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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Recuerda: producto de un monomio por un polinomio

Objetivo: Al terminar, sabrás multiplicar monomios y multiplicar un monomio por un polinomio aplicando la propiedad distributiva, y desarrollar y reducir expresiones sencillas.

Recuerda

Producto de monomios

Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, sumando los exponentes de la misma letra: $(-2x^3) \cdot 5x^4 = (-2 \cdot 5)\, x^{3+4} = -10x^7 \qquad 3x^2y \cdot (-4xy^3) = -12x^3y^4$

Cuidado con la regla de los signos: $(+)\cdot(+) = +$ , $(-)\cdot(-) = +$ , $(+)\cdot(-) = -$ .

Monomio por polinomio

Se aplica la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada uno de los términos del polinomio y se suman los resultados. $-2x \cdot (3x^2 - x + 5) = -6x^3 + 2x^2 - 10x$

Ayuda dibujar una flecha desde el monomio hasta cada término del paréntesis: así no te dejas ninguno.

Con áreas. Un rectángulo de base $3x$ y altura $x + 4$ se puede partir en dos rectángulos: uno de $3x$ por $x$ y otro de $3x$ por $4$ . Su área es $3x(x + 4) = 3x^2 + 12x$ .

El grado del resultado es la suma del grado del monomio y el del polinomio: $-2x$ (grado 1) por $3x^2 - x + 5$ (grado 2) da grado 3.

Desarrollar y reducir

Para desarrollar y reducir una expresión como $2x(x - 1) - x(3 - x)$ : primero se quitan los paréntesis multiplicando (con su signo) y después se reducen los términos semejantes.

Puntos clave

$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ : al multiplicar, los exponentes se suman.
El monomio multiplica a todos los términos del polinomio.
Un signo menos delante de un monomio cambia el signo de todos los productos.
Después de multiplicar, reduce los términos semejantes.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar solo el primer término: $3x(x^2 + 2) = 3x^3 + 2$ .
Cómo corregirloDibuja una flecha del monomio a cada término: $3x(x^2 + 2) = 3x^3 + 6x$ .
ErrorMultiplicar los exponentes: $x^2 \cdot x^3 = x^6$ .
Cómo corregirloAl multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
ErrorEn $-x(3 - x)$ , olvidar que $(-x)\cdot(-x) = +x^2$ .
Cómo corregirloAplica la regla de los signos término a término: $-x(3 - x) = -3x + x^2$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Monomio por polinomio numérico
Calcula $-3x^2 \cdot (2x^3 - x + 4)$ .

Resolución
Multiplicamos $-3x^2$ por cada término:
- $-3x^2 \cdot 2x^3 = -6x^5$
- $-3x^2 \cdot (-x) = +3x^3$
- $-3x^2 \cdot 4 = -12x^2$
Resultado: $-6x^5 + 3x^3 - 12x^2$ .
Ejemplo 2. El área de un rectángulo geométrico (con comprobación)
Un rectángulo tiene una base de $2x$ cm y una altura de $x + 5$ cm. a) Escribe su área como un polinomio. b) Calcula el área si $x = 3$ cm, de dos formas.

Resolución
a) Área = base · altura: $A = 2x \cdot (x + 5) = 2x^2 + 10x$ cm².

b) Con el polinomio: $A = 2 \cdot 3^2 + 10 \cdot 3 = 18 + 30 = 48$ cm². Con las medidas: base $2 \cdot 3 = 6$ cm, altura $3 + 5 = 8$ cm, $A = 6 \cdot 8 = 48$ cm². ✔

Las dos formas dan lo mismo: el polinomio $2x^2 + 10x$ y la expresión $2x(x + 5)$ son equivalentes.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) $4x^3 \cdot 5x^2$ b) $(-2x) \cdot 7x^4$ c) $(-x^2) \cdot (-3x)$

Ver solución
a) $20x^5$ b) $-14x^5$ c) $3x^3$
a) $4 \cdot 5 = 20$ , $x^{3+2} = x^5$ . b) $-2 \cdot 7 = -14$ , $x^{1+4} = x^5$ . c) $(-1)\cdot(-3) = 3$ , $x^{2+1} = x^3$ .
2. Fácil
Calcula: a) $5x(x^2 - 2x + 3)$ b) $-2x^3(4x^2 + x - 1)$

Ver solución
a) $5x^3 - 10x^2 + 15x$ b) $-8x^5 - 2x^4 + 2x^3$
a) $5x \cdot x^2 = 5x^3$ ; $5x \cdot (-2x) = -10x^2$ ; $5x \cdot 3 = 15x$ . b) $-2x^3 \cdot 4x^2 = -8x^5$ ; $-2x^3 \cdot x = -2x^4$ ; $-2x^3 \cdot (-1) = +2x^3$ .
3. Media
Desarrolla y reduce: $2x(x - 1) - x(3 - x)$ .

Ver solución
$3x^2 - 5x$
$2x(x - 1) = 2x^2 - 2x$ ; $-x(3 - x) = -3x + x^2$ . Sumamos: $2x^2 - 2x - 3x + x^2 = 3x^2 - 5x$ .

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: a) $3x^2(x^2 - 4x + 2)$ b) $-x(6x^3 - 2x + 7)$ c) $\dfrac{1}{2}x\,(4x^2 - 6)$

Ver solución
a) $3x^4 - 12x^3 + 6x^2$ b) $-6x^4 + 2x^2 - 7x$ c) $2x^3 - 3x$
a) $3x^2 \cdot x^2 = 3x^4$ ; $3x^2 \cdot (-4x) = -12x^3$ ; $3x^2 \cdot 2 = 6x^2$ . b) $-x \cdot 6x^3 = -6x^4$ ; $-x \cdot (-2x) = 2x^2$ ; $-x \cdot 7 = -7x$ . c) $\dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$ y $\dfrac{1}{2} \cdot (-6) = -3$ : $2x^3 - 3x$ .
2. Media
Desarrolla y reduce: a) $4x(x + 2) - 3(x^2 - x)$ b) $x^2(x - 5) + 2x(x + 1)$

Ver solución
a) $x^2 + 11x$ b) $x^3 - 3x^2 + 2x$
a) $4x^2 + 8x - 3x^2 + 3x = x^2 + 11x$ . b) $x^3 - 5x^2 + 2x^2 + 2x = x^3 - 3x^2 + 2x$ .
3. Media
Un aparcamiento de bicis rectangular en el patio de un instituto de Carabanchel mide $x$ metros de ancho, y su largo es 3 m más que el doble del ancho. a) Escribe su área como un polinomio. b) Calcula el área si el ancho es de 4 m.

Ver solución
a) $2x^2 + 3x$ m² b) 44 m²
a) Largo: $2x + 3$ . Área: $x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$ . b) $2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 = 32 + 12 = 44$ m². Comprobación: largo $2 \cdot 4 + 3 = 11$ m, $4 \cdot 11 = 44$ m² ✔.