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Matemáticas 3.º ESO · Identidades notables

Identidades notables: simplificar, completar cuadrados y cálculo mental

Objetivo: Al terminar, sabrás simplificar expresiones con varias identidades notables, completar trinomios cuadrados perfectos y usar las identidades para calcular mentalmente.

Explicación

Más allá de desarrollar

1. Expresiones con varias identidades

Cuando aparecen varias identidades unidas por sumas y restas, desarrolla cada una entre paréntesis y quita después los paréntesis. Si delante hay un signo $-$ , cambia el signo de todos los términos:

$(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x$

2. Completar un cuadrado

¿Qué número hay que sumar a $x^2 + 6x$ para que sea un cuadrado perfecto? El término $6x$ tiene que ser el doble producto $2 \cdot x \cdot b$ , así que $b = 3$ y falta $b^2 = 9$ :

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

En general, a $x^2 + px$ le falta $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ . Esto permite escribir cualquier trinomio $x^2 + px + q$ como un cuadrado más un número, por ejemplo:

$x^2 + 6x + 2 = (x + 3)^2 - 7$

(se suma y se resta 9). Lo usarás al estudiar la función cuadrática.

3. Cálculo mental

Las identidades sirven para hacer cuentas de cabeza:

$101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$
$49 \cdot 51 = (50 - 1) \cdot (50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$

Puntos clave

Desarrolla cada identidad entre paréntesis antes de restar.
Para completar el cuadrado de $x^2 + px$ se suma $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ .
$x^2 + px + q$ se puede escribir como $\left(x + \dfrac{p}{2}\right)^2$ más o menos un número.
Para calcular mentalmente, escribe los números como $100 \pm a$ o como $(n + a)(n - a)$ .

Errores frecuentes

ErrorRestar una identidad sin paréntesis: $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x + 1$ .
Cómo corregirloCon paréntesis: $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)$ . El signo menos cambia los tres términos: $x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x$ .
ErrorPara completar $x^2 + 10x$ , sumar $10^2 = 100$ .
Cómo corregirloLo que falta es $b^2$ , con $2b = 10$ : $b = 5$ y falta $25$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Simplificar con tres identidades numérico
Simplifica $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 - (x + 2)(x - 2)$ y comprueba el resultado con $x = 3$ .

Resolución
Desarrollamos cada identidad entre paréntesis: $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 4)$ Quitamos paréntesis cambiando los signos de los que van detrás de un $-$ : $x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 - x^2 + 4 = -x^2 + 4x + 4$ Comprobación con $x = 3$ : expresión inicial, $4^2 - 2^2 - 5 \cdot 1 = 16 - 4 - 5 = 7$ ; resultado, $-9 + 12 + 4 = 7$ ✔
Ejemplo 2. Completar el cuadrado razonamiento algebraico
a) ¿Qué número hay que sumar a $x^2 + 10x$ para obtener un cuadrado perfecto? b) Escribe $x^2 + 10x + 7$ como un cuadrado más o menos un número.

Resolución
a) $10x = 2 \cdot x \cdot b$ , así que $b = 5$ . Falta $5^2 = 25$ : $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$ .

b) Sumamos y restamos 25: $x^2 + 10x + 7 = (x^2 + 10x + 25) - 25 + 7 = (x + 5)^2 - 18$ Comprobación: $(x + 5)^2 - 18 = x^2 + 10x + 25 - 18 = x^2 + 10x + 7$ ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Simplifica: a) $(2x - 3)^2 - (2x + 3)^2$ b) $(x + 5)(x - 5) - (x - 5)^2$

Ver solución
a) $-24x$ b) $10x - 50$
a) $(4x^2 - 12x + 9) - (4x^2 + 12x + 9) = 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 - 12x - 9 = -24x$ b) $(x^2 - 25) - (x^2 - 10x + 25) = x^2 - 25 - x^2 + 10x - 25 = 10x - 50$
2. Media
Completa para que sean cuadrados perfectos y escribe cada uno como el cuadrado de un binomio: a) $x^2 + 14x + \square$ b) $x^2 - 8x + \square$ c) $9x^2 + \square + 4$ d) $\square - 20x + 25$

Ver solución
a) 49, $(x + 7)^2$ b) 16, $(x - 4)^2$ c) $12x$ , $(3x + 2)^2$ (también vale $-12x$ , $(3x - 2)^2$ ) d) $4x^2$ , $(2x - 5)^2$
a) $2b = 14 \Rightarrow b = 7$ ; falta $49$ : $(x + 7)^2$ b) $2b = 8 \Rightarrow b = 4$ ; falta $16$ : $(x - 4)^2$ c) $9x^2 = (3x)^2$ y $4 = 2^2$ ; falta el doble producto $2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$ : $(3x + 2)^2$ . Con $-12x$ sería $(3x - 2)^2$ . d) $25 = 5^2$ y $20x = 2 \cdot a \cdot 5$ , así que $a = 2x$ y falta $(2x)^2 = 4x^2$ : $(2x - 5)^2$
3. Media
Calcula mentalmente usando identidades notables: a) $31^2$ b) $199^2$ c) $62 \cdot 58$ d) $1001 \cdot 999$

Ver solución
a) 961 b) 39 601 c) 3596 d) 999 999
a) $(30 + 1)^2 = 900 + 60 + 1 = 961$ b) $(200 - 1)^2 = 40\,000 - 400 + 1 = 39\,601$ c) $(60 + 2) \cdot (60 - 2) = 3600 - 4 = 3596$ d) $(1000 + 1) \cdot (1000 - 1) = 1\,000\,000 - 1 = 999\,999$

Para practicar más

1. Media
Simplifica: a) $3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1)$ b) $(x + y)^2 - (x - y)^2$

Ver solución
a) $x^2 - 12x + 14$ b) $4xy$
a) $3(x^2 - 4x + 4) - 2(x^2 - 1) = 3x^2 - 12x + 12 - 2x^2 + 2 = x^2 - 12x + 14$ b) $(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy$
2. Difícil
Escribe cada trinomio como el cuadrado de un binomio más o menos un número: a) $x^2 + 6x + 1$ b) $x^2 - 4x + 7$ c) $x^2 + 12x$

Ver solución
a) $(x + 3)^2 - 8$ b) $(x - 2)^2 + 3$ c) $(x + 6)^2 - 36$
a) Falta $3^2 = 9$ : $x^2 + 6x + 1 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 1 = (x + 3)^2 - 8$ b) Falta $2^2 = 4$ : $x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$ c) Falta $6^2 = 36$ : $x^2 + 12x = (x + 6)^2 - 36$
3. Difícil
a) Comprueba que $7 \cdot 9 + 1$ y $11 \cdot 13 + 1$ son cuadrados perfectos. b) Dos números impares consecutivos se pueden escribir como $2n - 1$ y $2n + 1$ . Demuestra con una identidad notable que su producto más 1 siempre es un cuadrado perfecto.

Ver solución
a) 64 = 8² y 144 = 12². b) $(2n - 1)(2n + 1) + 1 = 4n^2 = (2n)^2$
a) $7 \cdot 9 + 1 = 64 = 8^2$ ; $11 \cdot 13 + 1 = 144 = 12^2$ . b) $(2n - 1)(2n + 1) + 1 = (2n)^2 - 1 + 1 = 4n^2 = (2n)^2$ , que es el cuadrado del número par que hay entre los dos impares.