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Matemáticas 3.º ESO · Taller: resolución aproximada y con tecnología

Resolver ecuaciones con gráficas y con GeoGebra

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones de forma gráfica, como puntos de corte de dos gráficas, obtener las soluciones con GeoGebra y comprobarlas con la calculadora.

Explicación

Resolver una ecuación con gráficas

Para resolver una ecuación $A(x) = B(x)$ de forma gráfica:

Dibuja las gráficas de $y = A(x)$ y de $y = B(x)$ en los mismos ejes.
Busca los puntos de corte de las dos gráficas.
Las soluciones son las coordenadas $x$ (las abscisas) de esos puntos: allí los dos miembros valen lo mismo.

También se puede pasar todo a un miembro, $f(x) = A(x) - B(x) = 0$ , y buscar dónde corta la gráfica de $f$ al eje X.

El número de puntos de corte es el número de soluciones. Una gráfica a mano da solo una idea aproximada; con GeoGebra se obtienen con muchos decimales.

Con GeoGebra

En la barra de entrada escribe cada miembro como una función: f(x) = 2^x y g(x) = x + 3.
Para los puntos de corte: Interseca(f, g) (o la herramienta Intersección). GeoGebra muestra los puntos con sus coordenadas.
En la vista CAS, Resuelve(x^3 - 3x = 1) intenta dar las soluciones exactas y NResuelve(x^3 - 3x = 1) las da en decimales.

Comprobar siempre

Una solución obtenida con tecnología (o a mano) se comprueba sustituyendo en la ecuación de partida, con la calculadora. Es muy importante en las ecuaciones con raíces: al elevar al cuadrado para quitar la raíz pueden aparecer valores que no son solución de la ecuación original. La gráfica y la comprobación los delatan.

Puntos clave

Las soluciones de $A(x) = B(x)$ son las abscisas de los puntos de corte de $y = A(x)$ e $y = B(x)$ .
Equivale a buscar dónde corta $y = A(x) - B(x)$ al eje X.
GeoGebra: define las dos funciones y usa Interseca(f, g); en la vista CAS, Resuelve (exacto) y NResuelve (decimal).
Comprueba siempre las soluciones sustituyendo en la ecuación de partida.
En las ecuaciones con raíces pueden aparecer soluciones falsas: compruébalas.

Errores frecuentes

ErrorDar como solución el punto de corte completo, por ejemplo «(2, 3)».
Cómo corregirloLa solución de la ecuación es la coordenada $x$ del punto: $x = 2$ . El 3 es el valor común de los dos miembros.
ErrorDar por buenas todas las soluciones que salen al elevar al cuadrado.
Cómo corregirloSustituye cada una en la ecuación original. En $\sqrt{x + 7} = x + 1$ , $x = -3$ da $2 = -2$ : no es solución.
ErrorLeer en la gráfica un valor exacto cuando solo es aproximado.
Cómo corregirloEscribe $x \approx 2{,}4$ y, si hace falta precisión, usa GeoGebra o una tabla de valores.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Dónde se cortan 2ˣ y x + 3? gráfico (con GeoGebra)
Resuelve gráficamente $2^x = x + 3$ . Usa la gráfica para saber cuántas soluciones hay y GeoGebra para darlas con dos decimales.

Resolución
Dibujamos $y = 2^x$ (crece cada vez más deprisa) e $y = x + 3$ (una recta). Se cortan en dos puntos, así que la ecuación tiene dos soluciones: una cerca de $x = -3$ y otra entre 2 y 3. En GeoGebra: f(x) = 2^x, g(x) = x + 3, Interseca(f, g) → $A \approx (-2{,}86;\ 0{,}14)$ y $B \approx (2{,}44;\ 5{,}44)$ . Soluciones: $x \approx -2{,}86$ y $x \approx 2{,}44$ (redondeadas a las centésimas). Comprobación con la calculadora: $2^{2{,}44} \approx 5{,}43$ y $2{,}44 + 3 = 5{,}44$ ✔ (casi iguales, porque la solución está redondeada).
Ejemplo 2. Una solución que no lo es gráfico (comprobar soluciones)
Para resolver $\sqrt{x + 7} = x + 1$ , un compañero ha elevado los dos miembros al cuadrado y ha obtenido $x^2 + x - 6 = 0$ , con soluciones $x = 2$ y $x = -3$ . Usa la gráfica y la calculadora para decidir cuáles son soluciones de la ecuación original.

Resolución
En la gráfica, $y = \sqrt{x + 7}$ e $y = x + 1$ se cortan en un solo punto, $(2, 3)$ . Comprobamos sustituyendo:
- $x = 2$ : $\sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3$ y $2 + 1 = 3$ ✔. Es solución.
- $x = -3$ : $\sqrt{-3 + 7} = \sqrt{4} = 2$ , pero $-3 + 1 = -2$ . $2 \neq -2$ : no es solución.
Al elevar al cuadrado, $2^2 = (-2)^2$ , y por eso apareció un valor falso. Única solución: $x = 2$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En la gráfica están dibujadas $y = x^2 - 1$ e $y = x + 1$ . a) Lee en la gráfica las soluciones de la ecuación $x^2 - 1 = x + 1$ . b) Resuelve la ecuación algebraicamente y comprueba que coinciden.

Ver solución
a) x = −1 y x = 2. b) x² − x − 2 = 0 → x = −1, x = 2.
a) Las gráficas se cortan en $(-1, 0)$ y $(2, 3)$ : las soluciones son $x = -1$ y $x = 2$ . b) $x^2 - 1 = x + 1 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$ ; $\Delta = 1 + 8 = 9$ ; $x = \dfrac{1 \pm 3}{2}$ → $x = 2$ , $x = -1$ ✔.
2. Media
Con GeoGebra, resuelve $x^3 - 3x = 1$ . ¿Cuántas soluciones tiene? Dalas redondeadas a las centésimas.

Ver solución
Tres: x ≈ −1,53, x ≈ −0,35, x ≈ 1,88.
Con f(x) = x^3 - 3x y g(x) = 1, Interseca(f, g) da tres puntos. (También NResuelve(x^3 - 3x = 1) en la vista CAS.) Soluciones: $x \approx -1{,}53$ ; $x \approx -0{,}35$ ; $x \approx 1{,}88$ .
3. Media
Al resolver $\sqrt{2x + 3} = x$ elevando al cuadrado se obtienen los valores $x = 3$ y $x = -1$ . Comprueba con la calculadora cuáles son soluciones de la ecuación original.

Ver solución
Solo x = 3.
$x = 3$ : $\sqrt{9} = 3$ ✔. $x = -1$ : $\sqrt{1} = 1 \neq -1$ ✗. Única solución: $x = 3$ .
4. Difícil
En un laboratorio estudian dos cultivos de bacterias. El número de bacterias del primero a las $t$ horas es $100 \cdot 2^t$ y el del segundo es $400 + 300t$ . a) Con GeoGebra, dibuja las dos funciones para $t \geq 0$ y halla cuándo tienen el mismo número de bacterias. b) Comprueba el resultado con la calculadora. ¿Qué cultivo tiene más bacterias a partir de ese momento?

Ver solución
a) A las 4 horas (1600 bacterias cada uno). b) A partir de entonces, el primero.
a) Las gráficas de $y = 100 \cdot 2^t$ e $y = 400 + 300t$ se cortan, para $t \geq 0$ , en el punto $(4, 1600)$ . (Hay otro corte en $t \approx -1{,}19$ , que no tiene sentido porque el tiempo empieza en 0.) b) $100 \cdot 2^4 = 1600$ y $400 + 300 \cdot 4 = 1600$ ✔. Después de las 4 horas, la gráfica del primero queda por encima: el primer cultivo tiene más bacterias.

Para practicar más

1. Fácil
Observa la gráfica de $y = x^2 - 4x + 3$ y de $y = -x + 3$ . a) ¿Cuáles son las soluciones de $x^2 - 4x + 3 = -x + 3$ ? b) Compruébalo resolviendo la ecuación.

Ver solución
a) x = 0 y x = 3. b) x² − 3x = 0 → x = 0, x = 3.
a) Las gráficas se cortan en $(0, 3)$ y $(3, 0)$ → $x = 0$ y $x = 3$ . b) $x^2 - 4x + 3 = -x + 3 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0$ → $x = 0$ , $x = 3$ ✔.
2. Media
Con GeoGebra (o con una tabla de valores), resuelve $3^x = 5 - x$ y da la solución con dos decimales. Comprueba con la calculadora.

Ver solución
x ≈ 1,21
f(x) = 3^x, g(x) = 5 - x, Interseca(f, g) → un único punto, $x \approx 1{,}21$ . Comprobación: $3^{1{,}21} \approx 3{,}78$ y $5 - 1{,}21 = 3{,}79$ ✔ (casi iguales por el redondeo).
3. Media
Al resolver $\sqrt{x + 2} = x - 4$ elevando al cuadrado se obtienen $x = 7$ y $x = 2$ . ¿Cuáles son soluciones de verdad?

Ver solución
Solo x = 7.
$x = 7$ : $\sqrt{9} = 3$ y $7 - 4 = 3$ ✔. $x = 2$ : $\sqrt{4} = 2$ y $2 - 4 = -2$ ✗. Única solución: $x = 7$ .
4. Difícil
a) Resuelve $x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0$ con la vista CAS de GeoGebra usando Resuelve y NResuelve. ¿Qué diferencia hay entre las dos respuestas? b) Comprueba a mano, con Ruffini, que $x = 2$ es solución y obtén las otras dos de forma exacta.

Ver solución
a) Resuelve: x = 2, x = 2 − √3, x = 2 + √3; NResuelve: x ≈ 0,27; 2; 3,73. b) Cociente x² − 4x + 1 → x = 2 ± √3.
a) Resuelve da las soluciones exactas: $x = 2$ , $x = 2 - \sqrt{3}$ , $x = 2 + \sqrt{3}$ . NResuelve las da en decimales: $x \approx 0{,}27$ ; $x = 2$ ; $x \approx 3{,}73$ . b) Ruffini con 2: coeficientes $1, -6, 9, -2$ → $1, -4, 1, 0$ . Resto 0 ✔. Cociente $x^2 - 4x + 1 = 0$ : $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$ .