Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U5 · Ecuaciones de primer y segundo grado

Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de primer grado

Recuerda: corchetes, decimales y ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones con paréntesis dentro de corchetes y con coeficientes decimales, y reconocer cuándo una ecuación no tiene solución o tiene infinitas.

Recuerda

Corchetes y paréntesis anidados

Cuando hay un paréntesis dentro de un corchete, se quitan de dentro hacia fuera: primero el paréntesis, después el corchete. Conviene reducir lo que queda dentro del corchete antes de quitarlo: $2[x - 3(x - 1)] = 2[x - 3x + 3] = 2[-2x + 3] = -4x + 6$

Si delante del corchete hay un signo menos, cambian de signo todos los términos que quedan dentro: $5 - [x + 3] = 5 - x - 3$ .

Coeficientes decimales

Hay dos formas de trabajar:

Operar directamente con los decimales.
Multiplicar los dos miembros por 10, 100… para que todos los coeficientes sean enteros. Se multiplica cada término; si hay un paréntesis, se multiplica solo el número de delante: $0{,}4x - 1{,}5 = 0{,}1(x + 3) \;\xrightarrow{\;\cdot 10\;}\; 4x - 15 = 1 \cdot (x + 3)$

¿Una solución, ninguna o infinitas?

Después de quitar paréntesis y agrupar, la ecuación queda de la forma $ax = b$ :

Al reducir queda	Ejemplo	Número de soluciones
$ax = b$ con $a \neq 0$	$3x = 6$	Una: $x = \dfrac{b}{a}$
$0x = k$ con $k \neq 0$	$0x = 5$	Ninguna: $0 \cdot x$ siempre vale 0
$0x = 0$	$0x = 0$	Infinitas: es una identidad

En una gráfica, cada miembro es una recta. Si las rectas se cortan, hay una solución; si son paralelas, ninguna; si son la misma recta, infinitas.

Puntos clave

Los paréntesis anidados se quitan de dentro hacia fuera.
Con decimales, multiplica toda la ecuación por 10 o por 100 para trabajar con enteros.
$0x = k$ con $k \neq 0$ : sin solución.
$0x = 0$ : infinitas soluciones (identidad).

Errores frecuentes

ErrorAl multiplicar por 10 para quitar decimales, olvidar multiplicar algún término.
Cómo corregirloMultiplica todos los términos de los dos miembros; si hay paréntesis, multiplica solo el número que hay delante.
ErrorDe $0x = 5$ concluir que $x = \dfrac{5}{0}$ o que $x = 0$ .
Cómo corregirloNo se puede dividir entre 0. Como $0 \cdot x$ siempre vale 0 y nunca 5, la ecuación no tiene solución.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Paréntesis dentro de un corchete numérico
Resuelve $2[x - 3(x - 1)] = 5 - x$ .

Resolución
1. Paréntesis: $2[x - 3x + 3] = 5 - x$
2. Reducimos dentro del corchete: $2[-2x + 3] = 5 - x$
3. Corchete: $-4x + 6 = 5 - x$
4. Agrupamos: $-4x + x = 5 - 6 \Rightarrow -3x = -1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}$
Ejemplo 2. ¿Cuántas soluciones tiene? clasificación
Resuelve: a) $3(x - 2) + x = 4x - 1$ b) $2(x + 3) - 5 = 2x + 1$

Resolución
a) $3x - 6 + x = 4x - 1 \Rightarrow 4x - 6 = 4x - 1 \Rightarrow 4x - 4x = -1 + 6 \Rightarrow 0x = 5$ . Ningún número multiplicado por 0 da 5: no tiene solución.

b) $2x + 6 - 5 = 2x + 1 \Rightarrow 2x + 1 = 2x + 1 \Rightarrow 0x = 0$ . Se cumple para cualquier $x$ : infinitas soluciones (es una identidad). Prueba con $x = 0$ o $x = 10$ : los dos miembros siempre coinciden.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Resuelve: a) $3[2x - (x + 4)] = x + 2$ b) $0{,}4x - 1{,}5 = 0{,}1(x + 3)$

Ver solución
a) $x = 7$ b) $x = 6$
a) $3[2x - x - 4] = x + 2 \Rightarrow 3[x - 4] = x + 2 \Rightarrow 3x - 12 = x + 2 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$ b) Multiplicamos por 10: $4x - 15 = 1 \cdot (x + 3) \Rightarrow 4x - 15 = x + 3 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$
2. Media
Resuelve e indica si tiene una solución, ninguna o infinitas: a) $5(x - 1) = 2x + 3(x - 2)$ b) $4(x + 2) - x = 3(x + 1) + 5$ c) $2(3x - 1) = 3(2x - 1) + x$

Ver solución
a) Ninguna. b) Infinitas. c) Una: $x = 1$ .
a) $5x - 5 = 2x + 3x - 6 \Rightarrow 5x - 5 = 5x - 6 \Rightarrow 0x = -1$ : sin solución. b) $4x + 8 - x = 3x + 3 + 5 \Rightarrow 3x + 8 = 3x + 8 \Rightarrow 0x = 0$ : infinitas soluciones. c) $6x - 2 = 6x - 3 + x \Rightarrow 6x - 2 = 7x - 3 \Rightarrow -x = -1 \Rightarrow x = 1$ : una solución.

Para practicar más

1. Media
Resuelve: a) $4 - 2[x - (3 - x)] = x$ b) $1{,}2x + 0{,}5 = 0{,}7x - 2$ c) $0{,}25(x - 4) = 0{,}5x - 3$

Ver solución
a) $x = 2$ b) $x = -5$ c) $x = 8$
a) $4 - 2[x - 3 + x] = x \Rightarrow 4 - 2[2x - 3] = x \Rightarrow 4 - 4x + 6 = x \Rightarrow 10 = 5x \Rightarrow x = 2$ b) Por 10: $12x + 5 = 7x - 20 \Rightarrow 5x = -25 \Rightarrow x = -5$ c) Por 100: $25(x - 4) = 50x - 300 \Rightarrow 25x - 100 = 50x - 300 \Rightarrow -25x = -200 \Rightarrow x = 8$
2. Media
Indica si cada ecuación tiene una solución, ninguna o infinitas: a) $3(2x + 1) - 6x = 3$ b) $7x - 2(x + 4) = 5(x - 1)$

Ver solución
a) Infinitas. b) Ninguna.
a) $6x + 3 - 6x = 3 \Rightarrow 3 = 3$ , es decir, $0x = 0$ : infinitas soluciones. b) $7x - 2x - 8 = 5x - 5 \Rightarrow 5x - 8 = 5x - 5 \Rightarrow 0x = 3$ : sin solución.
3. Difícil
En la ecuación $2(x + 3) = 2x + \square$ : a) ¿qué número hay que poner en el hueco para que tenga infinitas soluciones? b) Pon otro número para que no tenga ninguna y explica por qué.

Ver solución
a) 6. b) Cualquier número distinto de 6.
El primer miembro es $2x + 6$ . a) Con un 6 queda $2x + 6 = 2x + 6$ , una identidad: infinitas soluciones. b) Por ejemplo, con un 1: $2x + 6 = 2x + 1 \Rightarrow 0x = -5$ , imposible: sin solución. Vale cualquier número distinto de 6.