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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: combinaciones lineales de polinomios y perímetros

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular combinaciones lineales de polinomios, también con coeficientes fraccionarios, y expresar perímetros de figuras cuyos lados son polinomios.

Explicación

Multiplicar un polinomio por un número

Para multiplicar un polinomio por un número, se multiplica cada coeficiente por ese número: $3 \cdot (2x^2 - x + 5) = 6x^2 - 3x + 15 \qquad \frac{2}{3}\,(6x^2 - 9x + 3) = 4x^2 - 6x + 2$

Combinaciones lineales

Una expresión como $2P - 3Q + \dfrac{1}{2}R$ se llama combinación lineal de $P$ , $Q$ y $R$ . Se calcula en dos pasos:

Se multiplica cada polinomio por su número (con su signo).
Se suman los resultados reduciendo términos semejantes.

Con coeficientes fraccionarios, conviene simplificar cada producto antes de sumar.

Perímetros con polinomios

Si los lados de una figura se expresan con polinomios, su perímetro es la suma de todos ellos. Si hay lados iguales, se multiplica: un rectángulo de lados $A$ y $B$ tiene perímetro $2A + 2B = 2(A + B)$ .

Puntos clave

$k \cdot P$ : se multiplica cada coeficiente de $P$ por $k$ .
En $-3Q$ , el $-3$ multiplica a todos los términos de $Q$ (cambia sus signos).
Combinación lineal: primero los productos, después la suma.
Perímetro = suma de los lados; comprueba con un valor de $x$ .

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar por el número solo el primer término: $3(2x^2 - x + 5) = 6x^2 - x + 5$ .
Cómo corregirloEl número multiplica a todos los términos: $6x^2 - 3x + 15$ .
ErrorEn $2P - 3Q$ , multiplicar $Q$ por 3 y olvidar restar (o al revés).
Cómo corregirloMultiplica $Q$ directamente por $-3$ : así ya salen los signos cambiados y solo queda sumar.
ErrorAl calcular $\dfrac{1}{2}(4x^2 - 6x + 2)$ , dividir solo el primer término.
Cómo corregirloDivide todos: $2x^2 - 3x + 1$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una combinación lineal numérico
Dados $P(x) = x^2 - 2x + 1$ , $Q(x) = x^2 + x - 3$ y $R(x) = 4x^2 - 6x + 2$ , calcula $2P(x) - 3Q(x) + \dfrac{1}{2}R(x)$ .

Resolución
1. Productos:
- $2P = 2x^2 - 4x + 2$
- $-3Q = -3x^2 - 3x + 9$
- $\dfrac{1}{2}R = 2x^2 - 3x + 1$
1. Sumamos: $x^2$ : $2 - 3 + 2 = 1$ ; $\;x$ : $-4 - 3 - 3 = -10$ ; $\;$ números: $2 + 9 + 1 = 12$ .
$2P - 3Q + \frac{1}{2}R = x^2 - 10x + 12$
Ejemplo 2. Un parterre triangular geométrico (con comprobación)
Un parterre triangular de un parque tiene lados de $(x^2 + 1)$ m, $(2x^2 - x)$ m y $(3x + 4)$ m. a) Escribe su perímetro. b) Comprueba el resultado con $x = 2$ .

Resolución
a) $P = (x^2 + 1) + (2x^2 - x) + (3x + 4) = 3x^2 + 2x + 5$ m.

b) Con $x = 2$ los lados miden $5$ , $6$ y $10$ m, que suman $21$ m. Con el polinomio: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 5 = 21$ m ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dados $P(x) = 3x^2 - x + 2$ y $Q(x) = x^2 + 4x - 1$ , calcula $3P(x) - 2Q(x)$ .

Ver solución
$7x^2 - 11x + 8$
$3P = 9x^2 - 3x + 6$ ; $-2Q = -2x^2 - 8x + 2$ . Suma: $7x^2 - 11x + 8$ .
2. Media
Dados $A(x) = 4x^2 - 2x + 6$ y $B(x) = 3x^2 + 9x - 3$ , calcula $\dfrac{1}{2}A(x) - \dfrac{1}{3}B(x)$ .

Ver solución
$x^2 - 4x + 4$
$\dfrac{1}{2}A = 2x^2 - x + 3$ ; $-\dfrac{1}{3}B = -x^2 - 3x + 1$ . Suma: $x^2 - 4x + 4$ .
3. Media
Un rectángulo tiene lados de $(2x^2 - 3)$ cm y $(x^2 + x + 1)$ cm. a) Escribe su perímetro. b) Compruébalo con $x = 2$ .

Ver solución
a) $6x^2 + 2x - 4$ cm b) 24 cm
a) $2(2x^2 - 3) + 2(x^2 + x + 1) = 4x^2 - 6 + 2x^2 + 2x + 2 = 6x^2 + 2x - 4$ . b) Lados 5 y 7 cm: $2 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 24$ ; con el polinomio, $24 + 4 - 4 = 24$ ✔.

Para practicar más

1. Media
Dados $P(x) = x^3 - 2x + 4$ , $Q(x) = 2x^3 + x^2 - 1$ y $R(x) = 6x^2 - 3x$ , calcula $-P(x) + 2Q(x) - \dfrac{1}{3}R(x)$ .

Ver solución
$3x^3 + 3x - 6$
$-P = -x^3 + 2x - 4$ ; $\;2Q = 4x^3 + 2x^2 - 2$ ; $\;-\dfrac{1}{3}R = -2x^2 + x$ . Sumamos: $x^3$ : $-1 + 4 = 3$ ; $\;x^2$ : $2 - 2 = 0$ ; $\;x$ : $2 + 1 = 3$ ; $\;$ números: $-4 - 2 = -6$ . Resultado: $3x^3 + 3x - 6$ .
2. Media
Calcula y reduce: $\dfrac{3}{4}(8x^2 - 4x) - \dfrac{2}{5}(5x^2 + 10)$

Ver solución
$4x^2 - 3x - 4$
$\dfrac{3}{4}(8x^2 - 4x) = 6x^2 - 3x$ ; $\dfrac{2}{5}(5x^2 + 10) = 2x^2 + 4$ . Restamos: $6x^2 - 3x - 2x^2 - 4 = 4x^2 - 3x - 4$ .
3. Media
Un solar con forma de cuadrilátero irregular tiene lados de $(x + 8)$ m, $2x$ m, $(x + 2)$ m y $(3x - 1)$ m. a) Escribe su perímetro. b) Si se quiere rodear con una valla de dos hilos de alambre, ¿cuántos metros de alambre hacen falta? c) Calcula ambos resultados para $x = 5$ .

Ver solución
a) $7x + 9$ m b) $14x + 18$ m c) 44 m y 88 m
a) $x + 8 + 2x + x + 2 + 3x - 1 = 7x + 9$ . b) $2(7x + 9) = 14x + 18$ . c) Lados 13, 10, 7 y 14 m: $13 + 10 + 7 + 14 = 44$ m ✔; alambre: 88 m.