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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones con denominadores. Ecuaciones literales

Recuerda: ecuaciones con paréntesis y denominadores

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones de primer grado que combinan paréntesis y denominadores siguiendo un orden fijo de pasos.

Recuerda

Ecuaciones con paréntesis y denominadores

Para resolver una ecuación con paréntesis y denominadores sigue siempre el mismo orden:

Quita los paréntesis que no estén en un numerador (si es cómodo; también se pueden dejar para después).
Quita los denominadores: multiplica todos los términos por el m.c.m. Cada numerador con varios términos va entre paréntesis.
Quita los paréntesis que han aparecido, cuidando los signos.
Agrupa, reduce y despeja.
Comprueba la solución en la ecuación original.

Un paréntesis en el numerador

Si el numerador ya tiene un paréntesis, como en $\dfrac{3(x - 2)}{4}$ , al multiplicar por el m.c.m. el factor que sale multiplica al número de delante: con m.c.m. 12 queda $\dfrac{12}{4} \cdot 3(x - 2) = 3 \cdot 3(x - 2) = 9(x - 2)$ .

Un paréntesis sin denominador

Un término como $3(x - 1)$ también se multiplica por el m.c.m.: con m.c.m. 2 queda $2 \cdot 3(x - 1) = 6(x - 1) = 6x - 6$ .

En los problemas

Cuando una cantidad «se reparte» o «se gasta en parte» después de haber quitado otra (por ejemplo, «de lo que le quedó, gastó la tercera parte»), aparece una expresión del tipo $\dfrac{x - 12}{3}$ : el paréntesis o la fracción con numerador de varios términos sale de forma natural.

Al final puede quedar $0x = k$ (sin solución) o $0x = 0$ (infinitas soluciones).

Puntos clave

Orden: paréntesis, denominadores, paréntesis, agrupar, reducir, despejar.
Si el numerador es $3(x - 2)$ , el factor del m.c.m. multiplica al 3: $\dfrac{12}{4} \cdot 3(x - 2) = 9(x - 2)$ .
Al final puede quedar $0x = k$ : entonces la ecuación no tiene solución.

Errores frecuentes

ErrorCon $\dfrac{3(x - 2)}{4}$ y m.c.m. 12, escribir $3 \cdot 3x - 2$ .
Cómo corregirloEl paréntesis se mantiene: $3 \cdot 3(x - 2) = 9(x - 2) = 9x - 18$ .
ErrorMultiplicar por el m.c.m. un término sin denominador solo en parte: $3(x - 1)$ con m.c.m. 2 como $6x - 1$ .
Cómo corregirloTodo el término se multiplica: $2 \cdot 3(x - 1) = 6(x - 1) = 6x - 6$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Paréntesis en el numerador numérico
Resuelve $\dfrac{3(x - 2)}{4} - \dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{x}{6}$ .

Resolución
m.c.m. $(4, 3, 6) = 12$ . Multiplicamos cada término por 12: $9(x - 2) - 4(x + 1) = 2x$ $9x - 18 - 4x - 4 = 2x \Rightarrow 5x - 22 = 2x \Rightarrow 3x = 22 \Rightarrow x = \dfrac{22}{3}$
Ejemplo 2. Un paréntesis sin denominador numérico
Resuelve $3(x - 1) - \dfrac{x + 3}{2} = x + 3$ y comprueba la solución.

Resolución
1. Quitamos el paréntesis: $3x - 3 - \dfrac{x + 3}{2} = x + 3$
2. m.c.m. 2: $6x - 6 - (x + 3) = 2x + 6$
3. $6x - 6 - x - 3 = 2x + 6 \Rightarrow 5x - 9 = 2x + 6 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$
Comprobación: $3 \cdot 4 - \dfrac{8}{2} = 12 - 4 = 8$ y $5 + 3 = 8$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Resuelve: a) $\dfrac{x - 2}{3} - 2(x - 1) = \dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{2(x + 1)}{5} - \dfrac{x - 1}{2} = 1$

Ver solución
a) $x = \dfrac{3}{5}$ b) $x = -1$
a) m.c.m. 3: $x - 2 - 6(x - 1) = 1 \Rightarrow x - 2 - 6x + 6 = 1 \Rightarrow -5x + 4 = 1 \Rightarrow -5x = -3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{5}$ b) m.c.m. 10: $4(x + 1) - 5(x - 1) = 10 \Rightarrow 4x + 4 - 5x + 5 = 10 \Rightarrow -x + 9 = 10 \Rightarrow x = -1$
2. Media
Resuelve $\dfrac{3(x + 2)}{4} - \dfrac{2(x - 1)}{3} = \dfrac{x + 5}{6}$ .

Ver solución
$x = 16$
m.c.m. 12: $9(x + 2) - 8(x - 1) = 2(x + 5)$ $9x + 18 - 8x + 8 = 2x + 10 \Rightarrow x + 26 = 2x + 10 \Rightarrow -x = -16 \Rightarrow x = 16$

Para practicar más

1. Media
Resuelve: a) $\dfrac{x + 4}{3} - (x - 2) = 2$ b) $\dfrac{4(x - 1)}{3} - \dfrac{x}{2} = \dfrac{x + 2}{6}$

Ver solución
a) $x = 2$ b) $x = \dfrac{5}{2}$
a) m.c.m. 3: $x + 4 - 3(x - 2) = 6 \Rightarrow x + 4 - 3x + 6 = 6 \Rightarrow -2x + 10 = 6 \Rightarrow x = 2$ b) m.c.m. 6: $8(x - 1) - 3x = x + 2 \Rightarrow 8x - 8 - 3x = x + 2 \Rightarrow 5x - 8 = x + 2 \Rightarrow 4x = 10 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2}$
2. Difícil
Resuelve $\dfrac{5(x - 1)}{6} - \dfrac{3(x + 1)}{4} = \dfrac{x - 7}{12}$ . ¿Qué ocurre?

Ver solución
Queda $0x = 12$ : no tiene solución.
m.c.m. 12: $10(x - 1) - 9(x + 1) = x - 7$ $10x - 10 - 9x - 9 = x - 7 \Rightarrow x - 19 = x - 7 \Rightarrow 0x = 12$

Ningún número lo cumple: la ecuación no tiene solución.
3. Media
Resuelve $\dfrac{2(3 - x)}{5} + x = \dfrac{x + 9}{2}$ y comprueba la solución.

Ver solución
$x = 33$
m.c.m. 10: $4(3 - x) + 10x = 5(x + 9)$ $12 - 4x + 10x = 5x + 45 \Rightarrow 12 + 6x = 5x + 45 \Rightarrow x = 33$

Comprobación: $\dfrac{2 \cdot (-30)}{5} + 33 = -12 + 33 = 21$ y $\dfrac{42}{2} = 21$ . ✔