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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: productos de tres factores, áreas y volúmenes

Objetivo: Al terminar, sabrás multiplicar tres o más factores, operar con coeficientes fraccionarios y expresar áreas y volúmenes de figuras con dimensiones polinómicas.

Explicación

Producto de tres o más factores

Se multiplican de dos en dos: primero dos factores (los que den el producto más sencillo) y después el resultado por el siguiente. $(x + 1)(x - 2)(x + 3) = (x^2 - x - 2)(x + 3) = x^3 + 3x^2 - x^2 - 3x - 2x - 6 = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$

El grado del resultado es la suma de los grados: aquí $1 + 1 + 1 = 3$ .

Coeficientes fraccionarios

Se opera igual, multiplicando y sumando fracciones con cuidado. Simplifica cada producto antes de sumar: $\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{2}{3}x = \dfrac{2}{6}x^2 = \dfrac{1}{3}x^2$ .

Áreas y volúmenes con polinomios

Si las dimensiones de una figura o de un cuerpo dependen de $x$ , su área o su volumen es un producto de polinomios:

Rectángulo: $A = \text{base} \cdot \text{altura}$ .
Ortoedro (caja): $V = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{alto}$ .

Fíjate en qué valores de $x$ tienen sentido: todas las medidas deben ser positivas.

Comprueba siempre con un valor de $x$ : calcula las medidas, multiplícalas y compara con el valor del polinomio.

Puntos clave

Tres factores: multiplica dos y luego el resultado por el tercero.
Grado del producto = suma de los grados de los factores.
Con fracciones, simplifica cada producto antes de reducir.
En problemas de áreas y volúmenes, las medidas tienen que ser positivas: eso limita los valores de $x$ .

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar los tres factores «a la vez» y dejarse productos.
Cómo corregirloHazlo en dos pasos y escribe el resultado intermedio.
ErrorEn $\left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\left(\dfrac{2}{3}x + 3\right)$ , sumar mal $\dfrac{3}{2}x - \dfrac{2}{3}x$ .
Cómo corregirloDenominador común: $\dfrac{9}{6}x - \dfrac{4}{6}x = \dfrac{5}{6}x$ .
ErrorUsar valores de $x$ que dan medidas negativas o cero (por ejemplo, $x = 6$ en una caja de altura $10 - 2x$ ).
Cómo corregirloAntes de calcular, comprueba que todas las medidas salen positivas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres binomios numérico
Calcula $(x - 1)(x + 2)(2x - 3)$ y comprueba el resultado con $x = 2$ .

Resolución
1. Los dos primeros: $(x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$ .
2. Por el tercero: $(x^2 + x - 2)(2x - 3) = 2x^3 - 3x^2 + 2x^2 - 3x - 4x + 6 = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$ .
Comprobación con $x = 2$ : $(1)(4)(1) = 4$ ; $\;16 - 4 - 14 + 6 = 4$ ✔.
Ejemplo 2. Una caja sin tapa gráfico (modelización)
De una lámina de cartón de 30 cm por 20 cm se recortan, en las cuatro esquinas, cuadrados de $x$ cm de lado, y se doblan los bordes para formar una caja sin tapa. a) Escribe su volumen como un polinomio. b) ¿Qué valores puede tomar $x$ ? c) Con la tabla y la gráfica, ¿para qué valor entero de $x$ es mayor el volumen?

Resolución
a) La caja mide $(30 - 2x)$ de largo, $(20 - 2x)$ de ancho y $x$ de alto: $V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = x(600 - 100x + 4x^2) = 4x^3 - 100x^2 + 600x\ \text{cm}^3$

b) Todas las medidas deben ser positivas: $x > 0$ y $20 - 2x > 0$ , es decir, $0 < x < 10$ .

c)

$x$ (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

$V$ (cm³) 504 832 1008 1056 1000 864 672 448 216

El volumen crece hasta $x = 4$ ( $4 \cdot 22 \cdot 12 = 1056$ cm³) y luego decrece: el mayor volumen con $x$ entero se obtiene recortando cuadrados de 4 cm. La gráfica muestra que el máximo está muy cerca de $x = 4$ .

$x$ (cm)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$V$ (cm³)	504	832	1008	1056	1000	864	672	448	216

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Calcula $(x + 3)(x - 2)(x - 1)$ y comprueba el resultado con $x = 0$ .

Ver solución
$x^3 - 7x + 6$
$(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$ ; $(x^2 + x - 6)(x - 1) = x^3 - x^2 + x^2 - x - 6x + 6 = x^3 - 7x + 6$ . Comprobación con $x = 0$ : $3 \cdot (-2) \cdot (-1) = 6$ ✔.
2. Media
Calcula $\left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\left(\dfrac{2}{3}x + 3\right)$ .

Ver solución
$\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{5}{6}x - 3$
$\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{3}x^2$ ; $\;\dfrac{1}{2}x \cdot 3 = \dfrac{3}{2}x$ ; $\;-1 \cdot \dfrac{2}{3}x = -\dfrac{2}{3}x$ ; $\;-1 \cdot 3 = -3$ . Como $\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9 - 4}{6} = \dfrac{5}{6}$ : $\;\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{5}{6}x - 3$ .
3. Difícil
Una caja tiene forma de ortoedro de dimensiones $x$ cm, $(x + 2)$ cm y $(10 - 2x)$ cm. a) Escribe su volumen como un polinomio. b) ¿Qué valores puede tomar $x$ ? c) Calcula el volumen para $x = 3$ de dos formas.

Ver solución
a) $V = -2x^3 + 6x^2 + 20x$ cm³ b) $0 < x < 5$ c) 60 cm³
a) $x(x + 2) = x^2 + 2x$ ; $(x^2 + 2x)(10 - 2x) = 10x^2 - 2x^3 + 20x - 4x^2 = -2x^3 + 6x^2 + 20x$ . b) $x > 0$ y $10 - 2x > 0 \Rightarrow x < 5$ . c) Medidas 3, 5 y 4 cm: $3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$ ; con el polinomio, $-54 + 54 + 60 = 60$ cm³ ✔.

Para practicar más

1. Media
Calcula $(2x + 1)(x - 3)(x + 4)$ y comprueba el resultado con $x = 1$ .

Ver solución
$2x^3 + 3x^2 - 23x - 12$
$(x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12$ ; $(2x + 1)(x^2 + x - 12) = 2x^3 + 2x^2 - 24x + x^2 + x - 12 = 2x^3 + 3x^2 - 23x - 12$ . Comprobación: $3 \cdot (-2) \cdot 5 = -30$ ; $2 + 3 - 23 - 12 = -30$ ✔.
2. Media
Calcula $\left(\dfrac{3}{4}x - 2\right)\left(4x + \dfrac{1}{2}\right)$ .

Ver solución
$3x^2 - \dfrac{61}{8}x - 1$
$\dfrac{3}{4}x \cdot 4x = 3x^2$ ; $\;\dfrac{3}{4}x \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}x$ ; $\;-2 \cdot 4x = -8x$ ; $\;-2 \cdot \dfrac{1}{2} = -1$ . Como $\dfrac{3}{8} - 8 = \dfrac{3 - 64}{8} = -\dfrac{61}{8}$ : $\;3x^2 - \dfrac{61}{8}x - 1$ .
3. Media
Un depósito de agua tiene forma de ortoedro de dimensiones $(x + 1)$ m, $(x - 1)$ m y $(2x + 3)$ m. a) Escribe su volumen como un polinomio. b) Calcula el volumen para $x = 4$ de dos formas.

Ver solución
a) $2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$ m³ b) 165 m³
a) $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$ ; $(x^2 - 1)(2x + 3) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$ . b) Medidas 5, 3 y 11 m: $5 \cdot 3 \cdot 11 = 165$ ; con el polinomio, $128 + 48 - 8 - 3 = 165$ m³ ✔.