Soluciones aproximadas por tanteo con tablas de valores

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorQuedarse con el valor de la tabla en el que $f(x)$ está más cerca de 0, sin comprobar el punto medio.

  Cómo corregirloQue $f(x)$ sea pequeño no garantiza que $x$ sea el más cercano. Para redondear, calcula $f$ en el punto medio (por ejemplo, $f(1{,}55)$).

• ErrorDar como solución un número de la tabla sin decir que es aproximado: «$x = 1{,}5$».

  Cómo corregirloEscribe $x \approx 1{,}5$ e indica la precisión: «redondeado a las décimas».

• ErrorEn la hoja de cálculo, escribir la fórmula sin el signo igual o con la x en lugar de la celda: x^3+x-5.

  Cómo corregirloLas fórmulas empiezan por = y usan la celda: =A2^3+A2-5.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Aproximar la solución de x³ + x = 5 numérico (tanteo)

   Aproxima, redondeando a las décimas, la solución de $x^3 + x = 5$.

   Resolución

   Escribimos $f(x) = x^3 + x - 5$ y buscamos dónde vale 0.

   $x$	0	1	2
   $f(x)$	$-5$	$-3$	$5$

   Cambia de signo entre 1 y 2. Afinamos con pasos de 0,1:

   $x$	1,4	1,5	1,6
   $f(x)$	$-0{,}856$	$-0{,}125$	$0{,}696$

   La solución está entre 1,5 y 1,6. Punto medio: $f(1{,}55) \approx 0{,}274 > 0$, así que la solución está entre 1,5 y 1,55. Solución: $x \approx 1{,}5$ (redondeada a las décimas).

2. Ejemplo 2. Una caja de 10 litros situación real (hoja de cálculo)

   Queremos fabricar una caja de base cuadrada cuya altura mida 1 dm más que el lado de la base y cuyo volumen sea 10 dm³ (10 litros). ¿Cuánto debe medir el lado de la base? Usa una hoja de cálculo y da el resultado con dos decimales.

   Resolución

   Si el lado mide $x$ dm, el volumen es $x^2(x + 1) = x^3 + x^2$. Queremos $x^3 + x^2 = 10$, es decir, $f(x) = x^3 + x^2 - 10 = 0$. En la hoja: columna A con $x$ y en B2 la fórmula =A2^3+A2^2-10.

   • Con paso 1: $f(1) = -8$, $f(2) = 2$ → entre 1 y 2.
   • Con paso 0,1: $f(1{,}8) = -0{,}928$, $f(1{,}9) = 0{,}469$ → entre 1,8 y 1,9.
   • Con paso 0,01: $f(1{,}86) \approx -0{,}106$, $f(1{,}87) \approx 0{,}036$ → entre 1,86 y 1,87.
   • Punto medio: $f(1{,}865) \approx -0{,}035 < 0$ → entre 1,865 y 1,87.

   El lado mide $x \approx 1{,}87$ dm (redondeado a las centésimas) y la altura, unos 2,87 dm. Comprobación: $1{,}87^2 \cdot 2{,}87 \approx 10{,}04$ dm³ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   a) Aproxima por tanteo, redondeando a las décimas, la solución positiva de $x^2 + x = 7$. b) Resuelve la ecuación con la fórmula y compara.

   Ver solución

   a) x ≈ 2,2. b) x = (−1 + √29)/2 ≈ 2,19.

   a) $f(x) = x^2 + x - 7$: $f(2) = -1$, $f(3) = 5$; $f(2{,}1) = -0{,}49$, $f(2{,}2) = 0{,}04$; $f(2{,}15) \approx -0{,}228 < 0$ → entre 2,15 y 2,2 → $x \approx 2{,}2$. b) $x^2 + x - 7 = 0$: $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$; la positiva es $\dfrac{-1 + \sqrt{29}}{2} \approx 2{,}19$. Coinciden.

2. 2. Media

   Aproxima con la calculadora, redondeando a las décimas, el valor de $x$ que cumple $2^x = 10$.

   Ver solución

   x ≈ 3,3

   $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$ → entre 3 y 4. $2^{3{,}3} \approx 9{,}85$ y $2^{3{,}4} \approx 10{,}56$ → entre 3,3 y 3,4. Punto medio: $2^{3{,}35} \approx 10{,}20 > 10$ → entre 3,3 y 3,35 → $x \approx 3{,}3$.

3. 3. Media

   Ingresas 1000 € en una cuenta en la que el dinero aumenta un 3 % cada año (los intereses se acumulan). Al cabo de $n$ años tendrás $1000 \cdot 1{,}03^n$ euros. Con una tabla en la hoja de cálculo o en la calculadora, averigua cuántos años completos hacen falta para superar los 1500 €.

   Ver solución

   14 años

   Tabla de $1000 \cdot 1{,}03^n$ (fórmula =1000*1,03^A2):

   • $n = 13$: $\approx 1468{,}53$ €
   • $n = 14$: $\approx 1512{,}59$ €

   Se superan los 1500 € a los 14 años.

4. 4. Difícil

   Con una hoja de cálculo, aproxima con dos decimales la solución de $x^3 - 3x = 5$.

   Ver solución

   x ≈ 2,28

   $f(x) = x^3 - 3x - 5$: $f(2) = -3$, $f(3) = 13$; $f(2{,}2) = -0{,}952$, $f(2{,}3) = 0{,}267$; $f(2{,}27) \approx -0{,}113$, $f(2{,}28) \approx 0{,}012$. Punto medio: $f(2{,}275) \approx -0{,}050 < 0$ → entre 2,275 y 2,28 → $x \approx 2{,}28$.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Aproxima, redondeando a las décimas, la solución de $x^3 + 2x = 20$.

   Ver solución

   x ≈ 2,5

   $f(x) = x^3 + 2x - 20$: $f(2) = -8$, $f(3) = 13$; $f(2{,}4) = -1{,}376$, $f(2{,}5) = 0{,}625$; $f(2{,}45) \approx -0{,}394 < 0$ → entre 2,45 y 2,5 → $x \approx 2{,}5$.

2. 2. Media

   a) Aproxima por tanteo, redondeando a las décimas, la solución positiva de $x^2 = 2x + 4$. b) Comprueba tu resultado resolviendo la ecuación con la fórmula.

   Ver solución

   a) x ≈ 3,2. b) x = 1 + √5 ≈ 3,24.

   a) $f(x) = x^2 - 2x - 4$: $f(3) = -1$, $f(4) = 4$; $f(3{,}2) = -0{,}16$, $f(3{,}3) = 0{,}29$; $f(3{,}25) \approx 0{,}063 > 0$ → entre 3,2 y 3,25 → $x \approx 3{,}2$. b) $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$; la positiva, $1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24$ ✔.

3. 3. Media

   Un depósito con forma de cubo debe tener una capacidad de 3 m³. Aproxima por tanteo, con dos decimales, cuánto debe medir su arista. Comprueba después con la tecla de raíz cúbica de la calculadora.

   Ver solución

   Unos 1,44 m

   Buscamos $x^3 = 3$: $1{,}4^3 = 2{,}744$ y $1{,}5^3 = 3{,}375$; $1{,}44^3 \approx 2{,}986$ y $1{,}45^3 \approx 3{,}049$; $1{,}445^3 \approx 3{,}017 > 3$ → entre 1,44 y 1,445 → $x \approx 1{,}44$ m. Con la calculadora: $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442$ ✔.

4. 4. Media

   Una ciudad tiene 50 000 habitantes y su población crece aproximadamente un 2 % cada año. Al cabo de $n$ años tendrá unos $50\,000 \cdot 1{,}02^n$ habitantes. ¿Cuántos años completos tardará en superar los 60 000 habitantes?

   Ver solución

   10 años

   $n = 9$: $50\,000 \cdot 1{,}02^9 \approx 59\,755$; $n = 10$: $50\,000 \cdot 1{,}02^{10} \approx 60\,950$. Los superará a los 10 años.