Alumnos | AulaDual

Explicación

La propiedad del producto nulo

Si el producto de varios números es cero, al menos uno de ellos es cero: $A \cdot B \cdot C = 0 \iff A = 0 \;\text{ o }\; B = 0 \;\text{ o }\; C = 0$

Por eso, una ecuación escrita como producto de factores igualado a cero se resuelve igualando a cero cada factor: $(x - 2)(x + 3) = 0 \;\Rightarrow\; x - 2 = 0 \;\text{ o }\; x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2,\; x = -3$

Cada factor da una ecuación más sencilla:

Un factor de primer grado, como $2x - 1$ , da una solución: $x = \dfrac{1}{2}$ .
Un factor $x$ da la solución $x = 0$ .
Un factor de segundo grado, como $x^2 - 9$ o $x^2 - 5x + 6$ , se resuelve como una ecuación de segundo grado: puede dar dos, una o ninguna solución.
Un número (por ejemplo, el 5 de $5(x - 3) = 0$ ) no da ninguna solución, porque nunca vale cero.

Soluciones dobles

Si un factor aparece repetido, su solución es doble: en $(x - 4)^2(x + 1) = 0$ , la solución $x = 4$ es doble y $x = -1$ es simple.

Cuántas soluciones puede haber

Una ecuación polinómica de grado $n$ tiene como mucho $n$ soluciones. Por ejemplo, $(x - 2)(x + 3)(2x - 1) = 0$ es de grado 3 (al multiplicar sale $x^3$ con coeficiente 2) y tiene 3 soluciones.

Importante: la propiedad solo funciona si el otro miembro es cero. Si tienes $(x - 1)(x + 2) = 10$ , no puedes igualar cada factor a 10: tienes que operar, pasar todo a un miembro y resolver.

Puntos clave

Si un producto vale cero, alguno de sus factores vale cero.
Para resolver un producto de factores igualado a cero, se iguala a cero cada factor.
Un factor $x$ da la solución $x = 0$ ; un factor $ax + b$ da $x = -\dfrac{b}{a}$ ; un factor de segundo grado se resuelve con la fórmula o como incompleta.
Un factor repetido da una solución doble; un factor numérico no da soluciones.
Una ecuación de grado $n$ tiene como mucho $n$ soluciones.
Solo se puede aplicar si el otro miembro es 0.

Errores frecuentes

ErrorIgualar los factores a un número distinto de cero: en $(x - 1)(x + 2) = 10$ , escribir $x - 1 = 10$ o $x + 2 = 10$ .
Cómo corregirloOpera y pasa todo a un miembro: $x^2 + x - 12 = 0$ . Ahora sí, resuelve (o factoriza) e iguala a cero.
ErrorCambiar mal el signo: de $x + 3 = 0$ deducir $x = 3$ .
Cómo corregirloDespeja: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ . Comprueba sustituyendo: el factor debe valer 0.
ErrorDe $2x - 1 = 0$ deducir $x = 2$ o $x = -1$ .
Cómo corregirloDespeja paso a paso: $2x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$ .
ErrorOlvidar la solución $x = 0$ cuando uno de los factores es $x$ o $x^2$ .
Cómo corregirlo $x$ es un factor como cualquier otro: $x = 0$ es solución (doble si aparece $x^2$ ).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres factores de primer grado numérico
Resuelve $(x - 2)(x + 3)(2x - 1) = 0$ y comprueba una de las soluciones.

Resolución
Igualamos a cero cada factor:
- $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
- $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
- $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$
Soluciones: $x = 2$ , $x = -3$ , $x = \dfrac{1}{2}$ . Es una ecuación de grado 3 y tiene 3 soluciones. Comprobación con $x = -3$ : $(-3 - 2)(-3 + 3)(2 \cdot (-3) - 1) = (-5) \cdot 0 \cdot (-7) = 0$ ✔.
Ejemplo 2. Cuando un factor es de segundo grado numérico
Resuelve: a) $x(x^2 - 9) = 0$ b) $(x + 4)(x^2 - 8x + 12) = 0$ c) $(x - 1)(x^2 + 1) = 0$

Resolución
a) $x = 0$ o $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . Soluciones: $0$ , $3$ y $-3$ .

b) $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ . $x^2 - 8x + 12 = 0$ : $\Delta = 64 - 48 = 16$ , $x = \dfrac{8 \pm 4}{2}$ → $x = 6$ y $x = 2$ . Soluciones: $-4$ , $2$ y $6$ .

c) $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ . $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ : no tiene solución. Única solución: $x = 1$ . Una ecuación de grado 3 puede tener menos de 3 soluciones.
Ejemplo 3. Las soluciones en la gráfica gráfico
La gráfica es la de $y = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$ . Resuelve $(x + 2)(x - 1)(x - 3) = 0$ y señala las soluciones en la gráfica.

Resolución
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ ; $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ; $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Son justo los valores de $x$ donde la curva corta al eje X (allí $y = 0$ ): los puntos $(-2, 0)$ , $(1, 0)$ y $(3, 0)$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve: a) $(x - 5)(x + 1) = 0$ b) $x(x + 7)(x - 4) = 0$ c) $(3x - 2)(x + 6)(x - 1) = 0$ d) $5(x - 3)(2x + 5) = 0$

Ver solución
a) 5, −1. b) 0, −7, 4. c) 2/3, −6, 1. d) 3, −5/2.
a) $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ ; $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ . b) $x = 0$ ; $x = -7$ ; $x = 4$ . c) $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}$ ; $x = -6$ ; $x = 1$ . d) El 5 no da solución. $x = 3$ ; $2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{5}{2}$ .
2. Media
Resuelve e indica si alguna solución es doble: a) $x^2(x - 6) = 0$ b) $(x - 2)^2(x + 1) = 0$ c) $(x^2 - 16)(x + 2) = 0$ d) $(x^2 + 9)(x - 3) = 0$

Ver solución
a) $x = 0$ (doble), $x = 6$ . b) $x = 2$ (doble), $x = -1$ . c) $x = 4$ , $x = -4$ , $x = -2$ . d) $x = 3$ .
a) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (doble); $x = 6$ . b) $(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (doble); $x = -1$ . c) $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ ; $x = -2$ . d) $x^2 + 9 = 0$ no tiene solución; $x = 3$ . Única solución: $x = 3$ .
3. Media
Resuelve. Da las soluciones exactas (con radicales si hace falta). a) $(2x + 1)(x^2 - 4x - 21) = 0$ b) $(x - 4)(x^2 + 2x - 2) = 0$

Ver solución
a) −1/2, 7, −3. b) 4, −1 + √3, −1 − √3.
a) $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}$ . $x^2 - 4x - 21 = 0$ : $\Delta = 16 + 84 = 100$ , $x = \dfrac{4 \pm 10}{2}$ → $x = 7$ , $x = -3$ . b) $x = 4$ . $x^2 + 2x - 2 = 0$ : $\Delta = 4 + 8 = 12$ , $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$ .
4. Difícil
Marta resuelve así la ecuación $(x - 1)(x + 2) = 10$ : « $x - 1 = 10$ o $x + 2 = 10$ , así que $x = 11$ o $x = 8$ ». a) Comprueba que $x = 11$ no es solución. b) Explica el error y resuelve bien la ecuación.

Ver solución
a) $(11 - 1)(11 + 2) = 130 \neq 10$ . b) La propiedad solo vale si el producto es 0. Soluciones: $x = 3$ y $x = -4$ .
a) $(11 - 1)(11 + 2) = 10 \cdot 13 = 130 \neq 10$ . b) Que un producto valga 10 no obliga a que un factor valga 10 (por ejemplo, $2 \cdot 5 = 10$ ). Hay que operar: $x^2 + 2x - x - 2 = 10 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 12 = 0$ $\Delta = 1 + 48 = 49$ , $x = \dfrac{-1 \pm 7}{2}$ → $x = 3$ , $x = -4$ . Comprobación: $(3 - 1)(3 + 2) = 10$ ✔; $(-4 - 1)(-4 + 2) = (-5)(-2) = 10$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve: a) $(x + 8)(x - 3) = 0$ b) $x(2x - 7) = 0$ c) $(x - 1)(x + 1)(4x + 3) = 0$ d) $-2x(x + 5)(x - 9) = 0$

Ver solución
a) −8, 3. b) 0, 7/2. c) 1, −1, −3/4. d) 0, −5, 9.
a) $x = -8$ ; $x = 3$ . b) $x = 0$ ; $2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{7}{2}$ . c) $x = 1$ ; $x = -1$ ; $4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3}{4}$ . d) El $-2$ no da solución; $x = 0$ ; $x = -5$ ; $x = 9$ .
2. Media
Resuelve: a) $(x^2 - 1)(x^2 - 36) = 0$ b) $(x^2 + 3)(x^2 - 5) = 0$ c) $(x + 3)^2(x^2 - 25) = 0$

Ver solución
a) $x = \pm 1$ , $x = \pm 6$ . b) $x = \pm\sqrt{5}$ . c) $x = -3$ (doble), $x = \pm 5$ .
a) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ ; $x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$ . Cuatro soluciones. b) $x^2 + 3 = 0$ no tiene solución; $x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}$ . c) $x = -3$ (doble); $x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ .
3. Media
Resuelve $(x - 2)(x^2 - 8x + 14) = 0$ . Da las soluciones exactas y, después, aproximadas con dos decimales.

Ver solución
$x = 2$ , $x = 4 + \sqrt{2} \approx 5{,}41$ , $x = 4 - \sqrt{2} \approx 2{,}59$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ . $x^2 - 8x + 14 = 0$ : $\Delta = 64 - 56 = 8$ , $x = \dfrac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \dfrac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}$ . Aproximadas (redondeando a las centésimas): $4 + \sqrt{2} \approx 5{,}41$ y $4 - \sqrt{2} \approx 2{,}59$ .
4. Difícil
Escribe una ecuación polinómica cuyas soluciones sean $0$ , $-4$ y $\dfrac{3}{2}$ , primero como producto de factores y después desarrollada (con coeficientes enteros).

Ver solución
x(x + 4)(2x − 3) = 0, es decir, 2x³ + 5x² − 12x = 0.
Cada solución da un factor: $x = 0 \to x$ ; $x = -4 \to (x + 4)$ ; $x = \dfrac{3}{2} \to (2x - 3)$ (para que no haya fracciones). $x(x + 4)(2x - 3) = 0$ Desarrollando: $x(2x^2 - 3x + 8x - 12) = x(2x^2 + 5x - 12) = 2x^3 + 5x^2 - 12x$ , así que $2x^3 + 5x^2 - 12x = 0$ . Cualquier múltiplo de esta ecuación también vale.

Ecuaciones dadas como producto de factores