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Matemáticas 3.º ESO · Ecuaciones de primer grado

Recuerda: ecuaciones de primer grado sin paréntesis

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver ecuaciones de primer grado con la incógnita en los dos miembros agrupando términos y despejando, y comprobar la solución.

Recuerda

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple para algunos valores de la incógnita. Cada uno de esos valores es una solución.

En $5x - 4 = 2x + 11$ , la expresión $5x - 4$ es el primer miembro y $2x + 11$ el segundo miembro.

La balanza

Una ecuación es como una balanza en equilibrio: los dos platillos pesan lo mismo. Si quitamos o añadimos lo mismo en los dos platillos, o los dividimos los dos entre el mismo número, la balanza sigue en equilibrio. Así conseguimos ecuaciones equivalentes (con la misma solución), cada vez más sencillas, hasta que la $x$ queda sola.

Las dos reglas

Regla de la suma: un término que está sumando en un miembro pasa al otro restando, y al revés (es transponer). En $x + 6 = 14$ : $x = 14 - 6 = 8$ .
Regla del producto: un número que está multiplicando a todo un miembro pasa al otro dividiendo. En $4x = 28$ : $x = \dfrac{28}{4} = 7$ .

Pasos

Si en un miembro hay términos semejantes, redúcelos primero: $3x + 5 + x$ se convierte en $4x + 5$ .
Agrupa los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro.
Reduce los términos semejantes.
Despeja la $x$ .
Comprueba la solución sustituyéndola en la ecuación original: los dos miembros tienen que dar el mismo número.

Puntos clave

Una solución es un valor de la incógnita que hace cierta la igualdad.
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: lo que hagas en un platillo, hazlo también en el otro.
Lo que suma en un miembro pasa restando al otro, y lo que resta pasa sumando.
Lo que multiplica a todo un miembro pasa dividiendo al otro.
Comprueba siempre sustituyendo en la ecuación original.

Errores frecuentes

ErrorCambiar de signo un número que pasa dividiendo: de $-3x = 12$ escribir $x = \dfrac{12}{3} = 4$ .
Cómo corregirloEl $-3$ multiplica a la $x$ y pasa dividiendo con su signo: $x = \dfrac{12}{-3} = -4$ .
ErrorPasar un término al otro miembro sin cambiarle el signo.
Cómo corregirloSi está sumando, pasa restando; si está restando, pasa sumando. Repasa cada término que cambies de lado.
ErrorPasar restando el número que multiplica a la $x$ : de $3x = 15$ escribir $x = 15 - 3 = 12$ .
Cómo corregirloEl 3 multiplica a la $x$ , así que pasa dividiendo: $x = \dfrac{15}{3} = 5$ . Comprueba: $3 \cdot 5 = 15$ ✔.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Paso a paso numérico
Resuelve $5x - 4 = 2x + 11$ y comprueba la solución.

Resolución
1. Agrupamos: $5x - 2x = 11 + 4$
2. Reducimos: $3x = 15$
3. Despejamos: $x = \dfrac{15}{3} = 5$
Comprobación: primer miembro $5 \cdot 5 - 4 = 21$ ; segundo miembro $2 \cdot 5 + 11 = 21$ . Coinciden, así que $x = 5$ es la solución. ✔
Ejemplo 2. Dos rectas que se cortan gráfico
Resuelve $2x + 1 = 7 - x$ y observa en la gráfica las rectas $y = 2x + 1$ e $y = 7 - x$ . ¿Qué tiene que ver el punto de corte con la solución?

Resolución
Resolvemos: $2x + x = 7 - 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ .

Para $x = 2$ , los dos miembros valen lo mismo: $2 \cdot 2 + 1 = 5$ y $7 - 2 = 5$ .

En la gráfica, las dos rectas se cortan en el punto $(2, 5)$ : la solución de la ecuación es la abscisa del punto de corte, el valor de $x$ en el que los dos miembros son iguales.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve y comprueba: a) $4x + 3 = x + 21$ b) $7 - 2x = x - 8$ c) $6x - 9 = 2x - 3$ d) $-3x + 4 = 5x + 20$

Ver solución
a) $x = 6$ b) $x = 5$ c) $x = \dfrac{3}{2}$ d) $x = -2$
a) $4x - x = 21 - 3 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$ b) $-2x - x = -8 - 7 \Rightarrow -3x = -15 \Rightarrow x = 5$ c) $6x - 2x = -3 + 9 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ d) $-3x - 5x = 20 - 4 \Rightarrow -8x = 16 \Rightarrow x = -2$
2. Fácil
Sin resolverlas, comprueba si $x = 3$ es solución de cada ecuación: a) $5x - 7 = 2x + 2$ b) $4 - x = 3x - 6$

Ver solución
a) Sí. b) No.
a) Primer miembro: $5 \cdot 3 - 7 = 8$ ; segundo: $2 \cdot 3 + 2 = 8$ . Son iguales: sí es solución. b) Primer miembro: $4 - 3 = 1$ ; segundo: $3 \cdot 3 - 6 = 3$ . Son distintos: no es solución (la solución es $x = \dfrac{5}{2}$ ).

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve y comprueba: a) $9x - 2 = 4x + 13$ b) $12 - 5x = 3x - 4$ c) $2x + 14 = 6x$ d) $8 - 3x = -x + 18$

Ver solución
a) $x = 3$ b) $x = 2$ c) $x = \dfrac{7}{2}$ d) $x = -5$
a) $9x - 4x = 13 + 2 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$ b) $-5x - 3x = -4 - 12 \Rightarrow -8x = -16 \Rightarrow x = 2$ c) $2x - 6x = -14 \Rightarrow -4x = -14 \Rightarrow x = \dfrac{14}{4} = \dfrac{7}{2}$ d) $-3x + x = 18 - 8 \Rightarrow -2x = 10 \Rightarrow x = -5$
2. Media
Escribe una ecuación del tipo $ax + b = cx + d$ , con $x$ en los dos miembros, cuya solución sea $x = 4$ . Resuélvela para comprobarlo.

Ver solución
Respuesta abierta. Por ejemplo, $3x - 2 = x + 6$ .
Elegimos dos expresiones y hacemos que valgan lo mismo para $x = 4$ : $3 \cdot 4 - 2 = 10$ y $4 + 6 = 10$ .

Ecuación: $3x - 2 = x + 6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ . ✔
3. Media
Lucía piensa un número, lo multiplica por 5 y le resta 7. Obtiene lo mismo que si al triple del número le suma 9. Escribe la ecuación y halla el número.

Ver solución
$5x - 7 = 3x + 9$ ; el número es 8.
Llamamos $x$ al número: $5x - 7 = 3x + 9$ $5x - 3x = 9 + 7 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$

Comprobación: $5 \cdot 8 - 7 = 33$ y $3 \cdot 8 + 9 = 33$ . ✔