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Matemáticas 3.º ESO · Problemas con ecuaciones de segundo grado

Problemas de números consecutivos y validez de las soluciones

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear problemas de números consecutivos (y de recuentos y edades) que llevan a una ecuación de segundo grado, y decidir según el enunciado qué soluciones son válidas.

Explicación

Números consecutivos

Enunciado	Expresión
Dos números enteros consecutivos	$x$ y $x + 1$
Tres números consecutivos	$x$ , $x + 1$ , $x + 2$
Dos números pares consecutivos	$x$ y $x + 2$ (con $x$ par) o $2n$ y $2n + 2$
Dos números impares consecutivos	$x$ y $x + 2$ (con $x$ impar) o $2n + 1$ y $2n + 3$

Cuando el problema habla de productos o de cuadrados de esos números, sale una ecuación de segundo grado.

¿Valen las dos soluciones?

Al resolver obtenemos dos valores de $x$ , pero el enunciado decide cuáles sirven:

Si habla de números enteros, pueden valer las dos (positivas y negativas): el problema tiene dos respuestas.
Si habla de números naturales, páginas, personas, equipos, filas…, solo valen los enteros positivos.
Si es una edad, tiene que ser positiva tanto hoy como en los momentos de los que habla el problema.
Si $x$ debe ser par (o impar), comprueba que lo es.

Termina siempre comprobando con el enunciado y respondiendo con una frase.

Puntos clave

Consecutivos: $x$ , $x + 1$ ; pares o impares consecutivos: $x$ , $x + 2$ .
Productos o cuadrados de consecutivos llevan a ecuaciones de segundo grado.
El enunciado decide qué soluciones valen: naturales, enteros, positivos, pares…
Si valen las dos soluciones, el problema tiene dos respuestas: hay que darlas.

Errores frecuentes

ErrorDescartar siempre la solución negativa, aunque el problema hable de números enteros.
Cómo corregirloSi el enunciado dice «números enteros», $-14$ y $-12$ son una respuesta tan buena como $12$ y $14$ .
ErrorEscribir dos números pares consecutivos como $x$ y $x + 1$ .
Cómo corregirloEntre dos pares consecutivos hay 2 unidades: $x$ y $x + 2$ .
ErrorEn problemas de edades, aceptar una solución que da una edad negativa en el pasado.
Cómo corregirloComprueba la edad en todos los momentos del enunciado: si hace 3 años habría tenido $-2$ años, no vale.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos pares consecutivos numérico
El producto de dos números pares consecutivos es 168. ¿Qué números son? ¿Y si se trata de números naturales?

Resolución
Números: $x$ y $x + 2$ . $x(x + 2) = 168 \Rightarrow x^2 + 2x - 168 = 0$ . $\Delta = 4 + 672 = 676 = 26^2$ ; $x = \dfrac{-2 \pm 26}{2}$ → $x = 12$ o $x = -14$ .
- Con $x = 12$ : los números son 12 y 14.
- Con $x = -14$ : los números son −14 y −12. También son pares consecutivos: $(-14) \cdot (-12) = 168$ ✔.
Si tienen que ser naturales, la única respuesta es 12 y 14.
Ejemplo 2. Las páginas de un libro situación real (descartar soluciones)
Abres un libro y el producto de los números de las dos páginas que ves es 506. ¿En qué páginas lo has abierto?

Resolución
Las páginas son consecutivas: $x$ y $x + 1$ . $x(x + 1) = 506 \Rightarrow x^2 + x - 506 = 0$ . $\Delta = 1 + 2024 = 2025 = 45^2$ ; $x = \dfrac{-1 \pm 45}{2}$ → $x = 22$ o $x = -23$ . No hay páginas negativas: el libro está abierto por las páginas 22 y 23. Comprobación: $22 \cdot 23 = 506$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 110. ¿Qué números son?

Ver solución
5, 6 y 7, o bien −7, −6 y −5.
$x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2 = 110 \Rightarrow 3x^2 + 6x + 5 = 110 \Rightarrow x^2 + 2x - 35 = 0$ → $x = 5$ o $x = -7$ . Dos respuestas: 5, 6, 7 y −7, −6, −5 ( $25 + 36 + 49 = 110$ ✔).
2. Fácil
El producto de dos números impares consecutivos es 143. ¿Cuáles son?

Ver solución
11 y 13, o bien −13 y −11.
$x(x + 2) = 143 \Rightarrow x^2 + 2x - 143 = 0$ ; $\Delta = 4 + 572 = 576 = 24^2$ ; $x = \dfrac{-2 \pm 24}{2}$ → $x = 11$ o $x = -13$ . 11 y 13, o bien −13 y −11 (los dos son impares).
3. Media
Dentro de 3 años, la edad de Leo será el cuadrado de la edad que tenía hace 3 años. ¿Cuántos años tiene Leo?

Ver solución
6 años
$x + 3 = (x - 3)^2 \Rightarrow x + 3 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0$ → $x = 6$ o $x = 1$ . Con $x = 1$ , hace 3 años Leo tendría $-2$ años: no vale. Leo tiene 6 años (dentro de 3 tendrá 9, y hace 3 tenía 3: $9 = 3^2$ ✔).
4. Difícil
En una liga escolar de baloncesto, cada equipo juega contra cada uno de los demás dos veces (ida y vuelta). En total se juegan 90 partidos. ¿Cuántos equipos hay?

Ver solución
10 equipos
Con $x$ equipos, cada uno juega contra $x - 1$ rivales en casa: $x(x - 1) = 90 \Rightarrow x^2 - x - 90 = 0$ → $x = 10$ o $x = -9$ . No puede haber un número negativo de equipos: 10 equipos.

Para practicar más

1. Fácil
Halla dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 600.

Ver solución
24 y 25
$x(x + 1) = 600 \Rightarrow x^2 + x - 600 = 0$ ; $\Delta = 2401 = 49^2$ ; $x = \dfrac{-1 \pm 49}{2}$ → $x = 24$ o $x = -25$ (no es natural). 24 y 25.
2. Media
La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 244. ¿Qué números son?

Ver solución
10 y 12, o bien −12 y −10.
$x^2 + (x + 2)^2 = 244 \Rightarrow 2x^2 + 4x - 240 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 120 = 0$ → $x = 10$ o $x = -12$ . 10 y 12, o bien −12 y −10 ( $100 + 144 = 244$ ✔).
3. Difícil
Al final de una fiesta, cada invitado se despide de cada uno de los demás con un apretón de manos, y en total hay 66 apretones. ¿Cuántas personas hay en la fiesta?

Ver solución
12 personas
Cada persona da la mano a $x - 1$ personas, pero así cada apretón se cuenta dos veces: $\dfrac{x(x - 1)}{2} = 66 \Rightarrow x^2 - x - 132 = 0$ → $x = 12$ o $x = -11$ (se descarta). 12 personas.
4. Media
En una sala de cine hay 4 filas más que butacas en cada fila, y en total hay 320 butacas. ¿Cuántas filas hay y cuántas butacas tiene cada fila?

Ver solución
20 filas de 16 butacas.
Butacas por fila: $x$ ; filas: $x + 4$ . $x(x + 4) = 320 \Rightarrow x^2 + 4x - 320 = 0$ ; $\Delta = 16 + 1280 = 1296 = 36^2$ ; $x = \dfrac{-4 \pm 36}{2}$ → $x = 16$ o $x = -20$ (se descarta). 20 filas de 16 butacas.