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Matemáticas 3.º ESO · Problemas de primer grado: móviles, grifos y trabajos

Recuerda: problemas geométricos y de porcentajes

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear con una ecuación de primer grado problemas geométricos (perímetros y ángulos) y de porcentajes (aumentos y rebajas).

Recuerda

Problemas geométricos

Haz siempre un dibujo y escribe las medidas en función de $x$ . Fórmulas que se usan mucho:

Perímetro de un rectángulo: $P = 2 \cdot (b + a)$ ; de un cuadrado: $P = 4l$ .
Los ángulos de un triángulo suman $180°$ ; los de un cuadrilátero, $360°$ .
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales, y también son iguales los dos ángulos opuestos a esos lados.

Problemas de porcentajes

El $r\,\%$ de una cantidad $C$ es $\dfrac{r}{100} \cdot C$ .
Aumentar un $r\,\%$ es multiplicar por el índice de variación $1 + \dfrac{r}{100}$ : subir un 15 % → $\cdot\, 1{,}15$ .
Disminuir un $r\,\%$ es multiplicar por $1 - \dfrac{r}{100}$ : rebajar un 20 % → $\cdot\, 0{,}80$ .
Si hay varias variaciones seguidas, se multiplican los índices: subir un 10 % y después bajar un 10 % es multiplicar por $1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99$ .

Si conocemos el precio final y queremos el inicial, llamamos $x$ al inicial y planteamos: $x \cdot (\text{índice de variación}) = \text{precio final}$

Si un total se reparte en porcentajes y conocemos lo que corresponde a uno de ellos, llamamos $x$ al total: por ejemplo, «el 25 % restante son 45 alumnos» → $0{,}25x = 45$ .

Puntos clave

Haz un dibujo con las medidas en función de $x$ .
Perímetro del rectángulo: $2(b + a)$ ; ángulos de un triángulo: $180°$ .
Aumentar un $r\,\%$ : multiplicar por $1 + \dfrac{r}{100}$ ; disminuir: por $1 - \dfrac{r}{100}$ .
Para hallar la cantidad inicial, llámala $x$ y plantea $x \cdot \text{índice} = \text{final}$ .

Errores frecuentes

ErrorPara deshacer una rebaja del 20 %, sumar un 20 % al precio rebajado.
Cómo corregirloEl 20 % se calcula sobre el precio inicial, que no conoces. Plantea $0{,}80x = \text{precio rebajado}$ y despeja.
ErrorUsar solo dos lados en el perímetro de un rectángulo: $x + (x + 8) = 56$ .
Cómo corregirloEl rectángulo tiene cuatro lados: $2x + 2(x + 8) = 56$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un cartel rectangular geométrico
El perímetro de un cartel rectangular es 56 cm y la base mide 8 cm más que la altura. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Resolución
Altura: $x$ ; base: $x + 8$ . $2(x + x + 8) = 56 \;\Rightarrow\; 4x + 16 = 56 \;\Rightarrow\; x = 10$ El cartel mide 10 cm de alto y 18 cm de base. Comprobación: $2 \cdot (10 + 18) = 56$ ✔.
Ejemplo 2. Zapatillas rebajadas situación real (porcentajes)
Con una rebaja del 20 %, unas zapatillas cuestan 68 €. ¿Cuánto costaban antes de la rebaja?

Resolución
Precio inicial: $x$ . Rebajar un 20 % es multiplicar por $0{,}80$ : $0{,}80x = 68 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{68}{0{,}80} = 85$ Costaban 85 €. Comprobación: el 20 % de 85 es 17, y $85 - 17 = 68$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide 30° más que cada uno de los ángulos iguales. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Ver solución
50°, 50° y 80°
Ángulos iguales: $x$ cada uno; ángulo desigual: $x + 30$ . $x + x + (x + 30) = 180 \Rightarrow 3x = 150 \Rightarrow x = 50$ . Los ángulos miden 50°, 50° y 80°.
2. Fácil
Una plataforma de música sube su cuota mensual un 15 % y ahora cuesta 12,65 €. ¿Cuánto costaba antes?

Ver solución
11 €
$1{,}15x = 12{,}65 \Rightarrow x = \dfrac{12{,}65}{1{,}15} = 11$ €.
3. Media
De los alumnos de 3.º de un instituto, el 40 % va a clase en metro, el 35 % andando y los 45 restantes en autobús. ¿Cuántos alumnos hay en 3.º?

Ver solución
180 alumnos
Total: $x$ . En autobús va el $100 - 40 - 35 = 25\,\%$ : $0{,}25x = 45 \Rightarrow x = 180$ . Comprobación: $72 + 63 + 45 = 180$ ✔. (También: $x - 0{,}40x - 0{,}35x = 45$ .)

Para practicar más

1. Fácil
Un triángulo tiene un lado de 12 cm. De los otros dos, uno mide 3 cm más que el otro. Si el perímetro es 40 cm, ¿cuánto mide cada lado?

Ver solución
12 cm, 12,5 cm y 15,5 cm
$12 + x + (x + 3) = 40 \Rightarrow 2x = 25 \Rightarrow x = 12{,}5$ . Los lados miden 12 cm, 12,5 cm y 15,5 cm.
2. Fácil
En el Black Friday, un patinete eléctrico rebajado un 30 % cuesta 245 €. ¿Cuál era su precio sin rebaja? ¿Cuánto se ahorra?

Ver solución
350 €; se ahorran 105 €.
$0{,}70x = 245 \Rightarrow x = 350$ €. Ahorro: $350 - 245 = 105$ €.
3. Media
En un triángulo, el ángulo mayor mide el doble que el menor y el mediano mide 20° más que el menor. Calcula los tres ángulos.

Ver solución
40°, 60° y 80°
Menor: $x$ ; mayor: $2x$ ; mediano: $x + 20$ . $x + 2x + x + 20 = 180 \Rightarrow 4x = 160 \Rightarrow x = 40$ . Ángulos: 40°, 60° y 80°.