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Explicación

Leer las identidades al revés

Hasta ahora hemos ido del producto al polinomio (desarrollar). Ahora haremos el camino contrario: escribir un polinomio como un producto. Es la herramienta que usaremos para factorizar polinomios y simplificar fracciones algebraicas.

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \qquad a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Diferencia de cuadrados

Un binomio que es una resta de dos cuadrados se escribe como suma por diferencia:

Escribe cada término como un cuadrado: $4x^2 = (2x)^2$ y $25 = 5^2$ .
Así, $a = 2x$ y $b = 5$ : $4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)$ .

Una suma de cuadrados, como $x^2 + 9$ , no se puede escribir de esta forma.

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio es cuadrado perfecto si es el desarrollo de $(a + b)^2$ o de $(a - b)^2$ . Para reconocerlo:

Busca los dos términos que son cuadrados (con signo +): de ellos salen $a$ y $b$ .
Comprueba que el otro término es el doble producto, $2ab$ .
El signo del doble producto te dice si es $(a + b)^2$ o $(a - b)^2$ .

Ejemplo. En $16x^2 + 24x + 9$ : $16x^2 = (4x)^2$ y $9 = 3^2$ ; el doble producto es $2 \cdot 4x \cdot 3 = 24x$ ✔. Por tanto, $16x^2 + 24x + 9 = (4x + 3)^2$ .

Contraejemplo. En $x^2 + 5x + 9$ tendríamos $a = x$ y $b = 3$ , pero $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ , que no es $5x$ : no es un cuadrado perfecto.

Termina siempre comprobando: desarrolla el producto que has obtenido y mira si sale el polinomio de partida.

Puntos clave

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ : una resta de cuadrados es una suma por diferencia.
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ : hay que comprobar que el término central es el doble producto.
$a$ y $b$ son las «raíces» de los términos cuadrados: de $16x^2$ sale $4x$ ; de $x^4$ , $x^2$ ; de $\dfrac{x^2}{4}$ , $\dfrac{x}{2}$ .
Una suma de cuadrados ( $x^2 + 9$ ) no es un producto de este tipo.
Comprueba siempre desarrollando el resultado.

Errores frecuentes

ErrorEscribir $x^2 + 9 = (x + 3)^2$ .
Cómo corregirlo $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . Para ser cuadrado perfecto hace falta el doble producto; $x^2 + 9$ no se puede expresar así.
ErrorUsar los coeficientes en lugar de sus raíces: $4x^2 - 25 = (4x + 25)(4x - 25)$ .
Cómo corregirloBusca qué se eleva al cuadrado: $4x^2 = (2x)^2$ y $25 = 5^2$ . Queda $(2x + 5)(2x - 5)$ . Desarrolla para comprobar.
ErrorEquivocarse de signo: $x^2 - 6x + 9 = (x + 3)^2$ .
Cómo corregirloSi el doble producto es negativo, es el cuadrado de una diferencia: $(x - 3)^2$ .
ErrorDar por cuadrado perfecto un trinomio con el término independiente negativo, como $x^2 + 6x - 9$ .
Cómo corregirlo $-9$ no es el cuadrado de ningún número: el trinomio no es cuadrado perfecto.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Del polinomio al producto numérico
Expresa como un producto: a) $x^2 - 6x + 9$ b) $4x^2 - 25$

Resolución
a) Términos cuadrados: $x^2 = (x)^2$ y $9 = 3^2$ , así que $a = x$ , $b = 3$ . Doble producto: $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ ✔, y en el polinomio aparece con signo $-$ . $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ Comprobación: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ ✔

b) Es una resta de dos cuadrados: $4x^2 = (2x)^2$ y $25 = 5^2$ . $4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)$ Comprobación: $(2x + 5)(2x - 5) = 4x^2 - 25$ ✔
Ejemplo 2. El lado de un solar situación real (área)
Un solar cuadrado de Vallecas tiene un área de $x^2 + 10x + 25$ m². a) ¿Cuánto mide su lado? b) Si $x = 20$ , calcula el lado y el área, y comprueba que la expresión del área da lo mismo.

Resolución
a) $x^2 = (x)^2$ , $25 = 5^2$ y $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ ✔. Es un cuadrado perfecto: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$ El área de un cuadrado es lado al cuadrado, así que el lado mide $x + 5$ metros.

b) Con $x = 20$ : lado $= 20 + 5 = 25$ m; área $= 25^2 = 625$ m². Con la expresión: $20^2 + 10 \cdot 20 + 25 = 400 + 200 + 25 = 625$ m² ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Expresa como producto de dos binomios: a) $x^2 - 144$ b) $16x^2 - 1$ c) $16 - y^2$ d) $x^2 - 100$

Ver solución
a) $(x + 12)(x - 12)$ b) $(4x + 1)(4x - 1)$ c) $(4 + y)(4 - y)$ d) $(x + 10)(x - 10)$
Todas son restas de cuadrados, $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ : a) $a = x$ , $b = 12$ : $(x + 12)(x - 12)$ b) $a = 4x$ , $b = 1$ : $(4x + 1)(4x - 1)$ c) $a = 4$ , $b = y$ : $(4 + y)(4 - y)$ d) $a = x$ , $b = 10$ : $(x + 10)(x - 10)$
2. Media
Expresa como el cuadrado de un binomio: a) $x^2 + 8x + 16$ b) $x^2 - 14x + 49$ c) $4x^2 + 4x + 1$ d) $9x^2 - 30x + 25$

Ver solución
a) $(x + 4)^2$ b) $(x - 7)^2$ c) $(2x + 1)^2$ d) $(3x - 5)^2$
a) $a = x$ , $b = 4$ ; $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$ ✔ → $(x + 4)^2$ b) $a = x$ , $b = 7$ ; $2 \cdot x \cdot 7 = 14x$ , con signo $-$ → $(x - 7)^2$ c) $a = 2x$ , $b = 1$ ; $2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x$ ✔ → $(2x + 1)^2$ d) $a = 3x$ , $b = 5$ ; $2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$ , con signo $-$ → $(3x - 5)^2$
3. Media
¿Cuáles de estos trinomios son cuadrados perfectos? Escribe como cuadrado los que lo sean y explica por qué no lo son los demás. a) $x^2 + 12x + 36$ b) $x^2 + 6x + 36$ c) $25x^2 - 20x + 4$ d) $x^2 - 2x - 1$

Ver solución
a) Sí, $(x + 6)^2$ . b) No. c) Sí, $(5x - 2)^2$ . d) No.
a) $a = x$ , $b = 6$ , $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$ ✔ → $(x + 6)^2$ . b) $a = x$ , $b = 6$ , pero el doble producto sería $12x$ y hay $6x$ → no es cuadrado perfecto. c) $a = 5x$ , $b = 2$ , $2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x$ , con signo $-$ → $(5x - 2)^2$ . d) El término $-1$ es negativo y no es el cuadrado de ningún número → no es cuadrado perfecto.
4. Difícil
Expresa como producto: a) $x^4 - 25$ b) $\dfrac{x^2}{4} - 1$ c) $4x^2 - 12xy + 9y^2$

Ver solución
a) $(x^2 + 5)(x^2 - 5)$ b) $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)\left(\dfrac{x}{2} - 1\right)$ c) $(2x - 3y)^2$
a) $x^4 = (x^2)^2$ y $25 = 5^2$ : $x^4 - 25 = (x^2 + 5)(x^2 - 5)$ b) $\dfrac{x^2}{4} = \left(\dfrac{x}{2}\right)^2$ y $1 = 1^2$ : $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)\left(\dfrac{x}{2} - 1\right)$ c) $4x^2 = (2x)^2$ , $9y^2 = (3y)^2$ y $2 \cdot 2x \cdot 3y = 12xy$ , con signo $-$ : $(2x - 3y)^2$

Para practicar más

1. Fácil
Expresa como producto: a) $x^2 - 64$ b) $25x^2 - 4$ c) $1 - 36x^2$ d) $49x^2 - 81y^2$

Ver solución
a) $(x + 8)(x - 8)$ b) $(5x + 2)(5x - 2)$ c) $(1 + 6x)(1 - 6x)$ d) $(7x + 9y)(7x - 9y)$
a) $a = x$ , $b = 8$ : $(x + 8)(x - 8)$ b) $a = 5x$ , $b = 2$ : $(5x + 2)(5x - 2)$ c) $a = 1$ , $b = 6x$ : $(1 + 6x)(1 - 6x)$ d) $a = 7x$ , $b = 9y$ : $(7x + 9y)(7x - 9y)$
2. Media
Expresa como el cuadrado de un binomio: a) $x^2 + 20x + 100$ b) $x^2 - 18x + 81$ c) $16x^2 + 8x + 1$ d) $36x^2 - 12x + 1$

Ver solución
a) $(x + 10)^2$ b) $(x - 9)^2$ c) $(4x + 1)^2$ d) $(6x - 1)^2$
a) $2 \cdot x \cdot 10 = 20x$ → $(x + 10)^2$ b) $2 \cdot x \cdot 9 = 18x$ , signo $-$ → $(x - 9)^2$ c) $2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x$ → $(4x + 1)^2$ d) $2 \cdot 6x \cdot 1 = 12x$ , signo $-$ → $(6x - 1)^2$
3. Media
El área de un cuadrado es $9x^2 + 42x + 49$ cm². a) Halla la expresión de su lado. b) Si $x = 3$ cm, ¿cuánto miden el lado y el área? Comprueba el área con la expresión del enunciado.

Ver solución
a) $3x + 7$ cm. b) Lado 16 cm; área 256 cm².
a) $9x^2 = (3x)^2$ , $49 = 7^2$ y $2 \cdot 3x \cdot 7 = 42x$ ✔. Entonces $9x^2 + 42x + 49 = (3x + 7)^2$ y el lado mide $3x + 7$ cm. b) Lado: $3 \cdot 3 + 7 = 16$ cm; área: $16^2 = 256$ cm². Con la expresión: $9 \cdot 9 + 42 \cdot 3 + 49 = 81 + 126 + 49 = 256$ cm² ✔
4. Difícil
a) Calcula sin calculadora $52^2 - 48^2$ y $105^2 - 95^2$ escribiendo cada resta como un producto. b) Un rectángulo tiene un área de $x^2 - 121$ cm². Escribe el área como producto de dos binomios que puedan ser la base y la altura. Si $x = 15$ , ¿cuánto miden la base y la altura? Comprueba el área.

Ver solución
a) 400 y 2000. b) $(x + 11)(x - 11)$ ; para x = 15, 26 cm y 4 cm (104 cm²).
a) $52^2 - 48^2 = (52 + 48) \cdot (52 - 48) = 100 \cdot 4 = 400$ $105^2 - 95^2 = (105 + 95) \cdot (105 - 95) = 200 \cdot 10 = 2000$ b) $x^2 - 121 = (x + 11)(x - 11)$ : base $x + 11$ y altura $x - 11$ . Con $x = 15$ : base $26$ cm y altura $4$ cm; área $26 \cdot 4 = 104$ cm². Con la expresión: $15^2 - 121 = 225 - 121 = 104$ cm² ✔

Del polinomio al producto: identidades notables en sentido inverso