La regla de Ruffini

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorPoner $-2$ a la izquierda al dividir entre $x - 2$.

  Cómo corregirloEl divisor es $x - a$; para $x - 2$, $a = 2$. Se escribe el 2 tal cual.

• ErrorRestar en lugar de sumar en cada columna.

  Cómo corregirloEn Ruffini siempre se suma: el cambio de signo ya está hecho al usar $a$ en lugar de $-a$.

• ErrorDar el cociente con el mismo grado que el dividendo.

  Cómo corregirloSi el dividendo es de grado 3, el cociente es de grado 2: el primer coeficiente que baja es el de $x^2$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Paso a paso con la tabla de Ruffini numérico

   Divide $(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3) : (x - 3)$ por la regla de Ruffini.

   Resolución

   Coeficientes: $2, -3, -8, -3$; $a = 3$.

   • Bajamos el 2.
   • $2 \cdot 3 = 6$; $-3 + 6 = 3$.
   • $3 \cdot 3 = 9$; $-8 + 9 = 1$.
   • $1 \cdot 3 = 3$; $-3 + 3 = 0$.

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -3 & -8 & -3 \\ 3 & & 6 & 9 & 3 \\ \hline & 2 & 3 & 1 & \boxed{0} \end{array}$$

   $C(x) = 2x^2 + 3x + 1$ y $R = 0$: la división es exacta.

   Comprobación: $(x - 3)(2x^2 + 3x + 1) = 2x^3 + 3x^2 + x - 6x^2 - 9x - 3 = 2x^3 - 3x^2 - 8x - 3$ ✔

2. Ejemplo 2. Ruffini y división larga: el mismo resultado comparación de métodos

   Divide $(2x^3 - 5x^2 + 4x - 7) : (x - 3)$ de las dos formas: con el algoritmo de la división y con la regla de Ruffini. Compara.

   Resolución

   Algoritmo de la división:

   $$\begin{array}{rrrr|l} 2x^3 & -5x^2 & +4x & -7 & \underline{x - 3} \\ \underline{-2x^3} & \underline{+6x^2} & & & 2x^2 + x + 7 \\ & x^2 & +4x & -7 & \\ & \underline{-x^2} & \underline{+3x} & & \\ & & 7x & -7 & \\ & & \underline{-7x} & \underline{+21} & \\ & & & 14 & \end{array}$$

   Regla de Ruffini ($a = 3$):

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -5 & 4 & -7 \\ 3 & & 6 & 3 & 21 \\ \hline & 2 & 1 & 7 & \boxed{14} \end{array}$$

   Las dos dan $C(x) = 2x^2 + x + 7$ y $R = 14$. Fíjate: los números de la última fila de Ruffini ($2$, $1$, $7$) son los coeficientes del cociente de la división larga, y Ruffini se escribe mucho más rápido.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Divide por Ruffini $(x^2 + 3x - 5) : (x - 1)$.

   Ver solución

   $C(x) = x + 4$; $R = -1$

   $$\begin{array}{r|rrr} & 1 & 3 & -5 \\ 1 & & 1 & 4 \\ \hline & 1 & 4 & \boxed{-1} \end{array}$$ $C(x) = x + 4$, $R = -1$. Comprobación: $(x - 1)(x + 4) - 1 = x^2 + 3x - 4 - 1 = x^2 + 3x - 5$ ✔

2. 2. Fácil

   Divide por Ruffini $(x^3 - 2x^2 + 3x - 1) : (x - 2)$.

   Ver solución

   $C(x) = x^2 + 3$; $R = 5$

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & 3 & -1 \\ 2 & & 2 & 0 & 6 \\ \hline & 1 & 0 & 3 & \boxed{5} \end{array}$$ Los coeficientes del cociente son $1, 0, 3$: $C(x) = x^2 + 0x + 3 = x^2 + 3$. $R = 5$.

3. 3. Media

   Divide por Ruffini $(2x^3 + x^2 - 13x + 6) : (x - 2)$. ¿Es exacta la división? Escribe el dividendo como producto.

   Ver solución

   $C(x) = 2x^2 + 5x - 3$; $R = 0$. Sí: $2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x - 2)(2x^2 + 5x - 3)$

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 1 & -13 & 6 \\ 2 & & 4 & 10 & -6 \\ \hline & 2 & 5 & -3 & \boxed{0} \end{array}$$ $R = 0$: es exacta. $2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x - 2)(2x^2 + 5x - 3)$.

4. 4. Media

   Copia y completa la tabla de Ruffini de la división $(x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 2) : (x - 3)$. Escribe el cociente y el resto. $$\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -2 & 1 & -3 & 2 \\ 3 & & 3 & \square & 12 & \square \\ \hline & 1 & \square & 4 & \square & \boxed{\square} \end{array}$$

   Ver solución

   Huecos: 3, 27 (fila central); 1, 9, 29 (última fila). $C(x) = x^3 + x^2 + 4x + 9$; $R = 29$

   $$\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -2 & 1 & -3 & 2 \\ 3 & & 3 & 3 & 12 & 27 \\ \hline & 1 & 1 & 4 & 9 & \boxed{29} \end{array}$$ $C(x) = x^3 + x^2 + 4x + 9$ y $R = 29$.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Divide por Ruffini $(x^2 - 7x + 10) : (x - 5)$.

   Ver solución

   $C(x) = x - 2$; $R = 0$

   $$\begin{array}{r|rrr} & 1 & -7 & 10 \\ 5 & & 5 & -10 \\ \hline & 1 & -2 & \boxed{0} \end{array}$$ $C(x) = x - 2$, $R = 0$ (exacta).

2. 2. Fácil

   Divide por Ruffini $(3x^3 - 2x^2 + x + 4) : (x - 1)$ y comprueba el resultado.

   Ver solución

   $C(x) = 3x^2 + x + 2$; $R = 6$

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 3 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & & 3 & 1 & 2 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & \boxed{6} \end{array}$$ Comprobación: $(x - 1)(3x^2 + x + 2) + 6 = 3x^3 - 2x^2 + x - 2 + 6 = 3x^3 - 2x^2 + x + 4$ ✔

3. 3. Media

   Divide por Ruffini $(x^4 + x^3 - 5x^2 + 2x - 6) : (x - 2)$.

   Ver solución

   $C(x) = x^3 + 3x^2 + x + 4$; $R = 2$

   $$\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 1 & -5 & 2 & -6 \\ 2 & & 2 & 6 & 2 & 8 \\ \hline & 1 & 3 & 1 & 4 & \boxed{2} \end{array}$$ $C(x) = x^3 + 3x^2 + x + 4$, $R = 2$.

4. 4. Difícil

   El volumen de un contenedor con forma de prisma es $2x^3 - 9x^2 + 7x + 6$ m³ y su altura mide $x - 3$ metros. a) Usa la regla de Ruffini para hallar el área de la base. b) Comprueba el resultado con $x = 5$.

   Ver solución

   a) $2x^2 - 3x - 2$ m² b) Con $x = 5$: base 33 m², altura 2 m, volumen 66 m³.

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -9 & 7 & 6 \\ 3 & & 6 & -9 & -6 \\ \hline & 2 & -3 & -2 & \boxed{0} \end{array}$$ a) La división es exacta: el área de la base es $2x^2 - 3x - 2$ m². b) Con $x = 5$: base $50 - 15 - 2 = 33$ m², altura $2$ m, $33 \cdot 2 = 66$ m³. Con la expresión del volumen: $250 - 225 + 35 + 6 = 66$ m³ ✔