Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U5 · Ecuaciones de primer y segundo grado

Matemáticas 3.º ESO · Problemas con ecuaciones de segundo grado

Recuerda: problemas de números y áreas con ecuaciones de segundo grado

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear y resolver problemas de números y de áreas sencillas que llevan a una ecuación de segundo grado, comprobando qué soluciones tienen sentido.

Recuerda

Problemas con ecuaciones de segundo grado

Se siguen las mismas fases que con las de primer grado:

Comprender el enunciado (si es geométrico, haz un dibujo).
Elegir la incógnita y expresar las demás cantidades en función de ella.
Plantear la ecuación.
Resolver: reduce a la forma general y usa el método directo (incompletas) o la fórmula (completas).
Comprobar e interpretar: una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, y hay que ver cuáles tienen sentido.

¿Valen las dos soluciones?

Si $x$ es un número cualquiera (entero, positivo o negativo), normalmente valen las dos.
Si $x$ es una longitud, un área, un tiempo o una cantidad de objetos, una solución negativa (o 0) no vale y se descarta.
Si el enunciado dice «número natural» o «positivo», se descartan los negativos.

Traducciones y fórmulas frecuentes

Enunciado	Expresión
El cuadrado de un número	$x^2$
Un número por su doble menos 3	$x(2x - 3)$
Un rectángulo con un lado 3 m mayor que el otro	lados $x$ y $x + 3$ ; área $x(x + 3)$
Rectángulo de perímetro 20	lados $x$ y $10 - x$
Cuadrado de lado $x$ al que se añaden 2 cm	área $(x + 2)^2$

Área del rectángulo, $A = b \cdot a$ ; del cuadrado, $A = l^2$ ; del triángulo, $A = \dfrac{b \cdot a}{2}$ .

Puntos clave

Las fases son las mismas que en los problemas de primer grado.
Una ecuación de segundo grado puede dar dos soluciones: comprueba cuáles tienen sentido.
Las longitudes y las áreas no pueden ser negativas.

Errores frecuentes

ErrorDar como respuesta las dos soluciones de la ecuación aunque una sea una longitud negativa.
Cómo corregirloVuelve al enunciado: si $x$ es el ancho de una figura, $x = -8$ no tiene sentido y se descarta.
ErrorResponder solo con el valor de $x$ cuando se preguntan las dos dimensiones.
Cómo corregirloSi el ancho es $x = 5$ y el largo $x + 3$ , la respuesta es «5 m de ancho y 8 m de largo».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un número misterioso numérico
Si al cuadrado de un número le restamos su doble, obtenemos 15. ¿De qué número se trata?

Resolución
$x^2 - 2x = 15 \Rightarrow x^2 - 2x - 15 = 0$ . $b^2 - 4ac = 4 + 60 = 64$ , $x = \dfrac{2 \pm 8}{2}$ → $x = 5$ o $x = -3$ . Hay dos números que cumplen la condición: 5 y −3. Comprobación: $25 - 10 = 15$ ✔; $9 + 6 = 15$ ✔.
Ejemplo 2. Una terraza rectangular situación real (áreas)
Una terraza rectangular tiene 40 m² de superficie y su largo mide 3 m más que su ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Resolución
Ancho: $x$ ; largo: $x + 3$ . $x(x + 3) = 40 \Rightarrow x^2 + 3x - 40 = 0$ . $b^2 - 4ac = 9 + 160 = 169$ , $x = \dfrac{-3 \pm 13}{2}$ → $x = 5$ o $x = -8$ . $x = -8$ no tiene sentido (es una longitud). La terraza mide 5 m de ancho y 8 m de largo. Comprobación: $5 \cdot 8 = 40$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La suma de un número y su cuadrado es 42. ¿Qué número puede ser?

Ver solución
6 o −7
$x^2 + x - 42 = 0$ ; $b^2 - 4ac = 1 + 168 = 169$ ; $x = \dfrac{-1 \pm 13}{2}$ → $x = 6$ o $x = -7$ . Valen los dos: $36 + 6 = 42$ y $49 - 7 = 42$ .
2. Fácil
Una alfombra rectangular mide 2 m más de largo que de ancho y su superficie es de 15 m². ¿Cuánto mide cada lado?

Ver solución
3 m de ancho y 5 m de largo.
$x(x + 2) = 15 \Rightarrow x^2 + 2x - 15 = 0$ ; $x = \dfrac{-2 \pm 8}{2}$ → $x = 3$ o $x = -5$ (se descarta). 3 m × 5 m.
3. Media
El triple del cuadrado de un número menos cinco veces ese número es igual a 2. ¿Qué número puede ser?

Ver solución
2 o −1/3
$3x^2 - 5x = 2 \Rightarrow 3x^2 - 5x - 2 = 0$ ; $b^2 - 4ac = 25 + 24 = 49$ ; $x = \dfrac{5 \pm 7}{6}$ → $x = 2$ o $x = -\dfrac{1}{3}$ . Valen los dos.

Para practicar más

1. Fácil
Si a un número positivo le restas 3 y multiplicas el resultado por el propio número, obtienes 54. ¿Cuál es el número?

Ver solución
9
$x(x - 3) = 54 \Rightarrow x^2 - 3x - 54 = 0$ ; $b^2 - 4ac = 9 + 216 = 225$ ; $x = \dfrac{3 \pm 15}{2}$ → $x = 9$ o $x = -6$ . Como es positivo, 9.
2. Media
A un cuadrado de lado $x$ cm se le alarga un lado 3 cm y se le acorta el otro 1 cm, y se obtiene un rectángulo de 32 cm². ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

Ver solución
5 cm
$(x + 3)(x - 1) = 32 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 32 \Rightarrow x^2 + 2x - 35 = 0$ ; $x = \dfrac{-2 \pm 12}{2}$ → $x = 5$ o $x = -7$ (se descarta). 5 cm.
3. Media
La base de un triángulo mide 4 cm más que su altura y su área es de 30 cm². Calcula la base y la altura.

Ver solución
Altura 6 cm y base 10 cm.
$\dfrac{x(x + 4)}{2} = 30 \Rightarrow x^2 + 4x - 60 = 0$ ; $b^2 - 4ac = 16 + 240 = 256$ ; $x = \dfrac{-4 \pm 16}{2}$ → $x = 6$ o $x = -10$ (se descarta). Altura 6 cm y base 10 cm.