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Explicación

Primero, a la forma general

Muchas ecuaciones de segundo grado aparecen con paréntesis, productos e identidades notables. Antes de usar la fórmula hay que escribirlas en la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ :

Quita paréntesis y desarrolla las identidades notables: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Pasa todos los términos a un miembro, de modo que el otro quede en 0.
Reduce los términos semejantes y ordénalos: $x^2$ , luego $x$ , luego el número.
Simplifica si puedes:
- si $a$ es negativo, multiplica toda la ecuación por $-1$ ;
- si todos los coeficientes tienen un divisor común, divide entre él.
Resuelve: con la fórmula si es completa, o con el método de las incompletas si falta $b$ o $c$ .
Comprueba en la ecuación original e interpreta si es un problema.

Si $b^2 - 4ac$ no es un cuadrado perfecto, las soluciones llevan una raíz. Se dan exactas (con la raíz) y, si hace falta, aproximadas indicando el redondeo.

Puntos clave

Antes de aplicar la fórmula, la ecuación tiene que estar en forma general, igualada a 0.
Desarrolla bien las identidades notables: $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ .
Si $a < 0$ , multiplica por $-1$ ; si hay divisor común, simplifica: los números serán más pequeños.
Las soluciones pueden ser enteras, fraccionarias o irracionales (con raíz).

Errores frecuentes

ErrorAplicar la fórmula sin haber pasado todo a un miembro: en $x^2 + x = 6$ tomar $c = 6$ .
Cómo corregirloPrimero iguala a 0: $x^2 + x - 6 = 0$ , así que $c = -6$ .
ErrorEscribir $(x - 2)^2 = x^2 - 4$ .
Cómo corregirloFalta el doble producto: $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ .
ErrorRestar un producto sin paréntesis: $(x + 3)(x - 3) - 2x(x - 1) = x^2 - 9 - 2x^2 - 2x$ .
Cómo corregirloEl menos afecta a todo el producto: $-2x(x - 1) = -2x^2 + 2x$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Identidad notable y fórmula numérico
Resuelve $(x - 2)^2 + 3x = 16$ .

Resolución
1. Identidad notable: $x^2 - 4x + 4 + 3x = 16$
2. Todo a un miembro y reducimos: $x^2 - x - 12 = 0$
3. $a = 1$ , $b = -1$ , $c = -12$ : $b^2 - 4ac = 1 + 48 = 49$ $x = \dfrac{1 \pm 7}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 4, \quad x_2 = -3$ Comprobación con $x = -3$ : $(-5)^2 + 3 \cdot (-3) = 25 - 9 = 16$ . ✔
Ejemplo 2. Soluciones con raíz numérico
Resuelve $(2x - 1)(x + 3) = (x + 1)^2 + 5$ . Da las soluciones exactas y aproximadas a las centésimas.

Resolución
1. Desarrollamos: $2x^2 + 6x - x - 3 = x^2 + 2x + 1 + 5$
2. $2x^2 + 5x - 3 - x^2 - 2x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x - 9 = 0$
3. $b^2 - 4ac = 9 + 36 = 45$ , que no es un cuadrado perfecto: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ $x = \dfrac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = \dfrac{-3 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}85, \quad x_2 = \dfrac{-3 - 3\sqrt{5}}{2} \approx -4{,}85$
Ejemplo 3. La pantalla de un libro electrónico situación real
La pantalla de un lector de libros electrónicos es un rectángulo cuyo alto mide 3 cm más que su ancho. Su diagonal mide 15 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de la pantalla?

Resolución
Ancho $x$ , alto $x + 3$ . Por el teorema de Pitágoras: $x^2 + (x + 3)^2 = 15^2$ $x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225 \Rightarrow 2x^2 + 6x - 216 = 0$ Dividimos entre 2: $x^2 + 3x - 108 = 0$ $b^2 - 4ac = 9 + 432 = 441 = 21^2$ ; $x = \dfrac{-3 \pm 21}{2} \Rightarrow x_1 = 9$ , $x_2 = -12$

Una longitud no puede ser negativa: la pantalla mide 9 cm de ancho y 12 cm de alto. Comprobación: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe en forma general y resuelve: a) $x(x + 6) = 4x + 8$ b) $(x + 1)(x - 2) = 4$ c) $(x - 4)^2 = 2x - 8$

Ver solución
a) $2$ y $-4$ b) $3$ y $-2$ c) $6$ y $4$
a) $x^2 + 6x - 4x - 8 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$ ; $4 + 32 = 36$ ; $x = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$ : $x_1 = 2$ , $x_2 = -4$ b) $x^2 - 2x + x - 2 = 4 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0$ ; $1 + 24 = 25$ ; $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$ : $x_1 = 3$ , $x_2 = -2$ c) $x^2 - 8x + 16 = 2x - 8 \Rightarrow x^2 - 10x + 24 = 0$ ; $100 - 96 = 4$ ; $x = \dfrac{10 \pm 2}{2}$ : $x_1 = 6$ , $x_2 = 4$
2. Media
Resuelve $(2x + 1)^2 - (x - 2)^2 = 0$ .

Ver solución
$\dfrac{1}{3}$ y $-3$
$4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 4x + 4) = 0 \Rightarrow 4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 4x - 4 = 0 \Rightarrow 3x^2 + 8x - 3 = 0$ $64 + 36 = 100$ ; $x = \dfrac{-8 \pm 10}{6}$ : $x_1 = \dfrac{1}{3}$ , $x_2 = -3$
3. Media
Resuelve $(x + 3)(x - 3) - 2x(x - 1) = -24$ .

Ver solución
$5$ y $-3$
$x^2 - 9 - 2x^2 + 2x = -24 \Rightarrow -x^2 + 2x + 15 = 0$ Por $-1$ : $x^2 - 2x - 15 = 0$ ; $4 + 60 = 64$ ; $x = \dfrac{2 \pm 8}{2}$ : $x_1 = 5$ , $x_2 = -3$
4. Media
Resuelve $(x - 1)^2 = x + 4$ . Da las soluciones exactas y redondeadas a las centésimas.

Ver solución
$x = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$ : $x_1 \approx 3{,}79$ , $x_2 \approx -0{,}79$
$x^2 - 2x + 1 = x + 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 3 = 0$ ; $9 + 12 = 21$ $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$ : $x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{2} \approx 3{,}79$ , $x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{2} \approx -0{,}79$
5. Difícil
Una foto de 10 cm × 15 cm se amplía añadiendo la misma longitud $x$ a cada uno de sus lados, y así su área se duplica. ¿Cuánto vale $x$ ? ¿Cuáles son las nuevas medidas?

Ver solución
$x = 5$ cm; la foto ampliada mide 15 cm × 20 cm.
Área inicial: $10 \cdot 15 = 150$ cm²; la nueva es el doble, 300 cm². Ecuación: $(10 + x)(15 + x) = 300$ $150 + 10x + 15x + x^2 = 300 \Rightarrow x^2 + 25x - 150 = 0$ $625 + 600 = 1225 = 35^2$ ; $x = \dfrac{-25 \pm 35}{2}$ : $x_1 = 5$ , $x_2 = -30$ (no vale, es una longitud). $x = 5$ cm: la foto ampliada mide 15 cm × 20 cm. Comprobación: $15 \cdot 20 = 300 = 2 \cdot 150$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve: a) $x(x - 1) = 3(x + 7)$ b) $(x + 2)^2 = 7x + 14$ c) $(x - 5)(x + 1) = -9$

Ver solución
a) $7$ y $-3$ b) $5$ y $-2$ c) $2$ (solución doble)
a) $x^2 - x - 3x - 21 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 21 = 0$ ; $16 + 84 = 100$ ; $x = \dfrac{4 \pm 10}{2}$ : $x_1 = 7$ , $x_2 = -3$ b) $x^2 + 4x + 4 - 7x - 14 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$ ; $9 + 40 = 49$ ; $x = \dfrac{3 \pm 7}{2}$ : $x_1 = 5$ , $x_2 = -2$ c) $x^2 + x - 5x - 5 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0$ ; $16 - 16 = 0$ ; $x = \dfrac{4}{2} = 2$ (doble)
2. Media
Resuelve $(x + 3)^2 - 2x(x + 1) = 4$ .

Ver solución
$5$ y $-1$
$x^2 + 6x + 9 - 2x^2 - 2x = 4 \Rightarrow -x^2 + 4x + 5 = 0$ ; por $-1$ : $x^2 - 4x - 5 = 0$ $16 + 20 = 36$ ; $x = \dfrac{4 \pm 6}{2}$ : $x_1 = 5$ , $x_2 = -1$
3. Media
Resuelve $(2x - 1)^2 = 2x(x + 1) + 3$ . Da las soluciones exactas y redondeadas a las centésimas.

Ver solución
$x = \dfrac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ : $x_1 \approx 3{,}30$ , $x_2 \approx -0{,}30$
$4x^2 - 4x + 1 = 2x^2 + 2x + 3 \Rightarrow 2x^2 - 6x - 2 = 0$ ; entre 2: $x^2 - 3x - 1 = 0$ $9 + 4 = 13$ ; $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ : $x_1 \approx 3{,}30$ , $x_2 \approx -0{,}30$
4. Media
Lucas ha resuelto así la ecuación $(x + 1)^2 = 2x + 10$ : $x^2 + 1 = 2x + 10 \Rightarrow x^2 - 2x - 9 = 0$ y después ha aplicado la fórmula. ¿Qué error ha cometido? Resuélvela bien.

Ver solución
Ha desarrollado mal $(x + 1)^2$ . Soluciones: $x = \pm 3$ .
Error: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ ; Lucas ha olvidado el doble producto $2x$ . Bien hecho: $x^2 + 2x + 1 = 2x + 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ (al reducir, queda incompleta). Comprobación con $x = -3$ : $(-2)^2 = 4$ y $-6 + 10 = 4$ . ✔
5. Difícil
Si multiplicas la edad que tendrá Ana dentro de 2 años por la edad que tenía hace 3 años, obtienes 150. ¿Cuántos años tiene Ana?

Ver solución
13 años.
Edad actual $x$ : $(x + 2)(x - 3) = 150 \Rightarrow x^2 - x - 6 - 150 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 156 = 0$ $1 + 624 = 625 = 25^2$ ; $x = \dfrac{1 \pm 25}{2}$ : $x_1 = 13$ , $x_2 = -12$ (una edad no puede ser negativa). Ana tiene 13 años. Comprobación: $15 \cdot 10 = 150$ . ✔

Ecuaciones de segundo grado con paréntesis e identidades notables