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Matemáticas 3.º ESO · Regla de Ruffini

Ruffini con polinomios incompletos, divisores x + a y fracciones

Objetivo: Al terminar, sabrás aplicar la regla de Ruffini cuando faltan términos en el dividendo, cuando el divisor es x + a y cuando aparecen fracciones.

Explicación

Tres situaciones nuevas

La regla de Ruffini funciona igual en todos los casos: bajar, multiplicar por $a$ y sumar. Solo hay que preparar bien la tabla.

1. El dividendo es incompleto: escribe ceros

En la primera fila tienen que estar todos los coeficientes, desde el grado mayor hasta el término independiente. Si falta un término, su coeficiente es 0:

$x^4 - 5 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 5$ → coeficientes $1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad -5$ .

2. El divisor es $x + a$ : el número va con el signo cambiado

Ruffini se aplica a divisores $x - a$ . Si el divisor es $x + 3$ , escríbelo como $x - (-3)$ : a la izquierda se pone $-3$ .

Divisor	Número que se escribe
$x - 2$	$2$
$x + 3$	$-3$
$x + \dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$

3. Números fraccionarios

Si $a$ o los coeficientes son fracciones, se hace exactamente igual, operando con fracciones. Por ejemplo, para dividir entre $x - \dfrac{1}{2}$ se multiplica cada vez por $\dfrac{1}{2}$ . Trabaja con fracciones (no con decimales) para que el resultado sea exacto.

En todos los casos, el último número es el resto y los demás son los coeficientes del cociente (que tiene un grado menos que el dividendo).

Puntos clave

Escribe un 0 por cada término que falte en el dividendo.
Para $x + a$ , el número que se escribe a la izquierda es $-a$ .
Con fracciones, opera con fracciones, no con decimales.
Si en el cociente sale un 0, ese término no aparece: $1, 0, 3$ es $x^2 + 3$ .
Comprueba con $D = d \cdot C + R$ .

Errores frecuentes

ErrorOlvidar los ceros: dividir $x^4 - 5$ escribiendo solo $1$ y $-5$ .
Cómo corregirloSaldría un cociente de grado 0, lo que es imposible. Con los ceros: $1, 0, 0, 0, -5$ .
ErrorEscribir $3$ a la izquierda al dividir entre $x + 3$ .
Cómo corregirlo $x + 3 = x - (-3)$ , así que se escribe $-3$ .
ErrorEquivocarse con los signos al multiplicar por un número negativo.
Cómo corregirloEscribe el producto entre paréntesis antes de sumar: $(-1) \cdot (-3) = 3$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dividendo incompleto y divisor x + 3 numérico
Divide $(x^4 - 81) : (x + 3)$ por la regla de Ruffini.

Resolución
Completamos con ceros: $1, 0, 0, 0, -81$ . El divisor es $x + 3 = x - (-3)$ , así que $a = -3$ .

$\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 0 & 0 & 0 & -81 \\ -3 & & -3 & 9 & -27 & 81 \\ \hline & 1 & -3 & 9 & -27 & \boxed{0} \end{array}$

$C(x) = x^3 - 3x^2 + 9x - 27$ y $R = 0$ .

Comprobación: $(x + 3)(x^3 - 3x^2 + 9x - 27) = x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 3x^3 - 9x^2 + 27x - 81 = x^4 - 81$ ✔
Ejemplo 2. Con fracciones numérico (fracciones)
Divide $(2x^3 + x - 3) : \left(x + \dfrac{1}{2}\right)$ por la regla de Ruffini.

Resolución
Coeficientes: $2, 0, 1, -3$ . Divisor $x + \dfrac{1}{2} = x - \left(-\dfrac{1}{2}\right)$ : $a = -\dfrac{1}{2}$ .
- Bajamos el 2.
- $2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$ ; $0 + (-1) = -1$ .
- $(-1) \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$ ; $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ .
- $\dfrac{3}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{4}$ ; $-3 - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{15}{4}$ .
$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 0 & 1 & -3 \\ -\frac{1}{2} & & -1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ \hline & 2 & -1 & \frac{3}{2} & \boxed{-\frac{15}{4}} \end{array}$

$C(x) = 2x^2 - x + \dfrac{3}{2}$ y $R = -\dfrac{15}{4}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Divide por Ruffini $(x^3 + 2x^2 - 4) : (x + 2)$ .

Ver solución
$C(x) = x^2$ ; $R = -4$
$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 2 & 0 & -4 \\ -2 & & -2 & 0 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & \boxed{-4} \end{array}$ Coeficientes $1, 2, 0, -4$ y $a = -2$ . Cociente $1, 0, 0$ : $C(x) = x^2$ ; $R = -4$ .
2. Media
Divide por Ruffini $(x^4 - 3x^2 + 2x) : (x + 3)$ .

Ver solución
$C(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 16$ ; $R = 48$
$\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 & 0 \\ -3 & & -3 & 9 & -18 & 48 \\ \hline & 1 & -3 & 6 & -16 & \boxed{48} \end{array}$ Coeficientes $1, 0, -3, 2, 0$ y $a = -3$ . $C(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 16$ ; $R = 48$ .
3. Media
Divide por Ruffini $(x^5 - 32) : (x - 2)$ . ¿Es exacta?

Ver solución
$C(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$ ; $R = 0$ : sí.
$\begin{array}{r|rrrrrr} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \\ 2 & & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 \\ \hline & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & \boxed{0} \end{array}$ $R = 0$ : es exacta. $C(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$ .
4. Difícil
Divide por Ruffini $(4x^3 - 2x^2 + x - 1) : \left(x - \dfrac{1}{2}\right)$ .

Ver solución
$C(x) = 4x^2 + 1$ ; $R = -\dfrac{1}{2}$
$\begin{array}{r|rrrr} & 4 & -2 & 1 & -1 \\ \frac{1}{2} & & 2 & 0 & \frac{1}{2} \\ \hline & 4 & 0 & 1 & \boxed{-\frac{1}{2}} \end{array}$ $a = \dfrac{1}{2}$ . Cociente $4, 0, 1$ : $C(x) = 4x^2 + 1$ ; $R = -\dfrac{1}{2}$ . Comprobación: $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(4x^2 + 1) - \dfrac{1}{2} = 4x^3 + x - 2x^2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 4x^3 - 2x^2 + x - 1$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Divide por Ruffini $(x^3 + 27) : (x + 3)$ .

Ver solución
$C(x) = x^2 - 3x + 9$ ; $R = 0$
$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & 0 & 27 \\ -3 & & -3 & 9 & -27 \\ \hline & 1 & -3 & 9 & \boxed{0} \end{array}$ Coeficientes $1, 0, 0, 27$ y $a = -3$ . $C(x) = x^2 - 3x + 9$ ; $R = 0$ (exacta).
2. Media
Divide por Ruffini $(2x^4 + 3x^3 - x + 5) : (x + 2)$ y comprueba el resultado.

Ver solución
$C(x) = 2x^3 - x^2 + 2x - 5$ ; $R = 15$
$\begin{array}{r|rrrrr} & 2 & 3 & 0 & -1 & 5 \\ -2 & & -4 & 2 & -4 & 10 \\ \hline & 2 & -1 & 2 & -5 & \boxed{15} \end{array}$ Comprobación: $(x + 2)(2x^3 - x^2 + 2x - 5) + 15 = 2x^4 + 3x^3 - x - 10 + 15 = 2x^4 + 3x^3 - x + 5$ ✔
3. Media
Divide por Ruffini $(x^4 - 5x^2 + 4) : (x + 1)$ . ¿Es exacta?

Ver solución
$C(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ ; $R = 0$ : sí.
$\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 \\ -1 & & -1 & 1 & 4 & -4 \\ \hline & 1 & -1 & -4 & 4 & \boxed{0} \end{array}$ Coeficientes $1, 0, -5, 0, 4$ y $a = -1$ . $C(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ ; $R = 0$ : es exacta.
4. Difícil
Divide por Ruffini $(3x^3 + 4x^2 + x + 2) : \left(x + \dfrac{1}{3}\right)$ .

Ver solución
$C(x) = 3x^2 + 3x$ ; $R = 2$
$\begin{array}{r|rrrr} & 3 & 4 & 1 & 2 \\ -\frac{1}{3} & & -1 & -1 & 0 \\ \hline & 3 & 3 & 0 & \boxed{2} \end{array}$ $a = -\dfrac{1}{3}$ . Cociente $3, 3, 0$ : $C(x) = 3x^2 + 3x$ ; $R = 2$ .