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Matemáticas 3.º ESO · Problemas de primer grado: móviles, grifos y trabajos

Problemas de mezclas y de edades en dos momentos

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear problemas de mezclas de productos de distinto precio y problemas de edades que relacionan dos momentos distintos.

Explicación

Problemas de mezclas

Al mezclar dos productos de distinto precio, el valor de la mezcla es la suma de los valores de los ingredientes. Organiza los datos en una tabla:

	Cantidad (kg)	Precio (€/kg)	Valor (€)
Producto A	$c_A$	$p_A$	$p_A \cdot c_A$
Producto B	$c_B$	$p_B$	$p_B \cdot c_B$
Mezcla	$c_A + c_B$	$p_M$	$p_M \cdot (c_A + c_B)$

Ecuación: $p_A \cdot c_A + p_B \cdot c_B = p_M \cdot (c_A + c_B)$ .

Si se conoce la cantidad de uno de los productos, la incógnita es la cantidad del otro.
Si se conoce la cantidad total $T$ de mezcla, se llama $x$ a la de un producto y $T - x$ a la del otro.

El precio de la mezcla siempre queda entre los precios de los dos productos, más cerca del precio del producto del que se pone más cantidad. La misma idea sirve para mezclar agua a distintas temperaturas (cantidad · temperatura en lugar de cantidad · precio).

Edades en dos momentos

Cuando el problema habla de «dentro de $n$ años» o «hace $n$ años», haz una tabla con la edad de cada persona hoy y en el otro momento. A todos les pasan los mismos años:

	Hoy	Dentro de $n$ años	Hace $n$ años
Persona A	$x$	$x + n$	$x - n$

La ecuación se plantea con las edades del momento del que habla la condición. Si la incógnita es el número de años que pasan, las edades de hoy son datos y la tabla lleva $x$ en la columna del otro momento.

Puntos clave

Mezclas: valor total = suma de los valores; valor = precio · cantidad.
El precio de la mezcla está entre los precios de los productos.
Edades: tabla con «hoy» y el otro momento; a todos les suman (o restan) los mismos años.
La condición se aplica a las edades del momento al que se refiere.

Errores frecuentes

ErrorCalcular el precio de la mezcla como la media de los dos precios aunque las cantidades sean distintas.
Cómo corregirloSolo es la media si hay la misma cantidad de cada producto. En general: valor total entre cantidad total.
ErrorEn «dentro de 18 años la madre tendrá el doble que la hija», plantear $38 + 18 = 2 \cdot 10$ .
Cómo corregirloLa hija también cumple años: $38 + x = 2(10 + x)$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Mezcla de café situación real (mezclas)
Un tostadero de café del barrio de Lavapiés mezcla 20 kg de café de 12 €/kg con café de 8 €/kg. ¿Cuántos kilos del segundo tiene que añadir para que la mezcla salga a 9 €/kg?

Resolución

Cantidad (kg) Precio (€/kg) Valor (€)

Café caro 20 12 240

Café barato $x$ 8 $8x$

Mezcla $20 + x$ 9 $9(20 + x)$

$240 + 8x = 9(20 + x) \;\Rightarrow\; 240 + 8x = 180 + 9x \;\Rightarrow\; x = 60$ Tiene que añadir 60 kg de café de 8 €/kg. Comprobación: $\dfrac{240 + 480}{80} = 9$ €/kg ✔.
Ejemplo 2. Madre e hija numérico (edades en dos momentos)
Una madre tiene 38 años y su hija 10. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el doble que la de su hija?

Resolución

Hoy Dentro de $x$ años

Madre 38 $38 + x$

Hija 10 $10 + x$

$38 + x = 2(10 + x) \;\Rightarrow\; 38 + x = 20 + 2x \;\Rightarrow\; x = 18$ Dentro de 18 años (la madre tendrá 56 y la hija 28; $56 = 2 \cdot 28$ ✔).

	Cantidad (kg)	Precio (€/kg)	Valor (€)
Café caro	20	12	240
Café barato	$x$	8	$8x$
Mezcla	$20 + x$	9	$9(20 + x)$

	Hoy	Dentro de $x$ años
Madre	38	$38 + x$
Hija	10	$10 + x$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Una tienda de frutos secos mezcla 6 kg de almendras de 14 €/kg con nueces de 10 €/kg. ¿Cuántos kilos de nueces debe poner para que la mezcla salga a 11,50 €/kg?

Ver solución
10 kg de nueces
$6 \cdot 14 + 10x = 11{,}50(6 + x) \Rightarrow 84 + 10x = 69 + 11{,}50x \Rightarrow 15 = 1{,}50x \Rightarrow x = 10$ kg. Comprobación: $\dfrac{84 + 100}{16} = 11{,}50$ €/kg ✔.
2. Media
Pablo tiene 12 años más que su prima Irene. Hace 5 años, la edad de Pablo era el triple de la de Irene. ¿Qué edad tienen ahora?

Ver solución
Irene 11 años y Pablo 23.
Hoy: Irene $x$ , Pablo $x + 12$ . Hace 5 años: Irene $x - 5$ , Pablo $x + 7$ . $x + 7 = 3(x - 5) \Rightarrow x + 7 = 3x - 15 \Rightarrow 22 = 2x \Rightarrow x = 11$ . Irene tiene 11 años y Pablo 23. Hace 5 años: 6 y 18, y $18 = 3 \cdot 6$ ✔.
3. Media
Un padre tiene 26 años más que su hijo. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble que la del hijo. ¿Qué edades tienen ahora?

Ver solución
El hijo 16 años y el padre 42.
Hoy: hijo $x$ , padre $x + 26$ . Dentro de 10 años: $x + 10$ y $x + 36$ . $x + 36 = 2(x + 10) \Rightarrow x = 16$ . Hijo: 16 años; padre: 42. Dentro de 10 años: 26 y 52 ✔.

Para practicar más

1. Media
¿Cuántos litros de aceite de girasol de 2 €/L hay que añadir a 30 L de aceite de oliva de 6 €/L para obtener una mezcla de 4,50 €/L?

Ver solución
18 L
$30 \cdot 6 + 2x = 4{,}50(30 + x) \Rightarrow 180 + 2x = 135 + 4{,}50x \Rightarrow 45 = 2{,}50x \Rightarrow x = 18$ L.
2. Media
Un abuelo tiene 70 años y su nieto 14. ¿Hace cuántos años la edad del abuelo era 8 veces la del nieto?

Ver solución
Hace 6 años (64 y 8 años).
Hace $x$ años: abuelo $70 - x$ , nieto $14 - x$ . $70 - x = 8(14 - x) \Rightarrow 70 - x = 112 - 8x \Rightarrow 7x = 42 \Rightarrow x = 6$ . Hace 6 años tenían 64 y 8 años, y $64 = 8 \cdot 8$ ✔.
3. Difícil
Entre una madre y su hijo suman 52 años. Dentro de 4 años, la madre tendrá el triple de la edad del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?

Ver solución
El hijo 11 años y la madre 41.
Hoy: hijo $x$ , madre $52 - x$ . Dentro de 4 años: $x + 4$ y $56 - x$ . $56 - x = 3(x + 4) \Rightarrow 56 - x = 3x + 12 \Rightarrow 44 = 4x \Rightarrow x = 11$ . Hijo: 11 años; madre: 41. Dentro de 4 años: 15 y 45 ✔.