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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de primer grado

Recuerda: el signo menos delante de una fracción

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones de primer grado con numeradores de varios términos, cuidando el signo menos que hay delante de una fracción.

Recuerda

Numeradores con varios términos

Para resolver una ecuación con denominadores, primero se calcula el m.c.m. de los denominadores y se multiplican por él todos los términos de los dos miembros.

Cuando el numerador de una fracción tiene varios términos (por ejemplo, $x - 1$ ), al quitar el denominador escribe el numerador entre paréntesis. El número que sale de dividir el m.c.m. entre el denominador multiplica a todo el numerador: $12 \cdot \dfrac{x - 1}{4} = 3(x - 1) = 3x - 3$

El signo menos delante de una fracción

Si delante de la fracción hay un signo menos, ese signo afecta a todo el numerador. El paréntesis te ayuda a no olvidarlo: $-\dfrac{x - 1}{4} \;\xrightarrow{\;\cdot\, 12\;}\; -3(x - 1) = -3x + 3$

Pasos

Calcula el m.c.m. de los denominadores.
Multiplica cada término por el m.c.m. y simplifica: cada numerador con varios términos, entre paréntesis. Los términos sin denominador también se multiplican.
Quita los paréntesis, cuidando los signos.
Agrupa, reduce y despeja.
Comprueba la solución en la ecuación original.

Como en cualquier ecuación de primer grado, al final puede quedar $0x = k$ (sin solución) o $0x = 0$ (infinitas soluciones).

Puntos clave

Al quitar denominadores, cada numerador con varios términos va entre paréntesis.
Un signo menos delante de una fracción cambia el signo de todos los términos del numerador.
Orden: m.c.m., quitar denominadores (con paréntesis), quitar paréntesis, agrupar, despejar.

Errores frecuentes

ErrorEscribir $-\dfrac{x - 4}{3} \to -x - 4$ al quitar el denominador.
Cómo corregirloPon el numerador entre paréntesis: $-(x - 4) = -x + 4$ .
ErrorMultiplicar el número del m.c.m. solo por el primer término del numerador: $4 \cdot \dfrac{x + 2}{2} \to 2x + 2$ .
Cómo corregirloEl factor multiplica a todo el numerador: $2(x + 2) = 2x + 4$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El paréntesis que salva el signo numérico
Resuelve $\dfrac{x + 2}{3} - \dfrac{x - 1}{4} = 2$ .

Resolución
m.c.m. $(3, 4) = 12$ . Multiplicamos cada término por 12, con los numeradores entre paréntesis: $4(x + 2) - 3(x - 1) = 24$ Quitamos paréntesis (el $-3$ cambia el signo del $-1$ ): $4x + 8 - 3x + 3 = 24$ Reducimos y despejamos: $x + 11 = 24 \Rightarrow x = 13$

Comprobación: $\dfrac{15}{3} - \dfrac{12}{4} = 5 - 3 = 2$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Resuelve: a) $\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x - 3}{5} = 3$ b) $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 4}{6} = 1$

Ver solución
a) $x = \dfrac{19}{3}$ b) $x = 4$
a) m.c.m. 10: $5(x + 1) - 2(x - 3) = 30 \Rightarrow 5x + 5 - 2x + 6 = 30 \Rightarrow 3x + 11 = 30 \Rightarrow 3x = 19 \Rightarrow x = \dfrac{19}{3}$ b) m.c.m. 6: $2(2x - 1) - (x + 4) = 6 \Rightarrow 4x - 2 - x - 4 = 6 \Rightarrow 3x - 6 = 6 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$
2. Media
Pedro ha resuelto así $\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 4}{3} = 2$ : $3x - 2x - 8 = 12 \Rightarrow x = 20$ Comprueba si $x = 20$ es solución, busca el error y resuélvela bien.

Ver solución
No lo es. Error de signo: $-2(x - 4) = -2x + 8$ . Solución: $x = 4$ .
Comprobación de $x = 20$ : $\dfrac{20}{2} - \dfrac{16}{3} = 10 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{14}{3} \neq 2$ . No es solución.

Error: el signo menos afecta a todo el numerador $x - 4$ . Bien hecho, con m.c.m. 6: $3x - 2(x - 4) = 12 \Rightarrow 3x - 2x + 8 = 12 \Rightarrow x = 4$ Comprobación: $\dfrac{4}{2} - \dfrac{0}{3} = 2$ . ✔

Para practicar más

1. Media
Resuelve: a) $\dfrac{x + 3}{4} - \dfrac{x - 2}{6} = 2$ b) $x - \dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{x - 1}{2}$ c) $\dfrac{3x - 2}{5} - \dfrac{x - 4}{2} = \dfrac{1}{10}$

Ver solución
a) $x = 11$ b) $x = 1$ c) $x = -15$
a) m.c.m. 12: $3(x + 3) - 2(x - 2) = 24 \Rightarrow 3x + 9 - 2x + 4 = 24 \Rightarrow x + 13 = 24 \Rightarrow x = 11$ b) m.c.m. 6: $6x - 2(x + 2) = 3(x - 1) \Rightarrow 6x - 2x - 4 = 3x - 3 \Rightarrow 4x - 4 = 3x - 3 \Rightarrow x = 1$ c) m.c.m. 10: $2(3x - 2) - 5(x - 4) = 1 \Rightarrow 6x - 4 - 5x + 20 = 1 \Rightarrow x + 16 = 1 \Rightarrow x = -15$
2. Media
Resuelve $\dfrac{5 - x}{2} - \dfrac{2 - 3x}{4} = 3$ y comprueba la solución.

Ver solución
$x = 4$
m.c.m. 4: $2(5 - x) - (2 - 3x) = 12 \Rightarrow 10 - 2x - 2 + 3x = 12 \Rightarrow x + 8 = 12 \Rightarrow x = 4$

Comprobación: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{-10}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} = 3$ . ✔