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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Recuerda: producto de dos polinomios

Objetivo: Al terminar, sabrás multiplicar binomios y trinomios en línea, sin olvidar ningún producto, y reducir los términos semejantes del resultado.

Recuerda

Producto de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primero por cada término del segundo (propiedad distributiva) y después se reducen los términos semejantes.

$(x + 3)(2x - 5) = x \cdot 2x + x \cdot (-5) + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-5) = 2x^2 - 5x + 6x - 15 = 2x^2 + x - 15$

Un binomio por un binomio da $2 \cdot 2 = 4$ productos; un binomio por un trinomio, $2 \cdot 3 = 6$ productos. Cuéntalos para no dejarte ninguno.
El grado del producto es la suma de los grados de los factores: (grado 1)·(grado 2) → grado 3.

Con áreas. Un rectángulo de lados $x + 2$ y $x + 3$ se puede partir en cuatro trozos: $x \cdot x$ , $x \cdot 3$ , $2 \cdot x$ y $2 \cdot 3$ . Su área es la suma de los cuatro: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ .

Comprobación. Da un valor a $x$ en los factores y en el resultado: si el producto está bien, los dos valores coinciden.

Puntos clave

Cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo.
Número de productos = (términos del primero) · (términos del segundo).
Al final, reduce los términos semejantes y ordena de mayor a menor grado.
Grado del producto = suma de los grados de los factores.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar solo «primero por primero y último por último»: $(x + 4)(x - 2) = x^2 - 8$ .
Cómo corregirloFaltan los productos cruzados $x \cdot (-2)$ y $4 \cdot x$ : $(x + 4)(x - 2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8$ .
ErrorEquivocarse con los signos en los productos con números negativos.
Cómo corregirloEscribe cada producto con su signo antes de reducir, y repasa: $(-3)\cdot(-1) = +3$ .
ErrorOlvidar reducir los términos semejantes al final.
Cómo corregirloAntes de dar el resultado, busca términos con la misma parte literal y júntalos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Binomio por trinomio numérico
Calcula $(2x - 3)(x^2 + x - 1)$ .

Resolución
Hay $2 \cdot 3 = 6$ productos:
- $2x \cdot x^2 = 2x^3$ , $\;2x \cdot x = 2x^2$ , $\;2x \cdot (-1) = -2x$
- $-3 \cdot x^2 = -3x^2$ , $\;-3 \cdot x = -3x$ , $\;-3 \cdot (-1) = +3$
Reducimos: $2x^3 + (2x^2 - 3x^2) + (-2x - 3x) + 3 = 2x^3 - x^2 - 5x + 3$ .
Ejemplo 2. El método del rectángulo gráfico (tabla de áreas)
Un jardín vertical en una fachada mide $(x + 4)$ m de ancho y $(x - 2)$ m de alto. Calcula su área con una tabla y compruébala para $x = 5$ .

Resolución
Partimos el rectángulo en 4 trozos: cada casilla es el producto de su fila por su columna.

$\cdot$ $x$ $+4$

$x$ $x^2$ $4x$

$-2$ $-2x$ $-8$

Sumamos las casillas: $A = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$ m².

Comprobación con $x = 5$ : medidas $9$ m y $3$ m, $A = 27$ m²; con el polinomio, $25 + 10 - 8 = 27$ m². ✔

$\cdot$	$x$	$+4$
$x$	$x^2$	$4x$
$-2$	$-2x$	$-8$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) $(x + 5)(x - 3)$ b) $(3x - 1)(2x + 4)$

Ver solución
a) $x^2 + 2x - 15$ b) $6x^2 + 10x - 4$
a) $x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$ . b) $6x^2 + 12x - 2x - 4 = 6x^2 + 10x - 4$ .
2. Media
Calcula: a) $(x^2 - 2)(x + 3)$ b) $(x - 4)(2x^2 - x + 5)$

Ver solución
a) $x^3 + 3x^2 - 2x - 6$ b) $2x^3 - 9x^2 + 9x - 20$
a) $x^3 + 3x^2 - 2x - 6$ (no hay semejantes). b) $2x^3 - x^2 + 5x - 8x^2 + 4x - 20 = 2x^3 - 9x^2 + 9x - 20$ .
3. Media
Una piscina rectangular de un polideportivo mide $x$ m de ancho y $(2x - 1)$ m de largo, y está rodeada por un paseo de 1 m de ancho. a) ¿Cuánto miden el ancho y el largo del rectángulo que forman piscina y paseo juntos? b) Escribe su área como un polinomio.

Ver solución
a) $(x + 2)$ m y $(2x + 1)$ m b) $2x^2 + 5x + 2$ m²
a) El paseo añade 1 m por cada lado: ancho $x + 2$ , largo $2x - 1 + 2 = 2x + 1$ . b) $(x + 2)(2x + 1) = 2x^2 + x + 4x + 2 = 2x^2 + 5x + 2$ . Comprobación con $x = 6$ : $8 \cdot 13 = 104$ y $72 + 30 + 2 = 104$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: a) $(2x + 1)(x - 6)$ b) $(5 - x)(x + 2)$

Ver solución
a) $2x^2 - 11x - 6$ b) $-x^2 + 3x + 10$
a) $2x^2 - 12x + x - 6 = 2x^2 - 11x - 6$ . b) $5x + 10 - x^2 - 2x = -x^2 + 3x + 10$ .
2. Media
Calcula: a) $(x^2 + 3x - 2)(x - 1)$ b) $(3x^2 - x)(2x + 5)$

Ver solución
a) $x^3 + 2x^2 - 5x + 2$ b) $6x^3 + 13x^2 - 5x$
a) $x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x - 2x + 2 = x^3 + 2x^2 - 5x + 2$ . b) $6x^3 + 15x^2 - 2x^2 - 5x = 6x^3 + 13x^2 - 5x$ .
3. Media
Desarrolla y reduce: $(x + 2)(x - 3) - x(x - 4)$ .

Ver solución
$3x - 6$
$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$ ; $\;x(x - 4) = x^2 - 4x$ . Restamos: $x^2 - x - 6 - x^2 + 4x = 3x - 6$ .