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Matemáticas 3.º ESO · Identidades notables

Recuerda: las identidades notables

Objetivo: Al terminar, recordarás las tres identidades notables, sabrás explicarlas con áreas y las aplicarás para desarrollar binomios sencillos sin multiplicar término a término.

Recuerda

Las identidades notables

Las identidades notables son productos de binomios que salen tantas veces que conviene saber su resultado de memoria:

Nombre	Identidad	Cómo se dice
Cuadrado de una suma	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
Cuadrado de una diferencia	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
Suma por diferencia	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$	cuadrado del primero menos cuadrado del segundo

¿De dónde salen?

Basta con multiplicar: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Con áreas. Dibuja un cuadrado de lado $a + b$ y parte cada lado en un trozo $a$ y un trozo $b$ . El cuadrado queda dividido en cuatro piezas: un cuadrado de área $a^2$ , otro de área $b^2$ y dos rectángulos iguales de área $a \cdot b$ . Sumando las piezas se obtiene $a^2 + 2ab + b^2$ .

Cuidado: $(a + b)^2$ no es $a^2 + b^2$ : faltan los dos rectángulos, es decir, el término $2ab$ .

Cómo aplicarlas

Identifica quién es $a$ y quién es $b$ . En $(x - 5)^2$ : $a = x$ , $b = 5$ .
Escribe la fórmula con esos valores: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2$ .
Opera: $x^2 - 10x + 25$ .

Si dudas, puedes comprobar el resultado multiplicando el binomio por sí mismo o dando un valor a $x$ .

Puntos clave

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : el último término siempre es positivo.
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ : los términos $ab$ se anulan.
El cuadrado de un binomio tiene tres términos; la suma por diferencia, dos.
Con áreas: el cuadrado de lado $a + b$ se divide en $a^2$ , $b^2$ y dos rectángulos $a \cdot b$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir $(x + 3)^2 = x^2 + 9$ , olvidando el doble producto.
Cómo corregirloEl cuadrado de una suma tiene tres términos: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . Si dudas, multiplica $(x + 3)(x + 3)$ o comprueba con un número: con $x = 1$ , $4^2 = 16$ y $1 + 9 = 10$ .
ErrorPoner negativo el último término: $(x - 5)^2 = x^2 - 10x - 25$ .
Cómo corregirloEl último término es $(-5)^2 = 25$ , que es positivo. Solo el doble producto lleva el signo menos.
ErrorEn la suma por diferencia, escribir $x^2 + 16$ o añadir un término en $x$ .
Cómo corregirloLos términos $4x$ y $-4x$ se anulan y queda una resta de cuadrados: $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Ampliar una parcela de un huerto urbano geométrico (áreas)
En un huerto urbano de un barrio de Madrid hay una parcela cuadrada de $x$ metros de lado. Se amplía 3 m hacia el este y 3 m hacia el sur, de modo que sigue siendo cuadrada. a) Escribe el área de la parcela ampliada como el cuadrado de un binomio. b) Calcula esa área sumando las piezas en que queda dividida. c) Si $x = 10$ m, ¿cuántos metros cuadrados ha ganado la parcela?

Resolución
a) El lado nuevo mide $x + 3$ m, así que el área es $(x + 3)^2$ m².

b) La parcela ampliada se divide en cuatro piezas:
- la parcela original, un cuadrado de área $x^2$ ;
- la franja del este, un rectángulo de $3$ por $x$ : área $3x$ ;
- la franja del sur, otro rectángulo de $x$ por $3$ : área $3x$ ;
- la esquina, un cuadrado de $3$ por $3$ : área $9$ .
Sumando: $(x + 3)^2 = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$ .

c) Lo que se ha ganado son las dos franjas y la esquina: $6x + 9 = 6 \cdot 10 + 9 = 69$ m². Comprobación: $13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$ m². ✔
Ejemplo 2. Desarrollar sin multiplicar numérico
Desarrolla aplicando las identidades notables: a) $(x - 5)^2$ b) $(x + 4)(x - 4)$

Resolución
a) Es el cuadrado de una diferencia con $a = x$ y $b = 5$ : $(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

b) Es una suma por diferencia con $a = x$ y $b = 4$ : $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$ Comprobación multiplicando término a término: $x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Desarrolla: a) $(x + 6)^2$ b) $(x - 1)^2$ c) $(a + 2)(a - 2)$ d) $(y - 7)^2$

Ver solución
a) $x^2 + 12x + 36$ b) $x^2 - 2x + 1$ c) $a^2 - 4$ d) $y^2 - 14y + 49$
a) $(x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36$ b) $(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$ c) $(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$ d) $(y - 7)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2 = y^2 - 14y + 49$
2. Fácil
Pablo dice que $(x + 3)^2$ es igual a $x^2 + 9$ . a) Comprueba con $x = 2$ que no tiene razón. b) Escribe el desarrollo correcto y compruébalo también con $x = 2$ .

Ver solución
a) Con x = 2: 25 frente a 13. b) $x^2 + 6x + 9$ ; con x = 2 da 25.
a) $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$ , pero $2^2 + 9 = 4 + 9 = 13$ . No coinciden, así que la igualdad de Pablo es falsa. b) $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . Con $x = 2$ : $4 + 12 + 9 = 25$ . ✔ Coincide con $(2 + 3)^2$ .
3. Media
Una pantalla cuadrada mide $x$ cm de lado. Otra pantalla, rectangular, tiene 4 cm más de base y 4 cm menos de altura que la cuadrada. a) Escribe el área de cada pantalla como un polinomio. b) ¿Cuál de las dos tiene más área? ¿Cuánto más?

Ver solución
a) Cuadrada: $x^2$ cm²; rectangular: $x^2 - 16$ cm². b) La cuadrada, 16 cm² más.
a) Cuadrada: $x \cdot x = x^2$ cm². Rectangular: base $x + 4$ y altura $x - 4$ ; área $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$ cm². b) $x^2 - (x^2 - 16) = 16$ . La pantalla cuadrada tiene 16 cm² más, mida lo que mida su lado.

Para practicar más

1. Fácil
Desarrolla: a) $(x + 7)^2$ b) $(x - 2)^2$ c) $(x + 9)(x - 9)$ d) $(b + 1)^2$

Ver solución
a) $x^2 + 14x + 49$ b) $x^2 - 4x + 4$ c) $x^2 - 81$ d) $b^2 + 2b + 1$
a) $(x + 7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$ b) $(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$ c) $(x + 9)(x - 9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81$ d) $(b + 1)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^2 = b^2 + 2b + 1$
2. Media
Dibuja un cuadrado de lado $x + 2$ y divídelo en cuatro piezas: dos cuadrados y dos rectángulos. a) Escribe el área de cada pieza. b) Súmalas y comprueba que obtienes el desarrollo de $(x + 2)^2$ .

Ver solución
a) $x^2$ , $2x$ , $2x$ y $4$ . b) $x^2 + 4x + 4$
a) Cuadrado grande de lado $x$ : $x^2$ . Dos rectángulos de $x$ por $2$ : $2x$ cada uno. Cuadrado pequeño de lado $2$ : $4$ . b) $x^2 + 2x + 2x + 4 = x^2 + 4x + 4$ , que coincide con $(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$ . ✔
3. Media
Un compañero ha escrito: « $(x - 4)^2 = x^2 - 16$ ». a) Explica qué error ha cometido. b) Escribe el desarrollo correcto. c) Comprueba con $x = 1$ cuál de los dos es el bueno.

Ver solución
a) Lo ha confundido con una suma por diferencia y le falta el doble producto. b) $x^2 - 8x + 16$ . c) $(1 - 4)^2 = 9$ ; el correcto da 9 y el suyo, −15.
a) Ha aplicado la suma por diferencia, pero $(x - 4)^2$ es el cuadrado de una diferencia: le falta el término $-2 \cdot x \cdot 4$ y el último término es $+16$ , no $-16$ . b) $(x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$ c) $(1 - 4)^2 = (-3)^2 = 9$ . Correcto: $1 - 8 + 16 = 9$ ✔. El del compañero: $1 - 16 = -15$ ✘.