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Matemáticas 3.º ESO · Problemas de mezclas, aleaciones y relojes

Problemas de mezclas con porcentajes, aleaciones y relojes

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear y resolver con ecuaciones de primer grado problemas de mezclas con porcentajes, de aleaciones y de relojes.

Explicación

Mezclas con porcentajes

Cuando se mezclan disoluciones (agua con sal, leche con grasa, zumo…), lo que se conserva es la cantidad de sustancia pura: $\text{cantidad de sustancia} = \dfrac{\text{porcentaje}}{100} \cdot \text{cantidad total}$

	Cantidad	Porcentaje	Sustancia pura
Disolución A	$c_A$	$r_A\,\%$	$\dfrac{r_A}{100} \cdot c_A$
Disolución B	$c_B$	$r_B\,\%$	$\dfrac{r_B}{100} \cdot c_B$
Mezcla	$c_A + c_B$	$r\,\%$	$\dfrac{r}{100} \cdot (c_A + c_B)$

Ecuación: la sustancia pura de la mezcla es la suma de la de los ingredientes.

Añadir agua es añadir una disolución al 0 %: la cantidad de sustancia no cambia, pero la total aumenta.
Evaporar agua: la cantidad de sustancia no cambia y la total disminuye.

Aleaciones

Una aleación de un metal precioso (oro, plata) con otros metales se caracteriza por su ley: $\text{ley} = \dfrac{\text{masa de metal precioso}}{\text{masa total}}$ Por ejemplo, la plata de ley 0,925 tiene 925 g de plata pura por cada 1000 g. En el oro también se usan los quilates: el oro puro tiene 24 quilates, y el de 18 quilates tiene una ley de $\dfrac{18}{24} = 0{,}750$ . Se plantean igual que las mezclas con porcentajes: la masa de metal precioso se conserva.

Relojes

Medimos los ángulos desde las 12, en el sentido de las agujas del reloj.

La aguja minutera da una vuelta ( $360°$ ) en 60 min: avanza $6°$ por minuto.
La aguja horaria avanza $30°$ cada hora: $0{,}5°$ por minuto.

$t$ minutos después de las $h$ en punto, la minutera está en $6t$ grados y la horaria en $30h + 0{,}5t$ grados.

Las agujas se superponen cuando $6t = 30h + 0{,}5t$ .
Forman un ángulo $\alpha$ cuando la diferencia entre sus posiciones es $\alpha$ .

Puntos clave

Mezclas con porcentajes: se conserva la cantidad de sustancia pura, $\dfrac{r}{100} \cdot \text{cantidad}$ .
El agua es una disolución al 0 %: al añadirla o evaporarla, la sustancia no cambia.
Ley de una aleación = masa de metal precioso / masa total; 18 quilates = ley 0,750.
Reloj: la minutera avanza $6°$ /min y la horaria $0{,}5°$ /min.
$t$ minutos después de las $h$ : minutera en $6t$ , horaria en $30h + 0{,}5t$ .

Errores frecuentes

ErrorSumar los porcentajes: mezclar una disolución al 20 % con otra al 5 % y decir que la mezcla está al 25 %.
Cómo corregirloLos porcentajes no se suman. Calcula la sustancia pura de cada parte y divide entre la cantidad total.
ErrorAl añadir agua, mantener la cantidad total: $0{,}08 \cdot 500 = 60$ .
Cómo corregirloLa sustancia sigue siendo 60 g, pero la total pasa a $500 + x$ : $60 = 0{,}08(500 + x)$ .
ErrorEn los relojes, suponer que la aguja horaria está quieta en el número de la hora.
Cómo corregirloLa horaria también se mueve: a las 3 y media no está en el 3, sino a mitad de camino entre el 3 y el 4.
ErrorDar el resultado del reloj como «3,36 h» o «16,36 min».
Cómo corregirloPasa la parte decimal a segundos: $16{,}36$ min $= 16$ min $+ 0{,}36 \cdot 60$ s $\approx 16$ min 22 s.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Salmuera para encurtidos situación real (mezcla con porcentajes)

En una fábrica de encurtidos tienen salmuera (agua con sal) al 20 % y salmuera al 5 %, en masa. ¿Cuántos kilos de cada una hay que mezclar para obtener 30 kg de salmuera al 10 %?

Resolución

	Cantidad (kg)	% de sal	Sal (kg)
Salmuera al 20 %	$x$	20 %	$0{,}20x$
Salmuera al 5 %	$30 - x$	5 %	$0{,}05(30 - x)$
Mezcla	30	10 %	$0{,}10 \cdot 30 = 3$

$0{,}20x + 0{,}05(30 - x) = 3 \;\Rightarrow\; 0{,}15x + 1{,}5 = 3 \;\Rightarrow\; x = 10$ Hay que mezclar 10 kg de salmuera al 20 % y 20 kg al 5 %. Comprobación: $2 + 1 = 3$ kg de sal en 30 kg, y $\dfrac{3}{30} = 0{,}10 = 10\,\%$ ✔.

Ejemplo 2. Subir los quilates de una joya numérico (aleaciones)
Un joyero tiene 60 g de oro de 18 quilates (ley 0,750). ¿Cuántos gramos de oro puro tiene que fundir con él para obtener oro de 21 quilates (ley 0,875)?

Resolución
Oro puro en los 60 g: $0{,}750 \cdot 60 = 45$ g. El oro puro añadido ( $x$ g) tiene ley 1. $45 + x = 0{,}875(60 + x) \;\Rightarrow\; 45 + x = 52{,}5 + 0{,}875x \;\Rightarrow\; 0{,}125x = 7{,}5 \;\Rightarrow\; x = 60$ Tiene que añadir 60 g de oro puro. Comprobación: $\dfrac{45 + 60}{120} = 0{,}875$ ✔ ( $0{,}875 \cdot 24 = 21$ quilates).
Ejemplo 3. ¿Cuándo se superponen las agujas? gráfico (relojes)
¿A qué hora, entre las 3 y las 4, se superponen las agujas de un reloj? La gráfica muestra el ángulo de cada aguja (medido desde las 12) en los primeros 30 minutos después de las 3.

Resolución
A las 3:00, la minutera está en $0°$ y la horaria en $3 \cdot 30° = 90°$ . Al cabo de $t$ minutos:
- minutera: $6t$
- horaria: $90 + 0{,}5t$
Se superponen cuando están en el mismo ángulo (en la gráfica, donde se cortan las rectas): $6t = 90 + 0{,}5t \;\Rightarrow\; 5{,}5t = 90 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{90}{5{,}5} = \dfrac{180}{11} \approx 16{,}36\ \text{min}$ $0{,}36\ \text{min} \approx 0{,}36 \cdot 60 \approx 22$ s. Se superponen hacia las 3 h 16 min 22 s (redondeando a segundos). En la gráfica, el corte está en $t \approx 16{,}4$ min y a unos $98°$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Tenemos 500 g de agua con azúcar al 12 % (en masa). ¿Cuánta agua hay que añadir para que la concentración baje al 8 %?

Ver solución
250 g de agua
Azúcar: $0{,}12 \cdot 500 = 60$ g (no cambia). Con $x$ g de agua más: $60 = 0{,}08(500 + x) \Rightarrow 500 + x = 750 \Rightarrow x = 250$ g.
2. Media
La leche entera tiene aproximadamente un 3,6 % de grasa y la desnatada, un 0,2 %. ¿Cuántos litros de cada una hay que mezclar para obtener 10 L de leche con un 1,56 % de grasa?

Ver solución
4 L de entera y 6 L de desnatada.
Entera: $x$ L; desnatada: $10 - x$ L. Grasa de la mezcla: $0{,}0156 \cdot 10 = 0{,}156$ . $0{,}036x + 0{,}002(10 - x) = 0{,}156 \Rightarrow 0{,}034x + 0{,}02 = 0{,}156 \Rightarrow 0{,}034x = 0{,}136 \Rightarrow x = 4$ . 4 L de entera y 6 L de desnatada.
3. Media
Un platero quiere obtener plata de ley 0,875. ¿Cuántos gramos de plata de ley 0,800 tiene que fundir con 300 g de plata de ley 0,925?

Ver solución
200 g
Plata pura: $0{,}925 \cdot 300 = 277{,}5$ g y $0{,}800x$ g. $277{,}5 + 0{,}800x = 0{,}875(300 + x) \Rightarrow 277{,}5 + 0{,}8x = 262{,}5 + 0{,}875x \Rightarrow 15 = 0{,}075x \Rightarrow x = 200$ g.
4. Media
¿A qué hora, entre las 9 y las 10, se superponen las agujas de un reloj? Redondea a segundos.

Ver solución
Hacia las 9 h 49 min 5 s.
A las 9:00, la horaria está en $9 \cdot 30 = 270°$ . $6t = 270 + 0{,}5t \Rightarrow 5{,}5t = 270 \Rightarrow t = \dfrac{540}{11} \approx 49{,}09$ min. $0{,}09 \cdot 60 \approx 5$ s → 9 h 49 min 5 s aproximadamente.
5. Media
Una pieza de latón (aleación de cobre y cinc) de 40 kg tiene un 60 % de cobre. ¿Cuánto cobre hay que añadir para que tenga un 75 % de cobre?

Ver solución
24 kg de cobre
Cobre: $0{,}60 \cdot 40 = 24$ kg. Añadimos $x$ kg de cobre puro: $24 + x = 0{,}75(40 + x) \Rightarrow 24 + x = 30 + 0{,}75x \Rightarrow 0{,}25x = 6 \Rightarrow x = 24$ kg.
6. Difícil
¿A qué hora, entre las 2 y las 3, forman las agujas de un reloj un ángulo recto por primera vez? Redondea a segundos.

Ver solución
Hacia las 2 h 27 min 16 s.
A las 2:00, la horaria está en $60°$ y la minutera en $0°$ ; el ángulo entre ellas es $60°$ y va disminuyendo hasta que se superponen (antes no llega a $90°$ ). Después, la minutera adelanta a la horaria y el ángulo crece: $6t - (60 + 0{,}5t) = 90 \;\Rightarrow\; 5{,}5t = 150 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{300}{11} \approx 27{,}27\ \text{min}$ $0{,}27 \cdot 60 \approx 16$ s → 2 h 27 min 16 s aproximadamente.

Para practicar más

1. Fácil
El agua del mar tiene aproximadamente un 3,5 % de sal. ¿Cuánta agua hay que evaporar de 60 kg de agua de mar para que la sal sea el 5 % del total?

Ver solución
18 kg de agua
Sal: $0{,}035 \cdot 60 = 2{,}1$ kg (no cambia). $2{,}1 = 0{,}05(60 - x) \Rightarrow 60 - x = 42 \Rightarrow x = 18$ kg.
2. Media
Un refresco de naranja tiene un 8 % de zumo y otro un 20 %. ¿Cuántos litros de cada uno hay que mezclar para obtener 12 L de bebida con un 12 % de zumo?

Ver solución
8 L del 8 % y 4 L del 20 %.
$0{,}08x + 0{,}20(12 - x) = 0{,}12 \cdot 12 \Rightarrow 2{,}4 - 0{,}12x = 1{,}44 \Rightarrow x = 8$ L. Del 20 %: $12 - 8 = 4$ L.
3. Media
¿Cuántos gramos de oro de ley 0,500 hay que fundir con 50 g de oro de ley 0,750 para obtener oro de ley 0,600?

Ver solución
75 g
$0{,}750 \cdot 50 + 0{,}500x = 0{,}600(50 + x) \Rightarrow 37{,}5 + 0{,}5x = 30 + 0{,}6x \Rightarrow 7{,}5 = 0{,}1x \Rightarrow x = 75$ g.
4. Media
¿A qué hora, entre las 4 y las 5, se superponen las agujas de un reloj? Redondea a segundos.

Ver solución
Hacia las 4 h 21 min 49 s.
$6t = 120 + 0{,}5t \Rightarrow 5{,}5t = 120 \Rightarrow t = \dfrac{240}{11} \approx 21{,}82$ min; $0{,}818 \cdot 60 \approx 49$ s → 4 h 21 min 49 s.
5. Difícil
¿A qué hora, después de las 7, forman las agujas de un reloj un ángulo llano ( $180°$ ) por primera vez? Redondea a segundos.

Ver solución
Hacia las 7 h 5 min 27 s.
A las 7:00 la horaria está en $210°$ y la minutera en $0°$ : la horaria va $210°$ por delante (las agujas forman $150°$ ). Como la minutera es más rápida, esa diferencia disminuye y llega a $180°$ : $(210 + 0{,}5t) - 6t = 180 \Rightarrow 5{,}5t = 30 \Rightarrow t = \dfrac{60}{11} \approx 5{,}45$ min; $0{,}45 \cdot 60 \approx 27$ s → 7 h 5 min 27 s.