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Matemáticas 3.º ESO · Identidades notables

Recuerda: identidades notables con coeficientes, potencias y fracciones

Objetivo: Al terminar, sabrás desarrollar identidades notables en las que los términos tienen coeficientes, potencias, dos letras o fracciones.

Recuerda

Identidades con coeficientes, potencias y fracciones

Las identidades notables valen para cualquier $a$ y $b$ : números, monomios con coeficiente, potencias o fracciones. El truco está en reconocer quién es $a$ y quién es $b$ y elevar al cuadrado el monomio entero, con su coeficiente:

$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$

Repasa estas potencias, que salen continuamente:

$(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$ (el coeficiente también se eleva).
$(x^3)^2 = x^6$ (potencia de una potencia: se multiplican los exponentes).
$(2x^2)^2 = 4x^4$
$\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \dfrac{x^2}{4}$ (se elevan el numerador y el denominador).
$(-2y)^2 = 4y^2$ (un cuadrado nunca es negativo).

Para no equivocarte, escribe primero el paso intermedio con paréntesis, como en el ejemplo de arriba, y solo después opera.

Con dos letras o con el signo delante. En $(5x - 2y)^2$ : $a = 5x$ , $b = 2y$ , y queda $25x^2 - 20xy + 4y^2$ . En $(-x + 3)^2$ conviene reordenar: $(3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$ , porque $(-x)^2 = x^2$ .

Puntos clave

Identifica $a$ y $b$ antes de aplicar la fórmula.
Eleva el monomio entero: $(3x)^2 = 9x^2$ , no $3x^2$ .
Potencia de una potencia: $(x^3)^2 = x^6$ .
Con fracciones: $\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 = \dfrac{x^2}{9}$ .
El doble producto lleva el coeficiente 2 multiplicando a $a$ y a $b$ completos.

Errores frecuentes

ErrorElevar solo la parte literal: $(3x + 2)^2 = 3x^2 + 12x + 4$ .
Cómo corregirloEscribe $(3x)^2$ con su paréntesis: $(3x)^2 = 9x^2$ .
ErrorSumar los exponentes en vez de multiplicarlos: $(x^3)^2 = x^5$ .
Cómo corregirlo $(x^3)^2 = x^3 \cdot x^3 = x^6$ : en una potencia de una potencia, los exponentes se multiplican.
ErrorOlvidar el 2 del doble producto con fracciones: $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 = \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x}{2} + 1$ .
Cómo corregirloEl doble producto es $2 \cdot \dfrac{x}{2} \cdot 1 = x$ . Simplifica el 2 con el denominador al final.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Coeficientes, potencias y dos letras numérico
Desarrolla: a) $(2x^2 - 3y)^2$ b) $(x^3 + 4)(x^3 - 4)$

Resolución
a) Cuadrado de una diferencia con $a = 2x^2$ y $b = 3y$ : $(2x^2 - 3y)^2 = (2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^4 - 12x^2y + 9y^2$

b) Suma por diferencia con $a = x^3$ y $b = 4$ : $(x^3 + 4)(x^3 - 4) = (x^3)^2 - 4^2 = x^6 - 16$
Ejemplo 2. Identidades con fracciones numérico (fracciones)
Desarrolla: a) $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2$ b) $\left(\dfrac{2}{3}x - 3\right)\left(\dfrac{2}{3}x + 3\right)$

Resolución
a) $a = \dfrac{x}{2}$ , $b = 1$ : $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 = \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{x}{2} \cdot 1 + 1^2 = \dfrac{x^2}{4} + x + 1$

b) Es una suma por diferencia (el orden de los factores no importa) con $a = \dfrac{2}{3}x$ , $b = 3$ : $\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2 - 3^2 = \dfrac{4}{9}x^2 - 9$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Desarrolla: a) $(2x + 5)^2$ b) $(3x - 1)^2$ c) $(4x + 3)(4x - 3)$ d) $(5 - 2x)^2$

Ver solución
a) $4x^2 + 20x + 25$ b) $9x^2 - 6x + 1$ c) $16x^2 - 9$ d) $4x^2 - 20x + 25$
a) $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$ b) $(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$ c) $(4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$ d) $5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2$ , que ordenado es $4x^2 - 20x + 25$ .
2. Media
Desarrolla: a) $(x^3 + 2)^2$ b) $(x^2 - 4y)^2$ c) $(2ab + 1)(2ab - 1)$

Ver solución
a) $x^6 + 4x^3 + 4$ b) $x^4 - 8x^2y + 16y^2$ c) $4a^2b^2 - 1$
a) $(x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 2 + 2^2 = x^6 + 4x^3 + 4$ b) $(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4y + (4y)^2 = x^4 - 8x^2y + 16y^2$ c) $(2ab)^2 - 1^2 = 4a^2b^2 - 1$
3. Difícil
Desarrolla: a) $\left(\dfrac{x}{3} - 2\right)^2$ b) $\left(\dfrac{x}{2} + 4\right)\left(\dfrac{x}{2} - 4\right)$ c) $\left(\dfrac{3x}{2} + y\right)^2$

Ver solución
a) $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{4x}{3} + 4$ b) $\dfrac{x^2}{4} - 16$ c) $\dfrac{9x^2}{4} + 3xy + y^2$
a) $\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{x}{3} \cdot 2 + 2^2 = \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{4x}{3} + 4$ b) $\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 - 4^2 = \dfrac{x^2}{4} - 16$ c) $\left(\dfrac{3x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{3x}{2} \cdot y + y^2 = \dfrac{9x^2}{4} + 3xy + y^2$

Para practicar más

1. Fácil
Desarrolla: a) $(6x - 1)^2$ b) $(2y + 7)^2$ c) $(3a + 5b)(3a - 5b)$

Ver solución
a) $36x^2 - 12x + 1$ b) $4y^2 + 28y + 49$ c) $9a^2 - 25b^2$
a) $(6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 1 + 1^2 = 36x^2 - 12x + 1$ b) $(2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 7 + 7^2 = 4y^2 + 28y + 49$ c) $(3a)^2 - (5b)^2 = 9a^2 - 25b^2$
2. Media
Desarrolla: a) $(x^2 + 5)^2$ b) $(2x^3 - y)^2$ c) $(x^2 + 3)(x^2 - 3)$

Ver solución
a) $x^4 + 10x^2 + 25$ b) $4x^6 - 4x^3y + y^2$ c) $x^4 - 9$
a) $(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 5^2 = x^4 + 10x^2 + 25$ b) $(2x^3)^2 - 2 \cdot 2x^3 \cdot y + y^2 = 4x^6 - 4x^3y + y^2$ c) $(x^2)^2 - 3^2 = x^4 - 9$
3. Difícil
a) Desarrolla $\left(\dfrac{x}{4} - 2\right)^2$ . b) El cartel publicitario de una marquesina de autobús es cuadrado y mide $\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)$ m de lado. Escribe su área como un polinomio y calcúlala para $x = 2$ de dos maneras: con el polinomio y con el lado.

Ver solución
a) $\dfrac{x^2}{16} - x + 4$ b) $\dfrac{x^2}{4} + 3x + 9$ ; para x = 2, 16 m².
a) $\left(\dfrac{x}{4}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{x}{4} \cdot 2 + 2^2 = \dfrac{x^2}{16} - x + 4$ b) Área: $\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 = \dfrac{x^2}{4} + 3x + 9$ m². Con $x = 2$ : polinomio, $\dfrac{4}{4} + 6 + 9 = 16$ m²; lado, $\dfrac{2}{2} + 3 = 4$ m y $4^2 = 16$ m². ✔