Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U5 · Ecuaciones de primer y segundo grado

Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de primer grado

Recuerda: ecuaciones con denominadores sencillos

Objetivo: Al terminar, sabrás quitar los denominadores de una ecuación de primer grado multiplicando por el m.c.m. y resolverla.

Recuerda

Ecuaciones con denominadores

Un solo denominador

Si la $x$ está dividida entre un número, ese número pasa al otro miembro multiplicando: $\dfrac{x}{3} = 5 \;\Rightarrow\; x = 5 \cdot 3 = 15$ Si hay más términos, también puedes multiplicar todos los términos de los dos miembros por el denominador: $\dfrac{x}{3} + 2 = 7 \;\Rightarrow\; 3 \cdot \dfrac{x}{3} + 3 \cdot 2 = 3 \cdot 7 \;\Rightarrow\; x + 6 = 21 \;\Rightarrow\; x = 15$

Varios denominadores

Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores.
Multiplica todos los términos de los dos miembros por ese m.c.m. y simplifica cada fracción. Los términos sin denominador también se multiplican.
Resuelve la ecuación sin denominadores que queda y comprueba la solución.

Por ejemplo, en $\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5$ el m.c.m. de 4 y 6 es 12: $12 \cdot \dfrac{x}{4} + 12 \cdot \dfrac{x}{6} = 12 \cdot 5 \;\Rightarrow\; 3x + 2x = 60$

Truco: el m.c.m. dividido entre cada denominador te dice por cuánto queda multiplicado su numerador ( $12 : 4 = 3$ , $12 : 6 = 2$ ).

Si un numerador tiene dos términos, al quitar el denominador ponlo entre paréntesis: $6 \cdot \dfrac{x + 4}{3} = 2(x + 4)$ .

Puntos clave

Con un solo denominador: lo que divide a la $x$ pasa multiplicando al otro miembro.
Primero se calcula el m.c.m. de los denominadores.
Se multiplican por el m.c.m. todos los términos, también los que no tienen denominador.
Después se resuelve como una ecuación sin denominadores y se comprueba.
Si un numerador tiene dos términos, al quitar el denominador se escribe entre paréntesis.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar por el m.c.m. solo las fracciones y olvidar los términos enteros: de $\dfrac{x}{2} + 3 = x$ pasar a $x + 3 = 2x$ .
Cómo corregirloEl 3 y la $x$ también se multiplican por 2: $x + 6 = 2x$ .
ErrorUsar como denominador común el producto de todos los denominadores aunque sea muy grande.
Cómo corregirloFunciona, pero los números crecen. Usa el m.c.m.: con 4 y 6 es 12, no 24.
ErrorOlvidar el paréntesis al quitar el denominador de un numerador con dos términos: de $\dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{x}{2}$ pasar a $2x + 4 = 3x$ .
Cómo corregirloAl multiplicar por 6, el 2 multiplica a todo el numerador: $2(x + 4) = 3x$ , es decir, $2x + 8 = 3x$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Quitar denominadores con el m.c.m. numérico
Resuelve $\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5$ .

Resolución
m.c.m. $(4, 6) = 12$ . Multiplicamos todo por 12: $3x + 2x = 60 \Rightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12$ Comprobación: $\dfrac{12}{4} + \dfrac{12}{6} = 3 + 2 = 5$ . ✔
Ejemplo 2. Una ruta por la sierra situación real
Una ciclista hace en tres días una ruta por la sierra de Guadarrama. El primer día recorre la mitad de la ruta; el segundo, la quinta parte, y el tercero, los 15 km que le faltan. ¿Cuántos kilómetros tiene la ruta?

Resolución
Llamamos $x$ a la longitud de la ruta: $x - \dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{5} = 15$

m.c.m. $(2, 5) = 10$ : $10x - 5x - 2x = 150 \Rightarrow 3x = 150 \Rightarrow x = 50$

La ruta tiene 50 km. Comprobación: primer día 25 km, segundo 10 km, tercero $50 - 25 - 10 = 15$ km. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve: a) $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{2} = 15$ b) $\dfrac{x - 1}{4} = 3$ c) $\dfrac{2x}{5} - 1 = \dfrac{x}{2}$

Ver solución
a) $x = 18$ b) $x = 13$ c) $x = -10$
a) m.c.m. 6: $2x + 3x = 90 \Rightarrow 5x = 90 \Rightarrow x = 18$ b) Por 4: $x - 1 = 12 \Rightarrow x = 13$ c) m.c.m. 10: $4x - 10 = 5x \Rightarrow -x = 10 \Rightarrow x = -10$
2. Media
Resuelve $x - \dfrac{x}{4} = \dfrac{x}{6} + 14$ y comprueba la solución.

Ver solución
$x = 24$
m.c.m. $(4, 6) = 12$ : $12x - 3x = 2x + 168 \Rightarrow 9x - 2x = 168 \Rightarrow 7x = 168 \Rightarrow x = 24$

Comprobación: $24 - 6 = 18$ y $4 + 14 = 18$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve: a) $\dfrac{x}{5} + \dfrac{x}{10} = 6$ b) $\dfrac{x + 3}{2} = 7$ c) $\dfrac{3x}{4} - 2 = \dfrac{x}{2}$

Ver solución
a) $x = 20$ b) $x = 11$ c) $x = 8$
a) m.c.m. 10: $2x + x = 60 \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20$ b) Por 2: $x + 3 = 14 \Rightarrow x = 11$ c) m.c.m. 4: $3x - 8 = 2x \Rightarrow x = 8$
2. Media
Ana lee una novela. El lunes lee la tercera parte de las páginas, el martes la cuarta parte y el miércoles la sexta parte. En total ha leído 135 páginas. ¿Cuántas páginas tiene la novela?

Ver solución
180 páginas.
Ecuación: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 135$

m.c.m. $(3, 4, 6) = 12$ : $4x + 3x + 2x = 1620 \Rightarrow 9x = 1620 \Rightarrow x = 180$

Comprobación: $60 + 45 + 30 = 135$ páginas. ✔