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Explicación

Recuerda: el valor numérico

El valor numérico de un polinomio $P(x)$ para $x = a$ es el número que se obtiene al sustituir $x$ por $a$ . Se escribe $P(a)$ . Por ejemplo, si $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3$ : $P(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 3 = 16 - 20 + 3 = -1$

El teorema del resto

El resto de la división de un polinomio $P(x)$ entre $x - a$ es igual a $P(a)$ .

Así, el resto de $(2x^3 - 5x^2 + 3) : (x - 2)$ es $P(2) = -1$ . Lo comprobamos con Ruffini:

$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -5 & 0 & 3 \\ 2 & & 4 & -2 & -4 \\ \hline & 2 & -1 & -2 & \boxed{-1} \end{array}$

¿Por qué funciona?

Al dividir $P(x)$ entre $x - a$ se cumple $P(x) = (x - a) \cdot C(x) + R$ , y el resto $R$ es un número. Si sustituimos $x$ por $a$ , el paréntesis vale $a - a = 0$ : $P(a) = 0 \cdot C(a) + R = R$

Cuidado con el signo

Para un divisor $x + a$ , el número que se sustituye es $-a$ , porque $x + a = x - (-a)$ :

Divisor	Resto
$x - 3$	$P(3)$
$x + 1$	$P(-1)$
$x$	$P(0)$

¿Para qué sirve?

Para conocer el resto sin hacer la división, y en especial con polinomios de grado alto o con muchos términos que faltan. Además, mirando la gráfica de $y = P(x)$ , el resto de dividir entre $x - a$ es la altura de la gráfica en $x = a$ .

Puntos clave

El resto de $P(x) : (x - a)$ es $P(a)$ .
Para $x + a$ se calcula $P(-a)$ .
Se justifica sustituyendo $x = a$ en $P(x) = (x - a) \cdot C(x) + R$ .
Solo sirve para divisores de la forma $x - a$ (o $x + a$ ).
El teorema da el resto, no el cociente; para el cociente hace falta Ruffini.
En la gráfica de $y = P(x)$ , $P(a)$ es la altura del punto de abscisa $a$ .

Errores frecuentes

ErrorCalcular $P(1)$ para el resto de dividir entre $x + 1$ .
Cómo corregirlo $x + 1 = x - (-1)$ : el resto es $P(-1)$ . Pregúntate: ¿qué valor de $x$ anula el divisor?
ErrorEquivocarse con las potencias de números negativos: $(-1)^4 = -1$ .
Cómo corregirloPotencia par de un negativo, positiva: $(-1)^4 = 1$ ; impar, negativa: $(-1)^5 = -1$ . Escribe siempre el paréntesis.
ErrorUsar el teorema del resto para divisores como $x^2 + 1$ o $2x - 1$ sin adaptarlo.
Cómo corregirloEl teorema, tal como lo estudiamos, es para divisores $x - a$ . Para otros divisores, haz la división.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El resto sin dividir numérico
Calcula el resto de $(x^5 - 3x + 2) : (x + 1)$ sin hacer la división y compruébalo con la regla de Ruffini.

Resolución
El divisor es $x + 1 = x - (-1)$ , así que el resto es $P(-1)$ : $P(-1) = (-1)^5 - 3 \cdot (-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ Comprobación con Ruffini (coeficientes $1, 0, 0, 0, -3, 2$ ; $a = -1$ ):

$\begin{array}{r|rrrrrr} & 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2 \\ -1 & & -1 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ \hline & 1 & -1 & 1 & -1 & -2 & \boxed{4} \end{array}$

El resto es $4$ en los dos casos ✔. Con el teorema hemos hecho una sola cuenta.
Ejemplo 2. Restos en la gráfica gráfico
La gráfica muestra el polinomio $P(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ . a) Calcula $P(-2)$ , $P(-1)$ , $P(0)$ , $P(1)$ y $P(2)$ y localiza esos puntos en la gráfica. b) Sin dividir, ¿qué resto se obtiene al dividir $P(x)$ entre $x + 2$ , $x + 1$ , $x$ , $x - 1$ y $x - 2$ ? c) ¿En qué puntos corta la gráfica al eje $X$ ? ¿Qué tienen en común las divisiones del apartado b) que corresponden a esos puntos?

Resolución
a) $P(-2) = -8 - 4 + 8 + 4 = 0$ ; $P(-1) = -1 - 1 + 4 + 4 = 6$ ; $P(0) = 4$ ; $P(1) = 1 - 1 - 4 + 4 = 0$ ; $P(2) = 8 - 4 - 8 + 4 = 0$ . En la gráfica son los puntos $(-2, 0)$ , $(-1, 6)$ , $(0, 4)$ , $(1, 0)$ y $(2, 0)$ .

b) Por el teorema del resto:

Divisor $x + 2$ $x + 1$ $x$ $x - 1$ $x - 2$

Resto $P(-2) = 0$ $P(-1) = 6$ $P(0) = 4$ $P(1) = 0$ $P(2) = 0$

c) Corta al eje $X$ en $x = -2$ , $x = 1$ y $x = 2$ , donde la altura es 0. Las divisiones entre $x + 2$ , $x - 1$ y $x - 2$ tienen resto 0: son exactas.

Divisor	$x + 2$	$x + 1$	$x$	$x - 1$	$x - 2$
Resto	$P(-2) = 0$	$P(-1) = 6$	$P(0) = 4$	$P(1) = 0$	$P(2) = 0$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Sin hacer la división, calcula el resto de dividir $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$ entre: a) $x - 1$ b) $x + 1$ c) $x - 2$

Ver solución
a) 5 b) 5 c) 17
a) $P(1) = 1 + 2 - 1 + 3 = 5$ b) $P(-1) = -1 + 2 + 1 + 3 = 5$ c) $P(2) = 8 + 8 - 2 + 3 = 17$
2. Fácil
Calcula el resto de estas divisiones sin hacerlas: a) $(x^4 - 2x^2 + 5) : (x + 2)$ b) $(x^6 - 1) : (x - 1)$ c) $(2x^3 + x - 7) : (x - 3)$

Ver solución
a) 13 b) 0 c) 50
a) $P(-2) = 16 - 8 + 5 = 13$ b) $P(1) = 1 - 1 = 0$ (la división es exacta) c) $P(3) = 54 + 3 - 7 = 50$
3. Media
Calcula el resto de $(x^3 - 5x^2 + 2x + 8) : (x - 4)$ con el teorema del resto y comprueba el resultado con la regla de Ruffini. ¿Es exacta la división?

Ver solución
Resto 0; sí, es exacta.
$P(4) = 64 - 80 + 8 + 8 = 0$ .

$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -5 & 2 & 8 \\ 4 & & 4 & -4 & -8 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & \boxed{0} \end{array}$

Las dos formas dan resto 0: la división es exacta y el cociente es $x^2 - x - 2$ .
4. Difícil
La gráfica corresponde a un polinomio $Q(x)$ . a) Sin hacer cuentas, lee en la gráfica el resto de dividir $Q(x)$ entre $x - 1$ , entre $x + 1$ , entre $x - 3$ y entre $x$ . b) ¿Entre cuáles de los binomios $x - 2$ , $x - 1$ y $x + 1$ es exacta la división? c) El polinomio es $Q(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . Comprueba con el teorema del resto tus respuestas de a).

Ver solución
a) 2, 0, 4 y 4. b) Entre $x - 2$ y $x + 1$ . c) $Q(1) = 2$ , $Q(-1) = 0$ , $Q(3) = 4$ , $Q(0) = 4$ .
a) El resto de dividir entre $x - a$ es la altura de la gráfica en $x = a$ : $Q(1) = 2$ , $Q(-1) = 0$ , $Q(3) = 4$ y $Q(0) = 4$ . b) La gráfica corta (o toca) el eje $X$ en $x = -1$ y $x = 2$ : las divisiones entre $x + 1$ y $x - 2$ son exactas. Entre $x - 1$ no, porque el resto es 2. c) $Q(1) = 1 - 3 + 4 = 2$ ✔; $Q(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$ ✔; $Q(3) = 27 - 27 + 4 = 4$ ✔; $Q(0) = 4$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula, sin dividir, el resto de: a) $(x^3 - 4x + 1) : (x - 2)$ b) $(x^3 - 4x + 1) : (x + 3)$ c) $(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) : (x + 1)$

Ver solución
a) 1 b) −14 c) 1
a) $P(2) = 8 - 8 + 1 = 1$ b) $P(-3) = -27 + 12 + 1 = -14$ c) $P(-1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$
2. Media
Calcula el resto de dividir $x^7 - 2x^4 + 3$ entre $x - 1$ y entre $x + 1$ . ¿Alguna de las dos divisiones es exacta?

Ver solución
Entre $x - 1$ : 2. Entre $x + 1$ : 0, que es exacta.
Entre $x - 1$ : $P(1) = 1 - 2 + 3 = 2$ . Entre $x + 1$ : $P(-1) = (-1)^7 - 2 \cdot (-1)^4 + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$ . Esta es exacta.
3. Media
Calcula el resto de $(3x^3 + 2x^2 - 7x + 2) : (x + 2)$ con el teorema del resto y compruébalo con Ruffini.

Ver solución
Resto 0 (exacta).
$P(-2) = 3 \cdot (-8) + 2 \cdot 4 - 7 \cdot (-2) + 2 = -24 + 8 + 14 + 2 = 0$

$\begin{array}{r|rrrr} & 3 & 2 & -7 & 2 \\ -2 & & -6 & 8 & -2 \\ \hline & 3 & -4 & 1 & \boxed{0} \end{array}$

Resto 0 en los dos casos: la división es exacta y el cociente es $3x^2 - 4x + 1$ .
4. Media
Sin hacer ninguna división, ordena de menor a mayor los restos de dividir $P(x) = 2x^3 - x^2 + 4$ entre $x - 1$ , entre $x + 1$ y entre $x - 2$ .

Ver solución
Entre $x + 1$ (resto 1) < entre $x - 1$ (resto 5) < entre $x - 2$ (resto 16).
$P(1) = 2 - 1 + 4 = 5$ ; $P(-1) = -2 - 1 + 4 = 1$ ; $P(2) = 16 - 4 + 4 = 16$ . De menor a mayor: entre $x + 1$ (resto 1), entre $x - 1$ (resto 5) y entre $x - 2$ (resto 16).