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Matemáticas 3.º ESO · Problemas de primer grado: móviles, grifos y trabajos

Problemas de repartos, dinero y compras

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear y resolver con una ecuación de primer grado problemas de repartos, de dinero y de compras.

Explicación

Se resuelven con las mismas fases de siempre (comprender, elegir la incógnita, plantear, resolver, comprobar). Estas ideas ayudan a plantearlos:

Repartos: llama $x$ $x$ a la parte de quien recibe menos y expresa las demás en función de $x$ $x$ . La ecuación dice que la suma de las partes es el total.
- «A recibe el doble que B» → B: $x$ , A: $2x$ .
- Reparto proporcional a 3, 4 y 5 → las partes son $3x$ , $4x$ y $5x$ .
Compras: $\text{coste} = \text{precio unitario} \cdot \text{cantidad}$ . El coste total es la suma de los costes.
Ahorros y pagos a plazos: si tienes una cantidad al principio y cada semana añades lo mismo, después de $x$ semanas tienes $\text{inicial} + \text{ahorro semanal} \cdot x$ .
Monedas, billetes y entradas: si hay dos tipos y sabes el total de unidades $N$ , llama $x$ a las de un tipo y $N - x$ a las del otro.

Es muy útil organizar los datos en una tabla antes de plantear:

	Cantidad	Precio (€)	Coste (€)
Tipo 1	$x$	$p_1$	$p_1 \cdot x$
Tipo 2	$N - x$	$p_2$	$p_2 \cdot (N - x)$

En un reparto, la suma de las partes es el total.
Reparto proporcional a $a$ , $b$ , $c$ : partes $ax$ , $bx$ , $cx$ .
Coste = precio unitario · cantidad.
Con dos tipos y $N$ unidades en total: $x$ y $N - x$ .
Trabaja con todas las cantidades en la misma unidad (euros o céntimos).
Ahorro: lo que tengo al principio + lo que ahorro cada semana · número de semanas.

ErrorMezclar euros y céntimos en la misma ecuación: $50x + 20(36 - x) = 13{,}50$ .
Cómo corregirloPasa todo a euros ( $0{,}50x + 0{,}20(36 - x) = 13{,}50$ ) o todo a céntimos ( $50x + 20(36 - x) = 1350$ ).
ErrorEn un reparto proporcional a 3, 4 y 5, dividir el total entre 3, entre 4 y entre 5.
Cómo corregirloLas partes son $3x$ , $4x$ y $5x$ , y su suma es el total: $12x = \text{total}$ .
ErrorEn un reparto, calcular solo $x$ y no dar lo que recibe cada persona.
Cómo corregirloVuelve a la lista «B: $x$ , A: $2x$ , C: $x + 20$ » y sustituye el valor de $x$ en cada parte. Comprueba que las partes suman el total.

Ejemplo 1. El premio de la porra situación real (reparto)
Ana, Bea y Carlos ganan 180 € en la porra de un partido y se los reparten así: Ana recibe el doble que Bea, y Carlos, 20 € más que Bea. ¿Cuánto recibe cada uno?

Resolución
Bea (la que menos recibe): $x$ . Ana: $2x$ . Carlos: $x + 20$ . $x + 2x + (x + 20) = 180 \;\Rightarrow\; 4x = 160 \;\Rightarrow\; x = 40$ Bea recibe 40 €, Ana 80 € y Carlos 60 €. Comprobación: $40 + 80 + 60 = 180$ ✔.
Ejemplo 2. Material escolar numérico (compras)
En una papelería, un cuaderno cuesta 2,20 € más que un bolígrafo. Por 3 cuadernos y 5 bolígrafos se pagan 12,60 €. ¿Cuánto cuesta cada cosa?

Resolución
Bolígrafo: $x$ €; cuaderno: $x + 2{,}20$ €. $3(x + 2{,}20) + 5x = 12{,}60 \;\Rightarrow\; 8x + 6{,}60 = 12{,}60 \;\Rightarrow\; 8x = 6 \;\Rightarrow\; x = 0{,}75$ El bolígrafo cuesta 0,75 € y el cuaderno 2,95 €. Comprobación: $3 \cdot 2{,}95 + 5 \cdot 0{,}75 = 8{,}85 + 3{,}75 = 12{,}60$ ✔.

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.