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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones con un paréntesis: cuidado con los signos

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones de primer grado con un paréntesis, quitándolo bien aunque delante haya un signo menos o un número negativo.

Explicación

Quitar un paréntesis

Cuando la ecuación tiene un paréntesis, lo primero es quitarlo aplicando la propiedad distributiva:

$a\,(b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Si delante del paréntesis hay un número, multiplica todos los términos de dentro: $3\,(x - 4) = 3x - 12$ .
Si delante hay un signo menos, cambian de signo todos los términos de dentro: $-(2x - 3) = -2x + 3$ .
Si delante hay un número negativo, multiplica por él respetando la regla de los signos: $-2\,(3 - x) = -6 + 2x$ .

Pasos

Quita el paréntesis.
Agrupa los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro.
Reduce y despeja la $x$ .
Comprueba la solución en la ecuación original.

Puntos clave

Primero se quita el paréntesis; después se agrupa, se reduce y se despeja.
El número de delante multiplica a todos los términos del paréntesis, no solo al primero.
Un signo menos delante del paréntesis cambia el signo de todos los términos de dentro.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar solo el primer término: $3(x - 4) = 3x - 4$ .
Cómo corregirloMultiplica el 3 por cada término: $3(x - 4) = 3x - 12$ . Puedes dibujar flechas del 3 a cada término.
ErrorCambiar solo el primer signo: $-(2x - 3) = -2x - 3$ .
Cómo corregirloEl signo menos afecta a todos los términos: $-(2x - 3) = -2x + 3$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un número delante del paréntesis numérico
Resuelve $3(x - 4) = 2x + 1$ .

Resolución
1. Quitamos el paréntesis: $3x - 12 = 2x + 1$
2. Agrupamos: $3x - 2x = 1 + 12$
3. Despejamos: $x = 13$
Comprobación: $3 \cdot (13 - 4) = 27$ y $2 \cdot 13 + 1 = 27$ . ✔
Ejemplo 2. Un signo menos delante numérico
Resuelve $10 - (2x - 3) = x + 4$ .

Resolución
1. El signo menos cambia los dos signos: $10 - 2x + 3 = x + 4$
2. Reducimos: $13 - 2x = x + 4$
3. Agrupamos: $-2x - x = 4 - 13 \Rightarrow -3x = -9$
4. Despejamos: $x = \dfrac{-9}{-3} = 3$
Comprobación: $10 - (6 - 3) = 7$ y $3 + 4 = 7$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve: a) $4(x + 2) = 3x + 15$ b) $5x - (x + 6) = 10$

Ver solución
a) $x = 7$ b) $x = 4$
a) $4x + 8 = 3x + 15 \Rightarrow 4x - 3x = 15 - 8 \Rightarrow x = 7$ b) $5x - x - 6 = 10 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$
2. Media
Resuelve $-2(3 - x) = x - 1$ y comprueba la solución.

Ver solución
$x = 5$
$-6 + 2x = x - 1 \Rightarrow 2x - x = -1 + 6 \Rightarrow x = 5$

Comprobación: $-2 \cdot (3 - 5) = 4$ y $5 - 1 = 4$ . ✔
3. Media
Marta ha resuelto así la ecuación $7 - (3x - 5) = 2x$ : $7 - 3x - 5 = 2x \Rightarrow 2 = 5x \Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$ ¿En qué se ha equivocado? Resuélvela bien.

Ver solución
Error al quitar el paréntesis: $-(3x - 5) = -3x + 5$ . Solución correcta: $x = \dfrac{12}{5}$ .
Marta no ha cambiado el signo del $-5$ : el signo menos afecta a los dos términos.

Bien hecho: $7 - 3x + 5 = 2x \Rightarrow 12 = 5x \Rightarrow x = \dfrac{12}{5}$

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve: a) $6(x - 1) = 4x + 8$ b) $9 - (4 - x) = 3x - 1$ c) $x - 3(2x + 1) = 12$

Ver solución
a) $x = 7$ b) $x = 3$ c) $x = -3$
a) $6x - 6 = 4x + 8 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$ b) $9 - 4 + x = 3x - 1 \Rightarrow 5 + x = 3x - 1 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3$ c) $x - 6x - 3 = 12 \Rightarrow -5x = 15 \Rightarrow x = -3$
2. Media
Cuatro amigos comen en un restaurante de Madrid. Cada uno toma el menú del día y un café de 2 €, y pagan 56 € en total. Resuelve la ecuación $4(x + 2) = 56$ para saber cuánto cuesta el menú.

Ver solución
$x = 12$ : el menú cuesta 12 €.
$4x + 8 = 56 \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12$

El menú cuesta 12 €. Comprobación: $4 \cdot (12 + 2) = 56$ €. ✔
3. Media
¿Es $x = -2$ solución de $3(x + 4) = 5 - (1 - x)$ ? Si no lo es, resuelve la ecuación.

Ver solución
No; la solución es $x = -4$ .
Sustituimos $x = -2$ : primer miembro $3 \cdot 2 = 6$ ; segundo $5 - (1 + 2) = 2$ . No coinciden: no es solución.

Resolvemos: $3x + 12 = 5 - 1 + x \Rightarrow 3x + 12 = 4 + x \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4$

Comprobación: $3 \cdot 0 = 0$ y $5 - (1 + 4) = 0$ . ✔