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Explicación

¿Qué es una raíz de un polinomio?

Un número $a$ es una raíz (o un cero) del polinomio $P(x)$ si el valor numérico del polinomio para $x = a$ es cero:

$a \text{ es raíz de } P(x) \iff P(a) = 0$

Por ejemplo, si $P(x) = x^2 - 9$ :

$P(3) = 3^2 - 9 = 0$ → $3$ es raíz.
$P(-3) = (-3)^2 - 9 = 0$ → $-3$ es raíz.
$P(1) = 1^2 - 9 = -8 \neq 0$ → $1$ no es raíz.

Dos formas de comprobar si un número es raíz

Valor numérico: sustituye $x$ por el número y calcula. Usa paréntesis con los números negativos: $(-2)^3 = -8$ .
Regla de Ruffini: divide $P(x)$ entre $(x - a)$ . Por el teorema del resto, el resto de esa división es $P(a)$ . Si el resto es 0, $a$ es raíz.

Raíz y factor

Si $a$ es raíz de $P(x)$ , la división $P(x) : (x - a)$ es exacta. Llamando $C(x)$ al cociente:

$P(x) = (x - a) \cdot C(x)$

Decimos que $(x - a)$ es un factor de $P(x)$ . Cada raíz da un factor y cada factor da una raíz:

Raíz	Factor
$4$	$x - 4$
$-3$	$x - (-3) = x + 3$
$0$	$x - 0 = x$

Fíjate en que el signo cambia: a la raíz $-3$ le corresponde $(x + 3)$ , y al factor $(x - 5)$ , la raíz $5$ .

Si un polinomio ya está escrito como producto, sus raíces se leen directamente, porque un producto vale 0 cuando uno de sus factores vale 0. Por ejemplo, las raíces de $(x - 2)(x + 7)$ son $2$ y $-7$ .

Las raíces en la gráfica

Si dibujamos la gráfica de $y = P(x)$ , las raíces son los valores de $x$ en los que la gráfica corta el eje X (allí $y = P(x) = 0$ ).

Puntos clave

$a$ es raíz de $P(x)$ si $P(a) = 0$ .
Se comprueba con el valor numérico o con Ruffini: $a$ es raíz si el resto de dividir entre $(x - a)$ es 0.
Si $a$ es raíz, $P(x) = (x - a) \cdot C(x)$ , donde $C(x)$ es el cociente de la división.
A la raíz $a$ le corresponde el factor $(x - a)$ : raíz $-3$ → factor $(x + 3)$ ; raíz $0$ → factor $x$ .
Las raíces son los puntos donde la gráfica de $y = P(x)$ corta el eje X.

Errores frecuentes

ErrorEscribir el factor con el mismo signo que la raíz: «raíz −3 → factor (x − 3)».
Cómo corregirloEl factor es $x$ menos la raíz: $x - (-3) = x + 3$ . Comprueba que el factor vale 0 al sustituir la raíz: $-3 + 3 = 0$ .
ErrorOlvidar los coeficientes nulos al hacer Ruffini con polinomios incompletos como $x^3 + 8$ .
Cómo corregirloEscribe todos los grados, poniendo 0 en los que faltan: $x^3 + 0x^2 + 0x + 8$ → coeficientes $1,\ 0,\ 0,\ 8$ .
ErrorEquivocarse con las potencias de números negativos: escribir $-2^2 = 4$ o $(-2)^3 = 8$ .
Cómo corregirloPon siempre el número negativo entre paréntesis: $(-2)^2 = 4$ y $(-2)^3 = -8$ (potencia impar de un negativo, resultado negativo).
ErrorPensar que la raíz es el último número de la fila de abajo en Ruffini.
Cómo corregirloEl número que pruebas se escribe a la izquierda; el último número de abajo es el resto. Si ese resto es 0, el número de la izquierda es raíz.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuáles son raíces? numérico (valor numérico)
Dado $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ , comprueba cuáles de los números $1$ , $-1$ y $2$ son raíces de $P(x)$ y escribe el factor que corresponde a cada raíz.

Resolución
Calculamos el valor numérico para cada número:
- $P(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$ → $1$ no es raíz.
- $P(-1) = (-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ → $-1$ es raíz.
- $P(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$ → $2$ es raíz.
Factores: a la raíz $-1$ le corresponde $(x + 1)$ y a la raíz $2$ , $(x - 2)$ . Por tanto, $P(x)$ es divisible entre $(x + 1)$ y entre $(x - 2)$ .
Ejemplo 2. Raíz y factor con Ruffini numérico (regla de Ruffini)
Comprueba con la regla de Ruffini que $-2$ es raíz de $Q(x) = x^3 + 8$ y escribe $Q(x)$ como producto de $(x + 2)$ por otro polinomio.

Resolución
Los coeficientes de $Q(x) = x^3 + 0x^2 + 0x + 8$ son $1,\ 0,\ 0,\ 8$ . Dividimos entre $(x + 2)$ , es decir, probamos con $-2$ :

$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & 0 & 8 \\ -2 & & -2 & 4 & -8 \\ \hline & 1 & -2 & 4 & 0 \end{array}$

El resto es $0$ , así que $-2$ es raíz y la división es exacta. El cociente es $C(x) = x^2 - 2x + 4$ :

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

Comprobación con el valor numérico: $Q(-2) = (-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$ . ✔
Ejemplo 3. Las raíces en la gráfica gráfico
La gráfica muestra $y = P(x)$ para $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ . a) ¿En qué puntos corta la gráfica al eje X? b) Comprueba con el valor numérico que esos valores son raíces. c) Escribe los factores correspondientes y comprueba que su producto es $P(x)$ .

Resolución
a) La gráfica corta el eje X en $x = -1$ , $x = 1$ y $x = 3$ .

b) $P(-1) = -1 - 3 + 1 + 3 = 0$ ; $\quad P(1) = 1 - 3 - 1 + 3 = 0$ ; $\quad P(3) = 27 - 27 - 3 + 3 = 0$ . ✔

c) Factores: $(x + 1)$ , $(x - 1)$ y $(x - 3)$ . Multiplicamos: $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$ $(x^2 - 1)(x - 3) = x^3 - 3x^2 - x + 3 = P(x) \ ✔$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Comprueba, con el valor numérico, si los números indicados son raíces de cada polinomio: a) $P(x) = x^2 - 5x + 6$ ; números $2$ y $-2$ . b) $Q(x) = x^3 - 1$ ; números $1$ y $-1$ . c) $R(x) = 2x^2 + 7x + 3$ ; número $-3$ .

Ver solución
a) 2 sí; −2 no. b) 1 sí; −1 no. c) −3 sí.
a) $P(2) = 4 - 10 + 6 = 0$ → sí. $P(-2) = 4 + 10 + 6 = 20$ → no. b) $Q(1) = 1 - 1 = 0$ → sí. $Q(-1) = -1 - 1 = -2$ → no. c) $R(-3) = 2 \cdot 9 - 21 + 3 = 0$ → sí.
2. Fácil
a) Escribe el factor que corresponde a cada una de estas raíces: $5$ , $-1$ , $0$ y $-7$ . b) Escribe la raíz que corresponde a cada uno de estos factores: $(x - 6)$ , $(x + 2)$ , $x$ y $(x + 10)$ . c) ¿Cuáles son las raíces de $P(x) = (x - 4)(x + 9)$ ?

Ver solución
a) (x − 5), (x + 1), x, (x + 7). b) 6, −2, 0, −10. c) 4 y −9.
a) Factor $= x - \text{raíz}$ : $(x - 5)$ , $(x + 1)$ , $x$ , $(x + 7)$ . b) Cada factor se anula en: $6$ , $-2$ , $0$ , $-10$ . c) El producto vale 0 si $x - 4 = 0$ o $x + 9 = 0$ : raíces $4$ y $-9$ .
3. Media
Comprueba con la regla de Ruffini que $3$ es raíz de $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x - 3$ y escribe $P(x)$ en la forma $(x - 3) \cdot C(x)$ .

Ver solución
Resto 0; P(x) = (x − 3)(x² + x + 1).
$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -2 & -3 \\ 3 & & 3 & 3 & 3 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$ El resto es 0, luego $3$ es raíz. Cociente: $x^2 + x + 1$ . $P(x) = (x - 3)(x^2 + x + 1)$
4. Media
Desde la azotea de un edificio de Lavapiés, a 15 m de altura, se lanza una pelota hacia arriba. Su altura sobre el suelo (en m) a los $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$ . a) Comprueba que $t = 3$ es raíz de $h(t)$ . ¿Qué significa en esta situación? b) ¿Es $t = 1$ raíz? ¿A qué altura está la pelota en ese instante? c) Escribe el factor de $h(t)$ que corresponde a la raíz $t = 3$ .

Ver solución
a) h(3) = 0: la pelota llega al suelo a los 3 s. b) No; h(1) = 20 m. c) (t − 3).
a) $h(3) = -5 \cdot 9 + 10 \cdot 3 + 15 = -45 + 30 + 15 = 0$ . Es raíz: a los 3 s la altura es 0, es decir, la pelota llega al suelo. b) $h(1) = -5 + 10 + 15 = 20 \neq 0$ : no es raíz. Al cabo de 1 s la pelota está a 20 m de altura. c) A la raíz $t = 3$ le corresponde el factor $(t - 3)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Comprueba cuáles de los números $1$ , $-1$ y $-2$ son raíces de $P(x) = x^4 + 2x^3 - x - 2$ .

Ver solución
1 y −2 son raíces; −1 no.
$P(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$ → sí. $P(-1) = 1 - 2 + 1 - 2 = -2$ → no. $P(-2) = 16 - 16 + 2 - 2 = 0$ → sí.
2. Fácil
Sin hacer operaciones, escribe las raíces de cada polinomio: a) $P(x) = (x - 4)(x + 6)(x + 1)$ b) $Q(x) = x(x - 9)$ c) $R(x) = 3(x + 2)(x - 8)$

Ver solución
a) 4, −6, −1. b) 0, 9. c) −2, 8.
Un producto vale 0 cuando se anula alguno de sus factores: a) $x = 4$ , $x = -6$ , $x = -1$ . b) $x = 0$ , $x = 9$ . c) El 3 nunca vale 0; raíces $x = -2$ y $x = 8$ .
3. Media
Comprueba con la regla de Ruffini que $-4$ es raíz de $P(x) = x^3 + 3x^2 - 5x - 4$ y escribe $P(x)$ como producto de un factor de grado 1 por otro de grado 2.

Ver solución
P(x) = (x + 4)(x² − x − 1).
$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 3 & -5 & -4 \\ -4 & & -4 & 4 & 4 \\ \hline & 1 & -1 & -1 & 0 \end{array}$ Resto 0, luego $-4$ es raíz y $(x + 4)$ es factor: $P(x) = (x + 4)(x^2 - x - 1)$
4. Media
Observa la gráfica de $y = P(x)$ , con $P(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ . a) Escribe las raíces que se leen en la gráfica. b) Comprueba con el valor numérico que lo son. c) Escribe los tres factores de grado 1 de $P(x)$ .

Ver solución
a) −2, −1 y 2. b) P(−2) = P(−1) = P(2) = 0. c) (x + 2), (x + 1), (x − 2).
a) La gráfica corta el eje X en $x = -2$ , $x = -1$ y $x = 2$ . b) $P(-2) = -8 + 4 + 8 - 4 = 0$ ; $P(-1) = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$ ; $P(2) = 8 + 4 - 8 - 4 = 0$ . ✔ c) $(x + 2)$ , $(x + 1)$ y $(x - 2)$ . En efecto, $P(x) = (x + 2)(x + 1)(x - 2)$ .
5. Difícil
Halla el valor de $m$ para que $x = 2$ sea raíz de $P(x) = x^3 - mx + 6$ . Con ese valor de $m$ , escribe $P(x)$ como producto de $(x - 2)$ por un polinomio de grado 2.

Ver solución
m = 7; P(x) = (x − 2)(x² + 2x − 3).
Para que 2 sea raíz, $P(2) = 0$ : $2^3 - m \cdot 2 + 6 = 0 \;\Rightarrow\; 14 - 2m = 0 \;\Rightarrow\; m = 7$ Con $P(x) = x^3 - 7x + 6$ (coeficientes $1,\ 0,\ -7,\ 6$ ): $\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -7 & 6 \\ 2 & & 2 & 4 & -6 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array}$ $P(x) = (x - 2)(x^2 + 2x - 3)$

Raíces de un polinomio y el factor (x − a)