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Matemáticas 3.º ESO · Problemas con ecuaciones de segundo grado

Problemas geométricos de segundo grado: Pitágoras y áreas

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear y resolver problemas geométricos (con el teorema de Pitágoras, áreas, marcos y cajas) que llevan a una ecuación de segundo grado, y descartar las soluciones que no tienen sentido.

Explicación

Problemas geométricos que llevan a segundo grado

En los problemas de geometría, la ecuación de segundo grado aparece al multiplicar dos longitudes (áreas, volúmenes) o al aplicar el teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo de catetos $b$ y $c$ e hipotenusa $a$ : $a^2 = b^2 + c^2$ Si los lados se expresan con $x$ (por ejemplo, $x$ y $x + 7$ ), al desarrollar los cuadrados queda una ecuación de segundo grado.

Marcos, bordes y caminos. Si una figura rectangular de $b \times a$ se rodea con un borde de anchura $x$ , la figura completa mide $(b + 2x) \times (a + 2x)$ : el borde se suma por los dos lados.

Cajas sin tapa. Si a una lámina se le recortan cuadrados de lado $c$ en las esquinas y se doblan los bordes, la base de la caja mide $2c$ menos en cada dirección y la altura es $c$ .

Validez de las soluciones

Antes de responder, comprueba que la solución:

es positiva (es una longitud), y
da todas las medidas positivas y posibles (por ejemplo, un camino no puede ser más ancho que la mitad del jardín).

Haz siempre un dibujo con las medidas en función de $x$ .

Puntos clave

Pitágoras: $a^2 = b^2 + c^2$ , con $a$ la hipotenusa.
Un borde de anchura $x$ alrededor de un rectángulo añade $2x$ a cada dimensión.
Al recortar cuadrados de lado $c$ en las esquinas, cada dimensión de la base disminuye $2c$ .
Descarta las soluciones negativas y las que hacen negativa alguna medida.
Dibuja la figura con las medidas en función de $x$ .

Errores frecuentes

ErrorDesarrollar $(x + 7)^2$ como $x^2 + 49$ .
Cómo corregirloEs una identidad notable: $(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$ .
ErrorSumar el ancho del marco solo una vez: $(20 + x)(30 + x)$ .
Cómo corregirloEl marco está a los dos lados de la foto: $(20 + 2x)(30 + 2x)$ .
ErrorPoner la hipotenusa como uno de los sumandos en Pitágoras.
Cómo corregirloLa hipotenusa es el lado mayor, el opuesto al ángulo recto, y va sola en un miembro: $a^2 = b^2 + c^2$ .
ErrorAceptar una solución positiva que hace negativa otra medida (por ejemplo, un camino de 9 m en un jardín de 8 m de ancho).
Cómo corregirloSustituye la solución en todas las medidas del dibujo antes de darla por buena.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Catetos que se diferencian en 7 cm numérico (Pitágoras)
Los catetos de un triángulo rectángulo se diferencian en 7 cm y la hipotenusa mide 13 cm. ¿Cuánto miden los catetos?

Resolución
Catetos: $x$ y $x + 7$ . Por Pitágoras: $x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \;\Rightarrow\; x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \;\Rightarrow\; 2x^2 + 14x - 120 = 0$ Dividimos entre 2: $x^2 + 7x - 60 = 0$ . $\Delta = 49 + 240 = 289$ , $x = \dfrac{-7 \pm 17}{2}$ → $x = 5$ o $x = -12$ (se descarta). Los catetos miden 5 cm y 12 cm. Comprobación: $25 + 144 = 169 = 13^2$ ✔.
Ejemplo 2. El marco de una foto situación real (áreas)
Una foto de 20 cm × 30 cm se coloca en un marco de anchura uniforme. El conjunto (foto y marco) ocupa 1064 cm². ¿Qué anchura tiene el marco?

Resolución
Anchura del marco: $x$ . El conjunto mide $(20 + 2x) \times (30 + 2x)$ : $(20 + 2x)(30 + 2x) = 1064 \;\Rightarrow\; 600 + 100x + 4x^2 = 1064 \;\Rightarrow\; 4x^2 + 100x - 464 = 0$ Dividimos entre 4: $x^2 + 25x - 116 = 0$ . $\Delta = 625 + 464 = 1089 = 33^2$ , $x = \dfrac{-25 \pm 33}{2}$ → $x = 4$ o $x = -29$ (se descarta). El marco mide 4 cm de ancho. El conjunto mide $28 \times 38 = 1064$ cm² ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Un jardín rectangular tiene una diagonal de 29 m y su largo mide 1 m más que su ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Ver solución
20 m × 21 m
$x^2 + (x + 1)^2 = 29^2 \Rightarrow 2x^2 + 2x + 1 = 841 \Rightarrow x^2 + x - 420 = 0$ . $\Delta = 1 + 1680 = 1681 = 41^2$ ; $x = \dfrac{-1 \pm 41}{2}$ → $x = 20$ o $x = -21$ (se descarta). 20 m de ancho y 21 m de largo.
2. Media
De una lámina cuadrada de cartón se recortan, en cada esquina, cuadrados de 3 cm de lado, y se doblan los bordes para formar una caja sin tapa de 300 cm³. ¿Cuánto mide el lado de la lámina?

Ver solución
16 cm
Lado de la lámina: $x$ . La base de la caja es un cuadrado de lado $x - 6$ y la altura es 3 cm: $3(x - 6)^2 = 300 \Rightarrow (x - 6)^2 = 100 \Rightarrow x - 6 = \pm 10$ → $x = 16$ o $x = -4$ (se descarta). 16 cm.
3. Difícil
En un jardín rectangular de 12 m × 8 m se hace un camino de anchura uniforme por todo el borde interior, y en el centro queda una zona de césped de 60 m². ¿Qué anchura tiene el camino?

Ver solución
1 m
Anchura: $x$ . El césped mide $(12 - 2x) \times (8 - 2x)$ : $(12 - 2x)(8 - 2x) = 60 \Rightarrow 4x^2 - 40x + 96 = 60 \Rightarrow x^2 - 10x + 9 = 0$ → $x = 1$ o $x = 9$ . $x = 9$ es positiva, pero no vale: $8 - 18 < 0$ (el camino no puede ser más ancho que el jardín). El camino mide 1 m.
4. Difícil
Un rectángulo tiene 28 cm de perímetro y su diagonal mide 10 cm. Calcula sus lados.

Ver solución
6 cm y 8 cm
Los dos lados suman 14: $x$ y $14 - x$ . Pitágoras: $x^2 + (14 - x)^2 = 100 \Rightarrow 2x^2 - 28x + 96 = 0 \Rightarrow x^2 - 14x + 48 = 0$ → $x = 6$ o $x = 8$ . Las dos soluciones dan el mismo rectángulo: 6 cm × 8 cm.

Para practicar más

1. Media
Una escalera de 17 dm está apoyada en una pared. La distancia del pie de la escalera a la pared es 7 dm menor que la altura a la que llega la escalera. ¿A qué altura llega y a qué distancia de la pared está el pie?

Ver solución
Llega a 15 dm de altura y el pie está a 8 dm.
Altura: $h$ ; distancia del pie: $h - 7$ . $h^2 + (h - 7)^2 = 17^2 \Rightarrow 2h^2 - 14h - 240 = 0 \Rightarrow h^2 - 7h - 120 = 0$ . $\Delta = 49 + 480 = 529 = 23^2$ ; $h = \dfrac{7 \pm 23}{2}$ → $h = 15$ o $h = -8$ (se descarta). 15 dm de altura y el pie a 8 dm.
2. Media
Una piscina rectangular de 10 m × 6 m está rodeada por un borde de baldosas de anchura uniforme. Piscina y borde ocupan en total 96 m². ¿Qué anchura tiene el borde?

Ver solución
1 m
$(10 + 2x)(6 + 2x) = 96 \Rightarrow 4x^2 + 32x + 60 = 96 \Rightarrow x^2 + 8x - 9 = 0$ → $x = 1$ o $x = -9$ (se descarta). 1 m.
3. Difícil
En un triángulo rectángulo, un cateto mide 14 cm más que el otro y el área es de 120 cm². Calcula los catetos y la hipotenusa.

Ver solución
Catetos 10 cm y 24 cm; hipotenusa 26 cm.
$\dfrac{x(x + 14)}{2} = 120 \Rightarrow x^2 + 14x - 240 = 0$ ; $\Delta = 196 + 960 = 1156 = 34^2$ ; $x = \dfrac{-14 \pm 34}{2}$ → $x = 10$ o $x = -24$ (se descarta). Catetos: 10 cm y 24 cm. Hipotenusa: $\sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ cm.