Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U4 · Polinomios y fracciones algebraicas

Matemáticas 3.º ESO · Teorema del resto

El teorema del factor: divisibilidad y parámetros

Objetivo: Al terminar, sabrás decidir si x − a es un factor de un polinomio sin dividir y hallar un coeficiente desconocido para que una división sea exacta o tenga un resto dado.

Explicación

El teorema del factor

Por el teorema del resto, al dividir $P(x)$ entre $x - a$ el resto es $P(a)$ . Por tanto:

Si $P(a) = 0$ , la división es exacta y $P(x) = (x - a) \cdot C(x)$ . Decimos que $P(x)$ es divisible entre $x - a$ , o que $x - a$ es un factor de $P(x)$ .
Si $P(a) \neq 0$ , la división no es exacta y $x - a$ no es factor de $P(x)$ .

Teorema del factor: $x - a$ es un factor de $P(x)$ si y solo si $P(a) = 0$ .

Un número $a$ que cumple $P(a) = 0$ se llama raíz de $P(x)$ . Si conocemos una raíz, con Ruffini obtenemos el otro factor $C(x)$ .

Problemas con un parámetro

A veces un coeficiente del polinomio es desconocido (una letra como $m$ o $k$ ) y hay que hallarlo para que se cumpla una condición. El método:

Traduce la condición a una ecuación:
- « $P(x)$ es divisible entre $x - a$ » → $P(a) = 0$ .
- «el resto de dividir $P(x)$ entre $x - a$ es $r$ » → $P(a) = r$ .
Calcula $P(a)$ dejando la letra como está.
Resuelve la ecuación (de primer grado) que resulta.
Comprueba con Ruffini o sustituyendo el valor obtenido.

Puntos clave

$x - a$ es factor de $P(x)$ si y solo si $P(a) = 0$ .
Si $P(a) = 0$ , entonces $P(x) = (x - a) \cdot C(x)$ , y $C(x)$ se obtiene con Ruffini.
«Divisible entre $x - a$ » se traduce en $P(a) = 0$ ; «resto $r$ », en $P(a) = r$ .
Para $x + a$ , la condición se escribe con $P(-a)$ .
Comprueba siempre el valor del parámetro.

Errores frecuentes

ErrorIgualar a 0 cuando el enunciado pide un resto distinto de 0.
Cómo corregirloSi piden que el resto sea 9, la ecuación es $P(a) = 9$ , no $P(a) = 0$ .
ErrorSustituir mal el valor cuando hay un parámetro: con $x = 2$ , escribir $mx = m2$ y luego $m + 2$ .
Cómo corregirloCon $x = 2$ , $m \cdot x$ se convierte en $2m$ : un número por la letra.
ErrorDecir que $x + 3$ es factor porque $P(3) = 0$ .
Cómo corregirloPara el factor $x + 3$ hay que calcular $P(-3)$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Es un factor? numérico
a) ¿Es $x - 3$ un factor de $P(x) = x^3 - 27$ ? En caso afirmativo, escribe $P(x)$ como producto. b) ¿Es $x + 3$ un factor de $P(x)$ ?

Resolución
a) $P(3) = 27 - 27 = 0$ , así que sí: $x - 3$ es un factor. Con Ruffini obtenemos el otro factor:

$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & 0 & -27 \\ 3 & & 3 & 9 & 27 \\ \hline & 1 & 3 & 9 & \boxed{0} \end{array}$

$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ .

b) $P(-3) = -27 - 27 = -54 \neq 0$ , así que $x + 3$ no es un factor.
Ejemplo 2. Hallar un parámetro numérico (parámetro)
a) Halla $m$ para que $x^3 + mx - 4$ sea divisible entre $x - 2$ . b) Halla $k$ para que el resto de dividir $2x^3 + kx^2 - x + 5$ entre $x + 1$ sea 3.

Resolución
a) Divisible entre $x - 2$ → $P(2) = 0$ : $2^3 + m \cdot 2 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; 8 + 2m - 4 = 0 \;\Rightarrow\; 2m = -4 \;\Rightarrow\; m = -2$ Comprobación con Ruffini para $x^3 - 2x - 4$ :

$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -2 & -4 \\ 2 & & 2 & 4 & 4 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & \boxed{0} \end{array}$

Resto 0 ✔.

b) Resto 3 al dividir entre $x + 1$ → $P(-1) = 3$ : $2 \cdot (-1)^3 + k \cdot (-1)^2 - (-1) + 5 = 3 \;\Rightarrow\; -2 + k + 1 + 5 = 3 \;\Rightarrow\; k + 4 = 3 \;\Rightarrow\; k = -1$ Comprobación: con $k = -1$ , $P(-1) = -2 - 1 + 1 + 5 = 3$ ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Sin dividir, averigua si la división es exacta: a) $(x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 2)$ b) $(x^4 + 16) : (x + 2)$ c) $(x^3 + 1) : (x + 1)$

Ver solución
a) Sí b) No (resto 32) c) Sí
a) $P(2) = 8 - 8 - 2 + 2 = 0$ → exacta: $x - 2$ es factor. b) $P(-2) = 16 + 16 = 32 \neq 0$ → no es exacta. c) $P(-1) = -1 + 1 = 0$ → exacta: $x + 1$ es factor.
2. Media
Halla $m$ para que $x^3 - 3x^2 + mx + 6$ sea divisible entre $x - 1$ . Comprueba el resultado con Ruffini.

Ver solución
$m = -4$
$P(1) = 0$ : $1 - 3 + m + 6 = 0 \;\Rightarrow\; m + 4 = 0 \;\Rightarrow\; m = -4$ . Comprobación con $x^3 - 3x^2 - 4x + 6$ :

$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -3 & -4 & 6 \\ 1 & & 1 & -2 & -6 \\ \hline & 1 & -2 & -6 & \boxed{0} \end{array}$
3. Media
Halla $k$ para que el resto de dividir $x^4 + kx^2 - 3$ entre $x + 2$ sea 9.

Ver solución
$k = -1$
$P(-2) = 9$ : $16 + 4k - 3 = 9 \;\Rightarrow\; 4k = -4 \;\Rightarrow\; k = -1$ . Comprobación: $P(-2) = 16 - 4 - 3 = 9$ ✔
4. Difícil
Sea $P(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2$ . a) ¿Cuáles de los binomios $x - 1$ , $x + 1$ , $x - 2$ y $x + 2$ son factores de $P(x)$ ? b) Usa Ruffini para escribir $P(x)$ como producto de tres factores de grado 1.

Ver solución
a) $x + 1$ y $x - 2$ . b) $P(x) = (x + 1)(x - 2)(2x + 1)$
a) $P(1) = 2 - 1 - 5 - 2 = -6$ ; $P(-1) = -2 - 1 + 5 - 2 = 0$ ; $P(2) = 16 - 4 - 10 - 2 = 0$ ; $P(-2) = -16 - 4 + 10 - 2 = -12$ . Son factores $x + 1$ y $x - 2$ . b) Dividimos entre $x + 1$ :

$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -1 & -5 & -2 \\ -1 & & -2 & 3 & 2 \\ \hline & 2 & -3 & -2 & \boxed{0} \end{array}$

y el cociente, $2x^2 - 3x - 2$ , entre $x - 2$ :

$\begin{array}{r|rrr} & 2 & -3 & -2 \\ 2 & & 4 & 2 \\ \hline & 2 & 1 & \boxed{0} \end{array}$

Queda $2x + 1$ . Por tanto, $P(x) = (x + 1)(x - 2)(2x + 1)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Sin dividir, indica si el binomio es factor del polinomio: a) $x - 1$ de $x^5 - 1$ b) $x + 1$ de $x^6 + 1$ c) $x - 7$ de $x^2 - 5x - 14$

Ver solución
a) Sí b) No c) Sí
a) $P(1) = 1 - 1 = 0$ → sí. b) $P(-1) = 1 + 1 = 2 \neq 0$ → no. c) $P(7) = 49 - 35 - 14 = 0$ → sí.
2. Media
Halla $m$ para que $2x^3 + mx^2 - 8$ sea divisible entre $x + 2$ .

Ver solución
$m = 6$
$P(-2) = 0$ : $2 \cdot (-8) + m \cdot 4 - 8 = 0 \;\Rightarrow\; -16 + 4m - 8 = 0 \;\Rightarrow\; 4m = 24 \;\Rightarrow\; m = 6$ . Comprobación con Ruffini para $2x^3 + 6x^2 - 8$ :

$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & 6 & 0 & -8 \\ -2 & & -4 & -4 & 8 \\ \hline & 2 & 2 & -4 & \boxed{0} \end{array}$
3. Media
Halla $k$ para que el resto de dividir $x^3 - kx + 4$ entre $x - 3$ sea 10.

Ver solución
$k = 7$
$P(3) = 10$ : $27 - 3k + 4 = 10 \;\Rightarrow\; 31 - 3k = 10 \;\Rightarrow\; 3k = 21 \;\Rightarrow\; k = 7$ . Comprobación: $P(3) = 27 - 21 + 4 = 10$ ✔
4. Difícil
Una diseñadora quiere que un rectángulo tenga un área de $x^2 + mx + 6$ cm² y que uno de sus lados mida $x + 2$ cm. a) ¿Cuánto debe valer $m$ ? b) ¿Cuánto mide el otro lado? c) Comprueba el área con $x = 4$ .

Ver solución
a) $m = 5$ b) $x + 3$ cm c) $6 \cdot 7 = 42$ cm².
a) El lado $x + 2$ tiene que dividir exactamente al área: $P(-2) = 0$ . $4 - 2m + 6 = 0 \;\Rightarrow\; 2m = 10 \;\Rightarrow\; m = 5$ . b) $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ (por Ruffini o buscando dos números que sumen 5 y multipliquen 6). El otro lado mide $x + 3$ cm. c) Con $x = 4$ : lados $6$ cm y $7$ cm, área $42$ cm². Con la expresión: $16 + 20 + 6 = 42$ cm² ✔