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Matemáticas 3.º ESO · División entera de polinomios. Comprobación

División entera de polinomios: divisor de grado 2 y comprobación

Objetivo: Al terminar, sabrás dividir polinomios entre divisores de grado 2, también cuando faltan términos, y comprobar el resultado con D = d · C + R.

Explicación

Dividir entre un polinomio de grado 2

El algoritmo es el mismo que con divisores de grado 1: dividir los primeros términos, multiplicar por el divisor, cambiar de signo y sumar, y repetir. Cambia cuándo se para:

Se para cuando lo que queda tiene grado menor que el del divisor. Si el divisor es de grado 2, el resto puede ser un número o un polinomio de grado 1, como $-5x + 6$ .
El grado del cociente es el grado del dividendo menos el del divisor.

Polinomios incompletos

Si al dividendo le falta algún término (por ejemplo, $2x^4 - x^2 + 3$ no tiene $x^3$ ni $x$ ), deja su hueco al escribirlo (o escribe $0x^3$ y $0x$ ). Así cada término del producto cae bajo su semejante.

Si al divisor le falta un término, como en $x^2 + 1$ , ten cuidado al multiplicar: $x^2 \cdot (x^2 + 1) = x^4 + x^2$ (no aparece $x^3$ ).

Comprobación

La división está bien hecha si se cumplen dos cosas:

$D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$ .
El grado de $R(x)$ es menor que el de $d(x)$ .

Por ejemplo, si al dividir $x^3 - x^2 + 2x + 1$ entre $x^2 + 1$ alguien obtiene $C = x - 1$ y $R = x + 2$ , comprobamos: $(x^2 + 1)(x - 1) + x + 2 = x^3 - x^2 + x - 1 + x + 2 = x^3 - x^2 + 2x + 1$ ✔ y el resto tiene grado 1 < 2 ✔.

Puntos clave

Con divisor de grado 2, el resto tiene grado 1 o 0.
Se para cuando lo que queda tiene menor grado que el divisor.
Deja huecos (o escribe ceros) para los términos que faltan en el dividendo.
Grado del cociente = grado del dividendo − grado del divisor.
Comprueba: $D = d \cdot C + R$ y grado de $R$ < grado de $d$ .

Errores frecuentes

ErrorParar demasiado pronto, cuando lo que queda aún tiene grado 2 o más.
Cómo corregirloCompara siempre el grado de lo que queda con el del divisor. Si es igual o mayor, hay que dar otro paso.
ErrorEscribir los términos del producto en columnas equivocadas cuando faltan términos.
Cómo corregirloDeja los huecos de los términos que faltan, o escribe $0x^3$ , $0x$ …, para que cada término quede bajo su semejante.
ErrorSeguir dividiendo $-5x : x^2$ y poner fracciones en el cociente.
Cómo corregirloSi lo que queda tiene grado menor que el divisor, ya es el resto: $R(x) = -5x + 6$ .
ErrorComprobar solo que $d \cdot C + R$ da el dividendo y no mirar el grado del resto.
Cómo corregirloSi el resto tiene grado mayor o igual que el divisor, la división no está terminada aunque la igualdad se cumpla.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Divisor de grado 2 y dividendo incompleto numérico
Divide $(2x^4 - x^2 + 3) : (x^2 + x - 1)$ e indica el cociente y el resto.

Resolución
Dejamos los huecos de $x^3$ y de $x$ en el dividendo.
1. $2x^4 : x^2 = 2x^2$ . $2x^2 \cdot (x^2 + x - 1) = 2x^4 + 2x^3 - 2x^2$ ; cambiado de signo y sumando: $-2x^3 + x^2 + 3$ .
2. $-2x^3 : x^2 = -2x$ . $-2x \cdot (x^2 + x - 1) = -2x^3 - 2x^2 + 2x$ ; cambiado de signo y sumando: $3x^2 - 2x + 3$ .
3. $3x^2 : x^2 = 3$ . $3 \cdot (x^2 + x - 1) = 3x^2 + 3x - 3$ ; cambiado de signo y sumando: $-5x + 6$ .
4. $-5x + 6$ tiene grado 1 < 2: es el resto.
$\begin{array}{rrrrr|l} 2x^4 & & -x^2 & & +3 & \underline{x^2 + x - 1} \\ \underline{-2x^4} & \underline{-2x^3} & \underline{+2x^2} & & & 2x^2 - 2x + 3 \\ & -2x^3 & +x^2 & & +3 & \\ & \underline{+2x^3} & \underline{+2x^2} & \underline{-2x} & & \\ & & 3x^2 & -2x & +3 & \\ & & \underline{-3x^2} & \underline{-3x} & \underline{+3} & \\ & & & -5x & +6 & \end{array}$

$C(x) = 2x^2 - 2x + 3$ y $R(x) = -5x + 6$ .
Ejemplo 2. Cuando faltan términos en los dos polinomios numérico (polinomios incompletos)
Divide $(x^4 - 2x^3 + 5x - 3) : (x^2 - 3)$ y comprueba el resultado.

Resolución
Al dividendo le falta $x^2$ y al divisor le falta $x$ . Al multiplicar por $x^2 - 3$ solo salen dos términos, que van a columnas separadas:
1. $x^4 : x^2 = x^2$ ; $x^2 \cdot (x^2 - 3) = x^4 - 3x^2$ → escribimos $-x^4 + 3x^2$ (en la columna de $x^2$ , que estaba vacía).
2. $-2x^3 : x^2 = -2x$ ; $-2x \cdot (x^2 - 3) = -2x^3 + 6x$ → escribimos $+2x^3 - 6x$ .
3. $3x^2 : x^2 = 3$ ; $3 \cdot (x^2 - 3) = 3x^2 - 9$ → escribimos $-3x^2 + 9$ .
$\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & -2x^3 & & +5x & -3 & \underline{x^2 - 3} \\ \underline{-x^4} & & \underline{+3x^2} & & & x^2 - 2x + 3 \\ & -2x^3 & +3x^2 & +5x & -3 & \\ & \underline{+2x^3} & & \underline{-6x} & & \\ & & 3x^2 & -x & -3 & \\ & & \underline{-3x^2} & & \underline{+9} & \\ & & & -x & +6 & \end{array}$

$C(x) = x^2 - 2x + 3$ y $R(x) = -x + 6$ .

Comprobación: $(x^2 - 3)(x^2 - 2x + 3) + (-x + 6) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 3x^2 + 6x - 9 - x + 6 = x^4 - 2x^3 + 5x - 3$ ✔
Ejemplo 3. La lona de un edificio situación real (área)
Una lona publicitaria rectangular que cubre la fachada de un edificio de la Gran Vía tiene un área de $x^4 - 1$ m², y su base mide $x^2 + 1$ metros. a) ¿Cuánto mide su altura? b) Comprueba el resultado con $x = 3$ .

Resolución
a) Altura = área : base. Dejamos los huecos de $x^3$ , $x^2$ y $x$ :

$\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & & & & -1 & \underline{x^2 + 1} \\ \underline{-x^4} & & \underline{-x^2} & & & x^2 - 1 \\ & & -x^2 & & -1 & \\ & & \underline{+x^2} & & \underline{+1} & \\ & & & & 0 & \end{array}$

La división es exacta: la altura mide $x^2 - 1$ metros.

b) Con $x = 3$ : base $10$ m, altura $8$ m, y $10 \cdot 8 = 80$ m². Con la expresión: $3^4 - 1 = 81 - 1 = 80$ m² ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Divide $(x^3 + 2x^2 + 3x + 4) : (x^2 + 1)$ e indica el cociente y el resto.

Ver solución
$C(x) = x + 2$ ; $R(x) = 2x + 2$
$\begin{array}{rrrr|l} x^3 & +2x^2 & +3x & +4 & \underline{x^2 + 1} \\ \underline{-x^3} & & \underline{-x} & & x + 2 \\ & 2x^2 & +2x & +4 & \\ & \underline{-2x^2} & & \underline{-2} & \\ & & 2x & +2 & \end{array}$
2. Media
Divide $(x^4 - 3x^2 + 2x - 1) : (x^2 - x + 1)$ y comprueba el resultado.

Ver solución
$C(x) = x^2 + x - 3$ ; $R(x) = -2x + 2$
$\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & & -3x^2 & +2x & -1 & \underline{x^2 - x + 1} \\ \underline{-x^4} & \underline{+x^3} & \underline{-x^2} & & & x^2 + x - 3 \\ & x^3 & -4x^2 & +2x & -1 & \\ & \underline{-x^3} & \underline{+x^2} & \underline{-x} & & \\ & & -3x^2 & +x & -1 & \\ & & \underline{+3x^2} & \underline{-3x} & \underline{+3} & \\ & & & -2x & +2 & \end{array}$ Comprobación: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x - 3) + (-2x + 2) = x^4 - 3x^2 + 4x - 3 - 2x + 2 = x^4 - 3x^2 + 2x - 1$ ✔
3. Media
Divide $(2x^3 - 7x + 5) : (x^2 - 2x)$ .

Ver solución
$C(x) = 2x + 4$ ; $R(x) = x + 5$
$\begin{array}{rrrr|l} 2x^3 & & -7x & +5 & \underline{x^2 - 2x} \\ \underline{-2x^3} & \underline{+4x^2} & & & 2x + 4 \\ & 4x^2 & -7x & +5 & \\ & \underline{-4x^2} & \underline{+8x} & & \\ & & x & +5 & \end{array}$ Comprobación: $(x^2 - 2x)(2x + 4) + x + 5 = 2x^3 - 8x + x + 5 = 2x^3 - 7x + 5$ ✔
4. Media
Al dividir $x^4 + x^3 - x + 2$ entre $x^2 + 2$ , Hugo dice que el cociente es $x^2 + x + 2$ y el resto, $-3x - 2$ . a) Comprueba con $D = d \cdot C + R$ si tiene razón. b) Haz la división correctamente.

Ver solución
a) No: $d \cdot C + R = x^4 + x^3 + 4x^2 - x + 2$ . b) $C(x) = x^2 + x - 2$ ; $R(x) = -3x + 6$
a) $(x^2 + 2)(x^2 + x + 2) + (-3x - 2) = x^4 + x^3 + 4x^2 + 2x + 4 - 3x - 2 = x^4 + x^3 + 4x^2 - x + 2$ , que no es el dividendo (sobra $4x^2$ ). Hugo se ha equivocado. b) $\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & +x^3 & & -x & +2 & \underline{x^2 + 2} \\ \underline{-x^4} & & \underline{-2x^2} & & & x^2 + x - 2 \\ & x^3 & -2x^2 & -x & +2 & \\ & \underline{-x^3} & & \underline{-2x} & & \\ & & -2x^2 & -3x & +2 & \\ & & \underline{+2x^2} & & \underline{+4} & \\ & & & -3x & +6 & \end{array}$ Comprobación: $(x^2 + 2)(x^2 + x - 2) + (-3x + 6) = x^4 + x^3 + 2x - 4 - 3x + 6 = x^4 + x^3 - x + 2$ ✔
5. Difícil
Divide $(6x^4 + x^3 - 2x^2 + 4) : (2x^2 + x - 1)$ .

Ver solución
$C(x) = 3x^2 - x + 1$ ; $R(x) = -2x + 5$
$\begin{array}{rrrrr|l} 6x^4 & +x^3 & -2x^2 & & +4 & \underline{2x^2 + x - 1} \\ \underline{-6x^4} & \underline{-3x^3} & \underline{+3x^2} & & & 3x^2 - x + 1 \\ & -2x^3 & +x^2 & & +4 & \\ & \underline{+2x^3} & \underline{+x^2} & \underline{-x} & & \\ & & 2x^2 & -x & +4 & \\ & & \underline{-2x^2} & \underline{-x} & \underline{+1} & \\ & & & -2x & +5 & \end{array}$ Comprobación: $(2x^2 + x - 1)(3x^2 - x + 1) + (-2x + 5) = 6x^4 + x^3 - 2x^2 + 2x - 1 - 2x + 5 = 6x^4 + x^3 - 2x^2 + 4$ ✔
6. Media
Responde sin hacer ninguna división: a) Si divides un polinomio de grado 5 entre otro de grado 2, ¿qué grado tiene el cociente? ¿Qué grado puede tener, como máximo, el resto? b) Al dividir un polinomio entre $x^2 - 4$ , ¿puede salir de resto $x^2 + 1$ ? ¿Y $3x - 1$ ? ¿Por qué?

Ver solución
a) Grado 3; el resto, como máximo grado 1. b) $x^2 + 1$ no; $3x - 1$ sí.
a) Grado del cociente: $5 - 2 = 3$ . El resto tiene grado menor que 2: como máximo, grado 1. b) $x^2 + 1$ tiene grado 2, igual que el divisor: aún se podría seguir dividiendo, así que no puede ser el resto. $3x - 1$ tiene grado 1 < 2: sí puede serlo.

Para practicar más

1. Fácil
Divide $(x^3 + x^2 + x + 1) : (x^2 + 1)$ . ¿Es exacta?

Ver solución
$C(x) = x + 1$ ; $R = 0$ : sí, es exacta.
$\begin{array}{rrrr|l} x^3 & +x^2 & +x & +1 & \underline{x^2 + 1} \\ \underline{-x^3} & & \underline{-x} & & x + 1 \\ & x^2 & & +1 & \\ & \underline{-x^2} & & \underline{-1} & \\ & & & 0 & \end{array}$ El resto es 0: $x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1)$ .
2. Media
Divide $(3x^4 - 2x^3 + x - 4) : (x^2 - x)$ y comprueba el resultado.

Ver solución
$C(x) = 3x^2 + x + 1$ ; $R(x) = 2x - 4$
$\begin{array}{rrrrr|l} 3x^4 & -2x^3 & & +x & -4 & \underline{x^2 - x} \\ \underline{-3x^4} & \underline{+3x^3} & & & & 3x^2 + x + 1 \\ & x^3 & & +x & -4 & \\ & \underline{-x^3} & \underline{+x^2} & & & \\ & & x^2 & +x & -4 & \\ & & \underline{-x^2} & \underline{+x} & & \\ & & & 2x & -4 & \end{array}$ Comprobación: $(x^2 - x)(3x^2 + x + 1) + 2x - 4 = 3x^4 - 2x^3 - x + 2x - 4 = 3x^4 - 2x^3 + x - 4$ ✔
3. Media
Divide $(x^5 - 1) : (x^2 - 1)$ .

Ver solución
$C(x) = x^3 + x$ ; $R(x) = x - 1$
$\begin{array}{rrrrrr|l} x^5 & & & & & -1 & \underline{x^2 - 1} \\ \underline{-x^5} & & \underline{+x^3} & & & & x^3 + x \\ & & x^3 & & & -1 & \\ & & \underline{-x^3} & & \underline{+x} & & \\ & & & & x & -1 & \end{array}$ Comprobación: $(x^2 - 1)(x^3 + x) + x - 1 = x^5 - x + x - 1 = x^5 - 1$ ✔
4. Media
Al dividir $2x^4 + 3x^2 - x + 1$ entre $x^2 - x + 2$ , Irene obtiene cociente $2x^2 + 2x + 1$ y resto $-4x - 1$ . Comprueba, sin repetir la división, si el resultado es correcto.

Ver solución
Es correcto: $d \cdot C + R = D$ y el resto tiene grado 1 < 2.
$(x^2 - x + 2)(2x^2 + 2x + 1) = 2x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x^3 - 2x^2 - x + 4x^2 + 4x + 2 = 2x^4 + 3x^2 + 3x + 2$ Sumando el resto: $2x^4 + 3x^2 + 3x + 2 - 4x - 1 = 2x^4 + 3x^2 - x + 1$ ✔ Además, el resto tiene grado 1, menor que el del divisor ✔. La división es correcta.
5. Difícil
Una fábrica de dulces de Getafe tiene $x^4 + 5x^2 + 8$ caramelos y los envasa en bolsas de $x^2 + 3$ caramelos cada una. a) Haz la división: ¿cuántas bolsas llena y cuántos caramelos sobran? b) Comprueba el resultado con $x = 10$ .

Ver solución
a) $x^2 + 2$ bolsas y sobran 2 caramelos. b) 10 508 caramelos, 102 bolsas de 103 y sobran 2.
$\begin{array}{rrrrr|l} x^4 & & +5x^2 & & +8 & \underline{x^2 + 3} \\ \underline{-x^4} & & \underline{-3x^2} & & & x^2 + 2 \\ & & 2x^2 & & +8 & \\ & & \underline{-2x^2} & & \underline{-6} & \\ & & & & 2 & \end{array}$ a) Llena $x^2 + 2$ bolsas y sobran $2$ caramelos. b) Con $x = 10$ : $10\,000 + 500 + 8 = 10\,508$ caramelos; bolsas de $103$ caramelos; $102$ bolsas. $103 \cdot 102 + 2 = 10\,506 + 2 = 10\,508$ ✔