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Matemáticas 3.º ESO · Operaciones combinadas con polinomios

Operaciones combinadas con polinomios

Objetivo: Al terminar, sabrás simplificar expresiones con productos, sumas y restas de polinomios respetando la jerarquía de las operaciones y los signos.

Explicación

Jerarquía de las operaciones con polinomios

Con polinomios se sigue el mismo orden que con números:

Operaciones dentro de los paréntesis.
Potencias.
Multiplicaciones (y divisiones).
Sumas y restas.

Por eso, en una expresión como $2x \cdot (x - 3) + (x - 1)(x + 2)$ se hacen primero los dos productos y después se suman.

Cómo hacerlo sin errores

Haz cada producto por separado y escribe su resultado entre paréntesis.
Quita los paréntesis. Si delante hay un signo $-$ , cambia el signo de todos los términos del paréntesis: $-(x - 1)(x + 2) = -(x^2 + x - 2) = -x^2 - x + 2$
Agrupa los términos semejantes (los que tienen la misma parte literal) y ordena el resultado de mayor a menor grado.

Comprobar con un número

Si sustituyes $x$ por un número (por ejemplo, $x = 2$ ) en la expresión inicial y en el resultado, tienen que salir valores iguales. Si no salen iguales, hay un error.

Puntos clave

Primero productos, después sumas y restas.
Escribe el resultado de cada producto entre paréntesis antes de sumar o restar.
Un $-$ delante de un paréntesis cambia el signo de todos sus términos.
Solo se suman términos semejantes: $3x^2$ y $5x$ no se pueden juntar.
Comprueba sustituyendo $x$ por un número en la expresión y en el resultado.

Errores frecuentes

ErrorCambiar solo el signo del primer término: $-(x^2 + x - 2) = -x^2 + x - 2$ .
Cómo corregirloEl $-$ afecta a todo el paréntesis: $-(x^2 + x - 2) = -x^2 - x + 2$ .
ErrorSumar antes de multiplicar: $x + 2 \cdot (x - 1) = (x + 2)(x - 1)$ .
Cómo corregirloLa multiplicación va primero: $x + 2 \cdot (x - 1) = x + 2x - 2 = 3x - 2$ .
ErrorJuntar términos que no son semejantes: $3x^2 - 5x = -2x^2$ o $-2x$ .
Cómo corregirloSolo se suman los términos con la misma parte literal; $3x^2 - 5x$ ya no se puede simplificar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos productos y una suma numérico
Simplifica $2x \cdot (x - 3) + (x - 1)(x + 2)$ y comprueba el resultado con $x = 2$ .

Resolución
1. Hacemos cada producto por separado: $2x \cdot (x - 3) = 2x^2 - 6x \qquad (x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
2. Sumamos: $(2x^2 - 6x) + (x^2 + x - 2) = 2x^2 - 6x + x^2 + x - 2 = 3x^2 - 5x - 2$ Comprobación con $x = 2$ : expresión inicial, $4 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = -4 + 4 = 0$ ; resultado, $3 \cdot 4 - 10 - 2 = 0$ ✔
Ejemplo 2. La parcela con caseta situación real (áreas)
Una parcela rectangular mide $2x$ metros de ancho y $x + 5$ metros de largo. En ella se construye una caseta rectangular de $x$ metros por $x - 2$ metros. a) Escribe y simplifica la expresión del área de la parcela que queda libre. b) Calcula esa área para $x = 6$ de dos maneras.

Resolución
a) Área libre = área de la parcela − área de la caseta: $2x \cdot (x + 5) - x \cdot (x - 2) = (2x^2 + 10x) - (x^2 - 2x) = 2x^2 + 10x - x^2 + 2x = x^2 + 12x$ El área libre es $x^2 + 12x$ m².

b) Con el polinomio: $6^2 + 12 \cdot 6 = 36 + 72 = 108$ m². Con las medidas: la parcela mide $12$ m por $11$ m ( $132$ m²) y la caseta, $6$ m por $4$ m ( $24$ m²); $132 - 24 = 108$ m² ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Simplifica: a) $3x \cdot (x + 2) - 5x^2$ b) $(x + 3)(x - 1) + 4x$ c) $2(x^2 - 1) - x \cdot (x + 4)$

Ver solución
a) $-2x^2 + 6x$ b) $x^2 + 6x - 3$ c) $x^2 - 4x - 2$
a) $3x^2 + 6x - 5x^2 = -2x^2 + 6x$ b) $(x^2 - x + 3x - 3) + 4x = x^2 + 2x - 3 + 4x = x^2 + 6x - 3$ c) $(2x^2 - 2) - (x^2 + 4x) = 2x^2 - 2 - x^2 - 4x = x^2 - 4x - 2$
2. Media
Simplifica: a) $(x + 2)(x + 5) - (x + 1)(x + 3)$ b) $x \cdot (x^2 - 2) + (x^2 + 1)(x - 3)$

Ver solución
a) $3x + 7$ b) $2x^3 - 3x^2 - x - 3$
a) $(x^2 + 7x + 10) - (x^2 + 4x + 3) = x^2 + 7x + 10 - x^2 - 4x - 3 = 3x + 7$ b) $(x^3 - 2x) + (x^3 - 3x^2 + x - 3) = 2x^3 - 3x^2 - x - 3$
3. Media
Dados $P(x) = x^2 - 3$ , $Q(x) = 2x + 1$ y $R(x) = x - 4$ , calcula: a) $P(x) \cdot Q(x) - 3R(x)$ b) $P(x) + Q(x) \cdot R(x)$

Ver solución
a) $2x^3 + x^2 - 9x + 9$ b) $3x^2 - 7x - 7$
a) $P \cdot Q = (x^2 - 3)(2x + 1) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3$ ; $3R = 3x - 12$ . $(2x^3 + x^2 - 6x - 3) - (3x - 12) = 2x^3 + x^2 - 9x + 9$ b) $Q \cdot R = (2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 7x - 4$ . $(x^2 - 3) + (2x^2 - 7x - 4) = 3x^2 - 7x - 7$
4. Difícil
Un cine tiene dos salas. La sala A tiene $x$ filas con $x + 6$ butacas cada una; la sala B tiene $x - 2$ filas con $x + 10$ butacas cada una. a) Escribe y simplifica el número total de butacas de las dos salas. b) Escribe y simplifica cuántas butacas más tiene la sala A que la B. c) Si $x = 12$ , ¿qué sala tiene más butacas? Comprueba con los resultados de a) y b).

Ver solución
a) $2x^2 + 14x - 20$ b) $-2x + 20$ c) La sala B (220 frente a 216); total 436.
a) $x \cdot (x + 6) + (x - 2)(x + 10) = (x^2 + 6x) + (x^2 + 8x - 20) = 2x^2 + 14x - 20$ b) $(x^2 + 6x) - (x^2 + 8x - 20) = x^2 + 6x - x^2 - 8x + 20 = -2x + 20$ c) Sala A: $12 \cdot 18 = 216$ ; sala B: $10 \cdot 22 = 220$ . Tiene más la sala B. Con a): $2 \cdot 144 + 168 - 20 = 436 = 216 + 220$ ✔. Con b): $-24 + 20 = -4$ : la sala A tiene 4 butacas menos ✔

Para practicar más

1. Fácil
Simplifica: a) $4x \cdot (x - 1) + 2x^2$ b) $(x - 4)(x + 1) - 3x$ c) $5 - x \cdot (2x - 7)$

Ver solución
a) $6x^2 - 4x$ b) $x^2 - 6x - 4$ c) $-2x^2 + 7x + 5$
a) $4x^2 - 4x + 2x^2 = 6x^2 - 4x$ b) $(x^2 - 3x - 4) - 3x = x^2 - 6x - 4$ c) $5 - (2x^2 - 7x) = 5 - 2x^2 + 7x = -2x^2 + 7x + 5$
2. Media
Simplifica: a) $(2x + 1)(x - 3) + x \cdot (x + 5)$ b) $(x - 2)(x^2 + x) - x^3$ c) $(3x - 1)(x + 2) - 2(x^2 - 5)$

Ver solución
a) $3x^2 - 3$ b) $-x^2 - 2x$ c) $x^2 + 5x + 8$
a) $(2x^2 - 5x - 3) + (x^2 + 5x) = 3x^2 - 3$ b) $(x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x) - x^3 = (x^3 - x^2 - 2x) - x^3 = -x^2 - 2x$ c) $(3x^2 + 5x - 2) - (2x^2 - 10) = 3x^2 + 5x - 2 - 2x^2 + 10 = x^2 + 5x + 8$
3. Media
Dados $P(x) = 2x - 1$ , $Q(x) = x^2 + x$ y $R(x) = 3 - x$ , calcula: a) $P(x) \cdot R(x) + Q(x)$ b) $Q(x) \cdot R(x) - x \cdot P(x)$

Ver solución
a) $-x^2 + 8x - 3$ b) $-x^3 + 4x$
a) $P \cdot R = (2x - 1)(3 - x) = 6x - 2x^2 - 3 + x = -2x^2 + 7x - 3$ . $(-2x^2 + 7x - 3) + (x^2 + x) = -x^2 + 8x - 3$ b) $Q \cdot R = (x^2 + x)(3 - x) = 3x^2 - x^3 + 3x - x^2 = -x^3 + 2x^2 + 3x$ ; $x \cdot P = 2x^2 - x$ . $(-x^3 + 2x^2 + 3x) - (2x^2 - x) = -x^3 + 4x$
4. Media
Una biblioteca municipal tiene $x$ estanterías con $x + 15$ libros cada una. Recibe una donación de $2x$ cajas con $x - 3$ libros cada una. a) Escribe y simplifica el número total de libros después de la donación. b) Calcula ese número para $x = 20$ con el polinomio y compruébalo con los datos del enunciado.

Ver solución
a) $3x^2 + 9x$ b) 1380 libros.
a) $x \cdot (x + 15) + 2x \cdot (x - 3) = (x^2 + 15x) + (2x^2 - 6x) = 3x^2 + 9x$ b) $3 \cdot 400 + 9 \cdot 20 = 1200 + 180 = 1380$ libros. Con los datos: $20 \cdot 35 = 700$ libros en las estanterías y $40 \cdot 17 = 680$ en las cajas; $700 + 680 = 1380$ ✔