la ecuación no tiene soluciones, así que no tiene sentido hablar de su suma y su producto.

Puntos clave

Suma de las soluciones: $S = x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$ .
Producto de las soluciones: $P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
La ecuación de segundo grado con soluciones $x_1$ y $x_2$ es $x^2 - Sx + P = 0$ (o cualquier múltiplo suyo).
Con $a = 1$ , resolver mentalmente es buscar dos números que sumen $-b$ y multipliquen $c$ .
Estas relaciones solo tienen sentido si la ecuación tiene soluciones ( $\Delta \geq 0$ ).

Errores frecuentes

ErrorOlvidar el signo menos de la suma: decir que en $x^2 - 9x + 20 = 0$ la suma es $-9$ .
Cómo corregirloLa suma es $-b/a$ : aquí $b = -9$ , así que $S = -(-9) = 9$ .
ErrorNo dividir entre $a$ cuando $a \neq 1$ : decir que en $2x^2 - 7x + 3 = 0$ el producto es 3.
Cómo corregirloDivide siempre entre $a$ : $P = \dfrac{3}{2}$ , $S = \dfrac{7}{2}$ .
ErrorEscribir la ecuación con soluciones 4 y −5 como $x^2 + Sx + P = 0$ : $x^2 - x - 20 = 0$ .
Cómo corregirloLa ecuación es $x^2 - Sx + P = 0$ . Con $S = -1$ y $P = -20$ queda $x^2 + x - 20 = 0$ . Compruébalo sustituyendo $x = 4$ .
ErrorAplicar la suma y el producto a una ecuación sin soluciones.
Cómo corregirloCalcula antes el discriminante: si $\Delta < 0$ , no hay soluciones que sumar ni multiplicar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Comprobar y resolver de cabeza numérico
a) Resuelve mentalmente $x^2 - 9x + 20 = 0$ y $x^2 + 2x - 15 = 0$ . b) Comprueba, sin sustituir, que las soluciones de $2x^2 - 7x + 3 = 0$ son $3$ y $\dfrac{1}{2}$ .

Resolución
a) En $x^2 - 9x + 20 = 0$ : $S = 9$ , $P = 20$ . Dos números que suman 9 y multiplican 20: 4 y 5. En $x^2 + 2x - 15 = 0$ : $S = -2$ , $P = -15$ . El producto es negativo, así que tienen signos distintos; los que suman $-2$ son 3 y −5.

b) Con la fórmula: $S = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{7}{2}$ y $P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2}$ . Con los números dados: $3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$ ✔ y $3 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ ✔. Son las soluciones.
Ejemplo 2. Fabricar una ecuación numérico (problema inverso)
Escribe una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros cuyas soluciones sean: a) $4$ y $-5$ b) $\dfrac{1}{3}$ y $2$

Resolución
a) $S = 4 + (-5) = -1$ ; $P = 4 \cdot (-5) = -20$ . La ecuación es $x^2 - Sx + P = 0$ : $x^2 + x - 20 = 0$ También sale de $(x - 4)(x + 5) = 0$ , multiplicando.

b) $S = \dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{7}{3}$ ; $P = \dfrac{1}{3} \cdot 2 = \dfrac{2}{3}$ : $x^2 - \dfrac{7}{3}x + \dfrac{2}{3} = 0 \;\xrightarrow{\;\cdot\,3\;}\; 3x^2 - 7x + 2 = 0$ Multiplicar por 3 no cambia las soluciones. Comprobación: $S = \dfrac{7}{3}$ y $P = \dfrac{2}{3}$ ✔.
Ejemplo 3. Las medidas de una huerta situación real
Una huerta urbana rectangular de un barrio de Madrid tiene 34 m de perímetro y 60 m² de área. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean el largo y el ancho, y resuélvela.

Resolución
El largo y el ancho suman la mitad del perímetro: $S = 17$ . Su producto es el área: $P = 60$ . La ecuación que tiene esas dos medidas como soluciones es $x^2 - 17x + 60 = 0$ . Buscamos dos números que sumen 17 y multipliquen 60: 12 y 5 (también con la fórmula: $\Delta = 289 - 240 = 49$ , $x = \dfrac{17 \pm 7}{2}$ ). La huerta mide 12 m de largo y 5 m de ancho.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Sin resolver las ecuaciones, halla la suma y el producto de sus soluciones (todas tienen dos soluciones): a) $x^2 - 6x + 8 = 0$ b) $3x^2 + 12x - 5 = 0$ c) $2x^2 - 11x + 5 = 0$ d) $x^2 - 5 = 0$

Ver solución
a) S = 6, P = 8. b) S = −4, P = −5/3. c) S = 11/2, P = 5/2. d) S = 0, P = −5.
a) $S = \dfrac{6}{1} = 6$ ; $P = 8$ . b) $S = \dfrac{-12}{3} = -4$ ; $P = \dfrac{-5}{3}$ . c) $S = \dfrac{11}{2}$ ; $P = \dfrac{5}{2}$ . d) $b = 0$ : $S = 0$ (las soluciones son opuestas, $\pm\sqrt{5}$ ); $P = -5$ .
2. Fácil
Resuelve mentalmente: a) $x^2 - 8x + 15 = 0$ b) $x^2 + 2x - 24 = 0$ c) $x^2 + 10x + 21 = 0$ d) $x^2 - x - 30 = 0$

Ver solución
a) 3 y 5. b) 4 y −6. c) −3 y −7. d) 6 y −5.
a) Suman 8 y multiplican 15: 3 y 5. b) Suman $-2$ y multiplican $-24$ (signos distintos): 4 y $-6$ . c) Suman $-10$ y multiplican 21 (los dos negativos): $-3$ y $-7$ . d) Suman 1 y multiplican $-30$ : 6 y $-5$ .
3. Media
Escribe una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros cuyas soluciones sean: a) $3$ y $8$ b) $-1$ y $-8$ c) $0$ y $5$ d) $\dfrac{3}{2}$ y $-1$

Ver solución
a) x² − 11x + 24 = 0. b) x² + 9x + 8 = 0. c) x² − 5x = 0. d) 2x² − x − 3 = 0.
a) $S = 11$ , $P = 24$ → $x^2 - 11x + 24 = 0$ . b) $S = -9$ , $P = 8$ → $x^2 + 9x + 8 = 0$ . c) $S = 5$ , $P = 0$ → $x^2 - 5x = 0$ . d) $S = \dfrac{1}{2}$ , $P = -\dfrac{3}{2}$ → $x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} = 0$ → multiplicando por 2: $2x^2 - x - 3 = 0$ .
4. Media
a) Una solución de $x^2 - 13x + 36 = 0$ es $x = 4$ . Halla la otra sin usar la fórmula. b) Una solución de $3x^2 + 5x - 2 = 0$ es $x = -2$ . Halla la otra.

Ver solución
a) 9. b) 1/3.
a) Con la suma: $4 + x_2 = 13$ → $x_2 = 9$ . (Con el producto: $4 \cdot 9 = 36$ ✔.) b) Con el producto: $P = \dfrac{-2}{3}$ , así que $-2 \cdot x_2 = -\dfrac{2}{3}$ → $x_2 = \dfrac{1}{3}$ . Comprobación con la suma: $-2 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{5}{3} = \dfrac{-b}{a}$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Comprueba con la suma y el producto, sin sustituir, que: a) $5$ y $-2$ son las soluciones de $x^2 - 3x - 10 = 0$ . b) $\dfrac{2}{3}$ y $1$ son las soluciones de $3x^2 - 5x + 2 = 0$ .

Ver solución
a) S = 3, P = −10: coinciden. b) S = 5/3, P = 2/3: coinciden.
a) $S = 3$ y $P = -10$ ; $5 + (-2) = 3$ ✔ y $5 \cdot (-2) = -10$ ✔. b) $S = \dfrac{5}{3}$ y $P = \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}$ ✔ y $\dfrac{2}{3} \cdot 1 = \dfrac{2}{3}$ ✔.
2. Fácil
Resuelve mentalmente: a) $x^2 - 11x + 28 = 0$ b) $x^2 + 3x - 28 = 0$ c) $x^2 + 12x + 35 = 0$

Ver solución
a) 4 y 7. b) 4 y −7. c) −5 y −7.
a) Suman 11 y multiplican 28: 4 y 7. b) Suman $-3$ y multiplican $-28$ : 4 y $-7$ . c) Suman $-12$ y multiplican 35: $-5$ y $-7$ .
3. Media
Escribe una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros que tenga como soluciones: a) $5$ y $-5$ b) $-3$ (solución doble) c) $\dfrac{1}{2}$ y $\dfrac{1}{4}$

Ver solución
a) x² − 25 = 0. b) x² + 6x + 9 = 0. c) 8x² − 6x + 1 = 0.
a) $S = 0$ , $P = -25$ → $x^2 - 25 = 0$ . b) $x_1 = x_2 = -3$ : $S = -6$ , $P = 9$ → $x^2 + 6x + 9 = 0$ . c) $S = \dfrac{3}{4}$ , $P = \dfrac{1}{8}$ → $x^2 - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{8} = 0$ → multiplicando por 8: $8x^2 - 6x + 1 = 0$ .
4. Media
Una de las soluciones de $x^2 + bx + 18 = 0$ es $x = 3$ . Halla la otra solución y el valor de $b$ .

Ver solución
La otra solución es 6 y b = −9.
Producto: $3 \cdot x_2 = 18$ → $x_2 = 6$ . Suma: $3 + 6 = 9 = -b$ → $b = -9$ . La ecuación es $x^2 - 9x + 18 = 0$ .
5. Difícil
Dos números suman 20 y su producto es 96. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean esos números y hállalos.

Ver solución
x² − 20x + 96 = 0; los números son 8 y 12.
$S = 20$ y $P = 96$ → $x^2 - 20x + 96 = 0$ . $\Delta = 400 - 384 = 16$ → $x = \dfrac{20 \pm 4}{2}$ → $x = 12$ y $x = 8$ . Los números son 8 y 12.