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Matemáticas 3.º ESO · Problemas de primer grado: móviles, grifos y trabajos

Recuerda: las fases para resolver un problema (números y edades)

Objetivo: Al terminar, sabrás seguir las fases de resolución de un problema (comprender, elegir la incógnita, plantear, resolver y comprobar) en problemas de números y de edades.

Recuerda

Las fases de un problema

Para resolver un problema con una ecuación se siguen siempre los mismos pasos:

Comprender el enunciado: léelo dos veces, anota los datos y qué te preguntan.
Elegir la incógnita: llama $x$ a una de las cantidades desconocidas (mejor la más pequeña) y escribe las demás en función de $x$ .
Plantear la ecuación: traduce al lenguaje algebraico la condición que liga los datos.
Resolver la ecuación.
Comprobar e interpretar: comprueba que la solución cumple el enunciado (no solo la ecuación) y responde a la pregunta con una frase.

Un consejo: antes de plantear, prueba con un número cualquiera (por ejemplo, $x = 10$ ) para ver qué operaciones hay que hacer; luego cambia ese número por $x$ .

Problemas de edades

Si una persona tiene hoy $x$ años:

dentro de 5 años tendrá $x + 5$ ;
hace 5 años tenía $x - 5$ .

Los años pasan igual para todos: si dentro de 5 años, hay que sumar 5 a todas las edades. Ayuda mucho hacer una tabla:

	Hoy	Dentro de 5 años
Hija	$x$	$x + 5$
Madre	$3x$	$3x + 5$

Traducciones frecuentes

Enunciado	Expresión
Un número y su doble, su triple, su mitad	$x$ , $2x$ , $3x$ , $\dfrac{x}{2}$
Tres números consecutivos	$x$ , $x + 1$ , $x + 2$
Dos números pares consecutivos	$2x$ , $2x + 2$
$A$ tiene 5 años más que $B$	$B$ : $x$ ; $A$ : $x + 5$
$A$ tiene el triple de edad que $B$	$B$ : $x$ ; $A$ : $3x$

Puntos clave

Fases: comprender, elegir la incógnita, plantear, resolver y comprobar.
Escribe todas las cantidades en función de una sola incógnita.
La comprobación se hace con el enunciado, no con la ecuación.
Termina con una frase que responda a la pregunta.
En los problemas de edades, haz una tabla «hoy / dentro de… / hace…» y suma o resta los mismos años a todas las personas.

Errores frecuentes

ErrorDar como respuesta solo el valor de $x$ cuando se preguntan varias cantidades.
Cómo corregirloCalcula todas las cantidades que se piden: si $x = 23$ es el menor de tres consecutivos, la respuesta es 23, 24 y 25.
ErrorTraducir «A tiene 9 años más que B» como $A + 9 = B$ .
Cómo corregirloPiensa quién es mayor: A. Si B tiene $x$ años, A tiene $x + 9$ .
ErrorEn un problema de edades, sumar los años que pasan solo a una de las personas: «dentro de 16 años, la madre tendrá el doble» → $40 + x = 2 \cdot 12$ .
Cómo corregirloLos años pasan para todos: dentro de $x$ años, la madre tendrá $40 + x$ y la hija $12 + x$ . La ecuación es $40 + x = 2 \cdot (12 + x)$ .
ErrorEmpezar a escribir la ecuación sin decir qué es $x$ .
Cómo corregirloEscribe siempre primero una frase como « $x$ = edad del hijo» o « $x$ = número de semanas».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres números consecutivos numérico
La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Qué números son?

Resolución
1. Buscamos tres números seguidos que sumen 72.
2. Incógnita: el menor, $x$ . Los otros: $x + 1$ y $x + 2$ .
3. Ecuación: $x + (x + 1) + (x + 2) = 72$ .
4. $3x + 3 = 72 \Rightarrow 3x = 69 \Rightarrow x = 23$ .
5. Los números son 23, 24 y 25. Comprobación: $23 + 24 + 25 = 72$ ✔.
Ejemplo 2. Padre e hijo situación real
Un padre tiene el triple de edad que su hijo y entre los dos suman 52 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Resolución
Edad del hijo: $x$ ; edad del padre: $3x$ . $x + 3x = 52 \Rightarrow 4x = 52 \Rightarrow x = 13$ . El hijo tiene 13 años y el padre 39. Comprobación: $39 = 3 \cdot 13$ y $13 + 39 = 52$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Si al doble de un número le restas 7, obtienes 35. ¿Cuál es el número?

Ver solución
21
$2x - 7 = 35 \Rightarrow 2x = 42 \Rightarrow x = 21$ . Comprobación: $2 \cdot 21 - 7 = 35$ ✔.
2. Media
Tres números pares consecutivos suman 114. ¿Cuáles son?

Ver solución
36, 38 y 40
$2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 114 \Rightarrow 6x + 6 = 114 \Rightarrow x = 18$ . Los números son $36$ , $38$ y $40$ . Comprobación: $36 + 38 + 40 = 114$ ✔.
3. Media
Marta tiene 9 años más que su hermano y entre los dos suman 37 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

Ver solución
El hermano, 14 años; Marta, 23.
Hermano: $x$ ; Marta: $x + 9$ . $x + x + 9 = 37 \Rightarrow 2x = 28 \Rightarrow x = 14$ . El hermano tiene 14 años y Marta 23. Comprobación: $14 + 23 = 37$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
La mitad de un número más su tercera parte es 40. ¿De qué número se trata?

Ver solución
48
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 40$ . Multiplicamos por 6: $3x + 2x = 240 \Rightarrow 5x = 240 \Rightarrow x = 48$ . Comprobación: $24 + 16 = 40$ ✔.
2. Fácil
Cuatro números consecutivos suman 106. ¿Cuáles son?

Ver solución
25, 26, 27 y 28
$x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 106 \Rightarrow 4x + 6 = 106 \Rightarrow x = 25$ . Son $25, 26, 27$ y $28$ .
3. Media
Una abuela tiene cuatro veces la edad de su nieta, y la diferencia entre sus edades es de 51 años. ¿Cuántos años tiene cada una?

Ver solución
La nieta, 17 años; la abuela, 68.
Nieta: $x$ ; abuela: $4x$ . $4x - x = 51 \Rightarrow 3x = 51 \Rightarrow x = 17$ . La nieta tiene 17 años y la abuela 68. Comprobación: $68 = 4 \cdot 17$ y $68 - 17 = 51$ ✔.