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Explicación

Estrategia

Para resolver una ecuación polinómica de grado 3 o más, la convertimos en un producto de factores igualado a cero y aplicamos que, si un producto vale 0, alguno de los factores vale 0.

Pasa todo a un miembro y ordena: $P(x) = 0$ .
Saca factor común si puedes. Si no hay término independiente, $x$ (o una potencia de $x$ ) es factor común: $x^4 - x^3 - 6x^2 = x^2(x^2 - x - 6)$
Si lo que queda es de segundo grado, resuélvelo con la fórmula (o como incompleta).
Si queda grado 3 o más, usa Ruffini: las posibles soluciones enteras son los divisores del término independiente. Prueba con ellos; si $P(r) = 0$ , entonces $(x - r)$ es un factor y Ruffini te da el otro.
Repite hasta llegar a factores de grado 1 o 2, e iguala cada factor a cero.

Recuerda cómo se hace Ruffini

Para dividir $x^3 - 4x^2 + x + 6$ entre $x + 1$ (es decir, probar $r = -1$ ), escribimos los coeficientes (¡con los ceros de los términos que falten!): $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -4 & 1 & 6 \\ -1 & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$ El resto es 0, así que $x = -1$ es solución y $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)$ .

Al final, comprueba alguna solución sustituyendo en la ecuación de partida. Una ecuación de grado $n$ tiene como mucho $n$ soluciones.

Puntos clave

Primero, todo en un miembro e igualado a cero.
Si no hay término independiente, saca $x$ (o $x^2$ …) factor común: $x = 0$ es solución.
Las soluciones enteras de un polinomio con coeficientes enteros están entre los divisores del término independiente.
Si $P(r) = 0$ , $(x - r)$ es un factor; Ruffini da el cociente, que tiene un grado menos.
Cuando el cociente es de segundo grado, termina con la fórmula.
Una ecuación de grado $n$ tiene como mucho $n$ soluciones.

Errores frecuentes

ErrorDividir entre $x$ los dos miembros: de $x^3 = 9x$ pasar a $x^2 = 9$ y perder la solución $x = 0$ .
Cómo corregirloNo dividas entre una expresión que puede valer 0. Pasa todo a un miembro y saca factor común: $x(x^2 - 9) = 0$ .
ErrorOlvidar los ceros en Ruffini: escribir $1 \;\; {-7} \;\; 6$ para $x^3 - 7x + 6$ .
Cómo corregirloCompleta el polinomio: $x^3 + 0x^2 - 7x + 6$ → coeficientes $1,\; 0,\; -7,\; 6$ .
ErrorAl encontrar la raíz $r = 2$ , escribir el factor $(x + 2)$ .
Cómo corregirloLa raíz $r$ da el factor $(x - r)$ : para $r = 2$ , $(x - 2)$ ; para $r = -1$ , $(x + 1)$ .
ErrorResolver el cociente de Ruffini y olvidar la raíz que se usó para dividir.
Cómo corregirloHaz una lista con todas las soluciones: la de Ruffini más las del cociente.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Sacar factor común numérico
Resuelve $x^4 - x^3 - 6x^2 = 0$ .

Resolución
No hay término independiente: sacamos $x^2$ factor común. $x^2(x^2 - x - 6) = 0$
- $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (solución doble).
- $x^2 - x - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$ → $x = 3$ y $x = -2$ .
Soluciones: $x = 0$ (doble), $x = 3$ , $x = -2$ .
Ejemplo 2. Con Ruffini numérico
Resuelve $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ .

Resolución
No hay factor común. Las posibles soluciones enteras son los divisores de 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Probamos: $P(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$ ; $P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ✔. $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -4 & 1 & 6 \\ -1 & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$ Queda $(x + 1)(x^2 - 5x + 6) = 0$ . $x^2 - 5x + 6 = 0$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ → $x = 3$ , $x = 2$ .

Soluciones: $x = -1$ , $x = 2$ , $x = 3$ .
Ejemplo 3. Un joyero de medio litro situación real
Un joyero tiene forma de prisma de base cuadrada. Su altura mide 5 cm menos que el lado de la base y su volumen es de 500 cm³. ¿Cuánto miden el lado de la base y la altura?

Resolución
Si el lado de la base mide $x$ cm, la altura mide $x - 5$ cm y el volumen es $x^2(x - 5)$ : $x^2(x - 5) = 500 \;\Rightarrow\; x^3 - 5x^2 - 500 = 0$ Los divisores de 500 son muchos; como la altura tiene que ser positiva, $x > 5$ . Probamos valores razonables: $x = 10$ → $1000 - 500 - 500 = 0$ ✔. $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -5 & 0 & -500 \\ 10 & & 10 & 50 & 500 \\ \hline & 1 & 5 & 50 & 0 \end{array}$ $x^2 + 5x + 50 = 0$ : $\Delta = 25 - 200 < 0$ , no da más soluciones. La base mide 10 cm de lado y la altura 5 cm. Comprobación: $10^2 \cdot 5 = 500$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve sacando factor común: a) $x^3 - 36x = 0$ b) $2x^3 + 6x^2 = 0$ c) $x^3 + x^2 - 12x = 0$ d) $x^4 - 16x^2 = 0$

Ver solución
a) 0, 6, −6. b) 0 (doble), −3. c) 0, 3, −4. d) 0 (doble), 4, −4.
a) $x(x^2 - 36) = 0$ → $x = 0$ , $x = \pm 6$ . b) $2x^2(x + 3) = 0$ → $x = 0$ (doble), $x = -3$ . c) $x(x^2 + x - 12) = 0$ → $x = 0$ ; $\Delta = 1 + 48 = 49$ , $x = \dfrac{-1 \pm 7}{2}$ → $x = 3$ , $x = -4$ . d) $x^2(x^2 - 16) = 0$ → $x = 0$ (doble), $x = \pm 4$ .
2. Media
Resuelve con Ruffini: a) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ b) $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Ver solución
a) 1, −2, 3. b) 1, −1, −2.
a) $P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ . Ruffini con 1: cociente $x^2 - x - 6$ . $\Delta = 25$ , $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$ → $3$ y $-2$ . Soluciones: $1, -2, 3$ . b) $P(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$ . Ruffini con 1: cociente $x^2 + 3x + 2$ . $\Delta = 1$ , $x = \dfrac{-3 \pm 1}{2}$ → $-1$ y $-2$ . Soluciones: $1, -1, -2$ .
3. Media
Resuelve $x^3 + 6 = 7x$ .

Ver solución
$x = 1$ , $x = 2$ , $x = -3$
Pasamos todo a un miembro: $x^3 - 7x + 6 = 0$ (coeficientes $1, 0, -7, 6$ ). $P(1) = 1 - 7 + 6 = 0$ ✔. Ruffini con 1: $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -7 & 6 \\ 1 & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$ $x^2 + x - 6 = 0$ : $\Delta = 25$ , $x = \dfrac{-1 \pm 5}{2}$ → $x = 2$ , $x = -3$ . Soluciones: $1, 2, -3$ .
4. Difícil
Resuelve la ecuación de cuarto grado $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 = 0$ .

Ver solución
$x = 1$ , $x = -1$ , $x = 2$ , $x = 3$
Divisores de $-6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . $P(1) = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$ . Ruffini con 1: cociente $x^3 - 4x^2 + x + 6$ . Con ese cociente: $Q(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ . Ruffini con $-1$ : cociente $x^2 - 5x + 6$ . $x^2 - 5x + 6 = 0$ → $x = 2$ , $x = 3$ . Soluciones: $1, -1, 2, 3$ (cuatro soluciones, el máximo para grado 4).

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve sacando factor común: a) $x^3 + 4x^2 = 0$ b) $3x^3 - 12x = 0$ c) $x^4 - 2x^3 - 15x^2 = 0$

Ver solución
a) 0 (doble), −4. b) 0, 2, −2. c) 0 (doble), 5, −3.
a) $x^2(x + 4) = 0$ → $x = 0$ (doble), $x = -4$ . b) $3x(x^2 - 4) = 0$ → $x = 0$ , $x = \pm 2$ . c) $x^2(x^2 - 2x - 15) = 0$ → $x = 0$ (doble); $\Delta = 4 + 60 = 64$ , $x = \dfrac{2 \pm 8}{2}$ → $5$ , $-3$ .
2. Media
Resuelve $x^3 + x^2 - 10x + 8 = 0$ .

Ver solución
x = 1, x = 2, x = −4.
$P(1) = 1 + 1 - 10 + 8 = 0$ . Ruffini con 1: cociente $x^2 + 2x - 8$ . $\Delta = 4 + 32 = 36$ , $x = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$ → $x = 2$ , $x = -4$ . Soluciones: $1, 2, -4$ .
3. Media
Resuelve $x^3 - 3x^2 - 2x + 4 = 0$ . Da las soluciones exactas.

Ver solución
$x = 1$ , $x = 1 + \sqrt{5}$ , $x = 1 - \sqrt{5}$
$P(1) = 1 - 3 - 2 + 4 = 0$ . Ruffini con 1: cociente $x^2 - 2x - 4$ . $\Delta = 4 + 16 = 20$ , $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$ . Soluciones: $1$ , $1 + \sqrt{5}$ , $1 - \sqrt{5}$ .
4. Difícil
Resuelve $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$ .

Ver solución
$x = 2$ , $x = -1$ , $x = \dfrac{1}{2}$
Divisores de 2: $\pm 1, \pm 2$ . $P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ . $\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -3 & -3 & 2 \\ 2 & & 4 & 2 & -2 \\ \hline & 2 & 1 & -1 & 0 \end{array}$ $2x^2 + x - 1 = 0$ : $\Delta = 1 + 8 = 9$ , $x = \dfrac{-1 \pm 3}{4}$ → $x = \dfrac{1}{2}$ , $x = -1$ . Soluciones: $2, -1, \dfrac{1}{2}$ .
5. Difícil
Las dimensiones de una caja con forma de ortoedro son tres números enteros consecutivos (en cm) y su volumen es de 60 cm³. Plantea una ecuación y halla las dimensiones.

Ver solución
3 cm, 4 cm y 5 cm.
Si las medidas son $x$ , $x + 1$ y $x + 2$ : $x(x + 1)(x + 2) = 60 \Rightarrow x^3 + 3x^2 + 2x - 60 = 0$ . $P(3) = 27 + 27 + 6 - 60 = 0$ . Ruffini con 3: cociente $x^2 + 6x + 20$ , con $\Delta = 36 - 80 < 0$ (no da más soluciones). $x = 3$ : la caja mide 3 cm × 4 cm × 5 cm. Comprobación: $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ ✔.

Ecuaciones de grado superior: factor común y Ruffini