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Explicación

Problemas de móviles

Usamos la relación del movimiento uniforme: $d = v \cdot t$ (distancia = velocidad · tiempo). Haz siempre un dibujo con las posiciones de salida y los sentidos.

Encuentro (salen uno hacia el otro desde dos puntos separados una distancia $D$ ): cuando se encuentran, entre los dos han recorrido toda la distancia. $d_1 + d_2 = D \quad\Rightarrow\quad v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = D$

Alcance (van en el mismo sentido y el de atrás es más rápido): cuando lo alcanza, los dos están en el mismo punto.

Si el primero lleva una ventaja de $D$ km: $d_{\text{rápido}} = d_{\text{lento}} + D$ .
Si el lento salió antes (por ejemplo, media hora), los dos recorren la misma distancia, pero el lento ha estado más tiempo en marcha: $v_{\text{rápido}} \cdot t = v_{\text{lento}} \cdot (t + 0{,}5)$ .

Cuidado con las unidades: si la velocidad está en km/h, el tiempo va en horas (6 min = 0,1 h).

Problemas de grifos y de trabajos

Si un grifo llena un depósito en 3 horas, en 1 hora llena $\dfrac{1}{3}$ del depósito, y en $t$ horas, $\dfrac{t}{3}$ .

Si dos grifos que tardan $a$ y $b$ horas se abren a la vez y lo llenan en $t$ horas, entre los dos llenan un depósito completo: $\dfrac{t}{a} + \dfrac{t}{b} = 1 \qquad\text{o, lo que es lo mismo,}\qquad \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{t}$

Un desagüe que vacía el depósito en $c$ horas resta: $\dfrac{t}{a} - \dfrac{t}{c} = 1$ .
Lo mismo sirve para trabajos: personas o máquinas que hacen una tarea juntas.

La solución conjunta siempre es menor que el tiempo del más rápido: ¡ayudarse ahorra tiempo!

Puntos clave

Móviles: $d = v \cdot t$ , con unidades coherentes.
Encuentro: la suma de las distancias recorridas es la distancia inicial.
Alcance: los dos están en el mismo punto; si uno salió antes, ha estado más tiempo en marcha.
Grifos: si uno tarda $a$ horas, en 1 hora hace $\dfrac{1}{a}$ del trabajo.
Juntos: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{t}$ ; un desagüe resta.
El tiempo conjunto es menor que el del más rápido.

Errores frecuentes

ErrorSumar los tiempos de los grifos: si uno tarda 3 h y otro 6 h, decir que juntos tardan 9 h (o la media, 4,5 h).
Cómo corregirloSuma lo que hace cada uno en 1 hora: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$ del depósito por hora → 2 h.
ErrorMezclar minutos con km/h: escribir $4{,}8 \cdot (t + 6)$ cuando uno sale 6 minutos antes.
Cómo corregirloPasa los minutos a horas: 6 min = $\dfrac{6}{60} = 0{,}1$ h.
ErrorEn un problema de alcance, sumar las velocidades como si fuera un encuentro.
Cómo corregirloDibuja: si van en el mismo sentido, el de atrás solo gana terreno a razón de la diferencia de velocidades.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Madrid–Valencia por la A-3 situación real (encuentro)
Un coche sale de Madrid hacia Valencia a 110 km/h y, a la misma hora, un camión sale de Valencia hacia Madrid a 90 km/h por la misma autovía. La distancia por carretera es de unos 360 km. ¿Cuánto tardan en cruzarse? ¿A qué distancia de Madrid?

Resolución
Dibujo: Madrid ●→ coche ............ camión ←● Valencia (360 km). Al cruzarse llevan el mismo tiempo $t$ en marcha y entre los dos han recorrido 360 km: $110t + 90t = 360 \;\Rightarrow\; 200t = 360 \;\Rightarrow\; t = 1{,}8\ \text{h}$ $1{,}8\ \text{h} = 1\ \text{h} + 0{,}8 \cdot 60\ \text{min} =$ 1 h 48 min. Distancia a Madrid (lo que ha recorrido el coche): $d = 110 \cdot 1{,}8 = 198$ km. Comprobación: el camión ha recorrido $90 \cdot 1{,}8 = 162$ km, y $198 + 162 = 360$ ✔.
Ejemplo 2. El autobús de Salamanca situación real (alcance)
Un autobús sale de Madrid hacia Salamanca a 80 km/h. Media hora después sale un coche por la misma carretera a 120 km/h. ¿Cuánto tarda el coche en alcanzar al autobús? ¿A qué distancia de Madrid?

Resolución
Sea $t$ el tiempo (en h) que el coche lleva en marcha. El autobús lleva media hora más: $t + 0{,}5$ . Cuando lo alcanza, los dos han recorrido la misma distancia: $120t = 80(t + 0{,}5) \;\Rightarrow\; 120t = 80t + 40 \;\Rightarrow\; 40t = 40 \;\Rightarrow\; t = 1\ \text{h}$ El coche lo alcanza 1 h después de salir, a $120 \cdot 1 =$ 120 km de Madrid. Comprobación: el autobús, en 1,5 h, recorre $80 \cdot 1{,}5 = 120$ km ✔.
Ejemplo 3. Dos grifos numérico (grifos)
Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro lo llena en 6 horas. ¿Cuánto tardan los dos juntos?

Resolución
En 1 hora, el primero llena $\dfrac{1}{3}$ del depósito y el segundo $\dfrac{1}{6}$ . Si juntos tardan $t$ horas: $\dfrac{t}{3} + \dfrac{t}{6} = 1 \;\xrightarrow{\;\cdot\,6\;}\; 2t + t = 6 \;\Rightarrow\; t = 2\ \text{h}$ Juntos tardan 2 horas. Comprobación: en 2 h, el primero llena $\dfrac{2}{3}$ y el segundo $\dfrac{1}{3}$ ; total, 1 depósito ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dos ciclistas están en dos extremos de un recorrido de 21 km por la Casa de Campo y salen a la vez uno hacia el otro, a 18 km/h y a 24 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno?

Ver solución
30 min; 9 km y 12 km.
$18t + 24t = 21 \Rightarrow 42t = 21 \Rightarrow t = 0{,}5$ h = 30 min. Distancias: $18 \cdot 0{,}5 = 9$ km y $24 \cdot 0{,}5 = 12$ km ( $9 + 12 = 21$ ✔).
2. Media
Lucía sale de casa hacia el instituto andando a 4,8 km/h. Seis minutos después, su hermano sale en bici por el mismo camino a 14,4 km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzarla? ¿A qué distancia de casa?

Ver solución
3 min después de salir él, a 720 m de casa.
6 min = 0,1 h. Tiempo del hermano: $t$ ; de Lucía: $t + 0{,}1$ . $14{,}4t = 4{,}8(t + 0{,}1) \Rightarrow 14{,}4t - 4{,}8t = 0{,}48 \Rightarrow 9{,}6t = 0{,}48 \Rightarrow t = 0{,}05$ h = 3 min. Distancia: $14{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}72$ km = 720 m.
3. Media
Ana pinta un aula en 6 horas y Juan la pinta en 4 horas. ¿Cuánto tardan si la pintan juntos?

Ver solución
2,4 h = 2 h 24 min
$\dfrac{t}{6} + \dfrac{t}{4} = 1 \xrightarrow{\cdot\,12} 2t + 3t = 12 \Rightarrow t = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ h. $0{,}4\ \text{h} = 0{,}4 \cdot 60 = 24$ min → 2 h 24 min.
4. Difícil
Un grifo llena un estanque él solo en 6 horas. Si se abre a la vez con un segundo grifo, lo llenan en 4 horas. ¿Cuánto tardaría el segundo grifo solo?

Ver solución
12 horas
Si el segundo tarda $x$ horas: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}$ . Multiplicamos por $12x$ : $2x + 12 = 3x \Rightarrow x = 12$ h. Comprobación: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Un tren de mercancías sale de Madrid hacia Zaragoza a 80 km/h y, a la vez, otro sale de Zaragoza hacia Madrid a 70 km/h. Las dos ciudades están a unos 300 km por vía. ¿Cuándo se cruzan y a qué distancia de Madrid?

Ver solución
A las 2 horas de salir, a 160 km de Madrid.
$80t + 70t = 300 \Rightarrow 150t = 300 \Rightarrow t = 2$ h. Distancia a Madrid: $80 \cdot 2 = 160$ km. Comprobación: el otro recorre $70 \cdot 2 = 140$ km y $160 + 140 = 300$ ✔.
2. Media
En la maratón de Madrid, una corredora lleva 600 m de ventaja a otra. La primera corre a 4 m/s y la segunda a 4,5 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda la segunda en alcanzarla? ¿Qué distancia recorre la segunda mientras tanto?

Ver solución
1200 s = 20 min; 5400 m.
La segunda tiene que recorrer 600 m más que la primera: $4{,}5t = 4t + 600 \Rightarrow 0{,}5t = 600 \Rightarrow t = 1200$ s = 20 min. Distancia de la segunda: $4{,}5 \cdot 1200 = 5400$ m.
3. Media
Un grifo llena un depósito en 4 horas y su desagüe lo vacía en 12 horas. Si el depósito está vacío y se abren a la vez el grifo y el desagüe, ¿cuánto tarda en llenarse?

Ver solución
6 horas
En 1 hora entra $\dfrac{1}{4}$ y sale $\dfrac{1}{12}$ : $\dfrac{t}{4} - \dfrac{t}{12} = 1 \xrightarrow{\cdot\,12} 3t - t = 12 \Rightarrow t = 6$ h.
4. Difícil
Un tren hace un recorrido de ida a 120 km/h y vuelve por la misma vía a 80 km/h. En total tarda 5 horas. ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones?

Ver solución
240 km
Distancia: $d$ . Tiempo de ida $\dfrac{d}{120}$ , de vuelta $\dfrac{d}{80}$ : $\dfrac{d}{120} + \dfrac{d}{80} = 5 \xrightarrow{\cdot\,240} 2d + 3d = 1200 \Rightarrow d = 240$ km. Comprobación: 2 h de ida y 3 h de vuelta ✔.
5. Difícil
Un grifo llena un depósito en 5 horas. Después de tenerlo abierto él solo durante 2 horas, se abre otro grifo que llenaría el depósito solo en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tarda en total en llenarse el depósito?

Ver solución
4 horas en total (2 h más con los dos grifos).
En las 2 primeras horas se llena $\dfrac{2}{5}$ . Falta $\dfrac{3}{5}$ , con los dos grifos ( $t$ horas más): $\dfrac{2}{5} + t\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10}\right) = 1 \Rightarrow \dfrac{3}{10}t = \dfrac{3}{5} \Rightarrow t = 2$ h. En total: $2 + 2 = 4$ horas.

Problemas de móviles y de grifos