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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: producto de polinomios en columna y comprobación

Objetivo: Al terminar, sabrás multiplicar polinomios de mayor grado con la disposición en columna y comprobar el resultado por valor numérico.

Explicación

Producto en columna

Cuando los polinomios tienen muchos términos, es cómodo multiplicar en columna, como con los números:

Escribe los dos polinomios ordenados de mayor a menor grado, uno debajo del otro, dejando hueco para los grados que falten.
Multiplica el polinomio de arriba por cada término del de abajo, empezando por la derecha. Cada resultado va en una fila, colocando cada término debajo de los de su mismo grado.
Suma las filas columna a columna.

$\begin{array}{rrrr} & 2x^2 & -x & +3 \\ & & x & -2 \\ \hline & -4x^2 & +2x & -6 \\ 2x^3 & -x^2 & +3x & \\ \hline 2x^3 & -5x^2 & +5x & -6 \end{array}$

Comprobación por valor numérico

Si $P \cdot Q = R$ , entonces para cualquier número $a$ se cumple $P(a) \cdot Q(a) = R(a)$ . Así se puede comprobar un producto:

Con $x = 1$ es muy rápido: el valor de un polinomio en 1 es la suma de sus coeficientes. En el ejemplo de arriba: $P(1) = 4$ , $Q(1) = -1$ y $R(1) = 2 - 5 + 5 - 6 = -4 = 4 \cdot (-1)$ ✔.
Si no coincide, seguro que hay un error. Si coincide, probablemente está bien, pero no es seguro: para más seguridad, comprueba también con otro valor ( $x = 2$ o $x = -1$ ).
Si $P(1)$ o $Q(1)$ vale 0, la comprobación con $x = 1$ no sirve de mucho: usa otro valor.

Puntos clave

En columna: ordena, deja huecos y alinea cada producto por grados.
Hay tantas filas de productos como términos tiene el polinomio de abajo.
Comprobación: $P(a) \cdot Q(a)$ debe ser igual a $R(a)$ . Con $a = 1$ basta sumar coeficientes.
Si la comprobación falla, hay error seguro; si sale bien, comprueba con un segundo valor para más seguridad.

Errores frecuentes

ErrorColocar los productos parciales sin alinear por grados (como si fuera una multiplicación de números, corriendo siempre un lugar).
Cómo corregirloCada término va debajo de los de su mismo grado. Si en el polinomio de arriba falta un grado, ese hueco también aparece en las filas.
ErrorDar por bueno un producto porque coincide la comprobación con $x = 1$ .
Cómo corregirloDos polinomios distintos pueden tener la misma suma de coeficientes. Comprueba también con $x = 2$ o $x = -1$ .
ErrorOlvidar el hueco del grado que falta en $x^3 - 2x^2 + 4$ (no tiene término en $x$ ).
Cómo corregirloEscríbelo como $x^3 - 2x^2 + 0x + 4$ o deja la casilla vacía, pero no corras los términos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un producto largo en columna en columna
Calcula en columna $(x^3 - 2x^2 + 4)(2x^2 + 3x - 1)$ y comprueba el resultado con $x = 1$ .

Resolución
El primer factor no tiene término en $x$ : dejamos el hueco. Multiplicamos por $-1$ , por $3x$ y por $2x^2$ :

$\begin{array}{rrrrrr} & & x^3 & -2x^2 & & +4 \\ & & & 2x^2 & +3x & -1 \\ \hline & & -x^3 & +2x^2 & & -4 \\ & 3x^4 & -6x^3 & & +12x & \\ 2x^5 & -4x^4 & & +8x^2 & & \\ \hline 2x^5 & -x^4 & -7x^3 & +10x^2 & +12x & -4 \end{array}$

Resultado: $2x^5 - x^4 - 7x^3 + 10x^2 + 12x - 4$ .

Comprobación con $x = 1$ : $P(1) = 1 - 2 + 4 = 3$ ; $Q(1) = 2 + 3 - 1 = 4$ ; $3 \cdot 4 = 12$ . Suma de coeficientes del resultado: $2 - 1 - 7 + 10 + 12 - 4 = 12$ ✔.
Ejemplo 2. ¿Está bien hecho? comprobación (detectar errores)
Irene ha calculado $(2x^2 - x + 3)(x - 2) = 2x^3 - 5x^2 + x - 6$ . Comprueba con $x = 1$ si es correcto.

Resolución
$P(1) = 2 - 1 + 3 = 4$ y $Q(1) = 1 - 2 = -1$ , luego el producto debe valer $4 \cdot (-1) = -4$ en $x = 1$ .

El resultado de Irene da $2 - 5 + 1 - 6 = -8 \neq -4$ : hay un error.

El producto correcto es $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ (suma de coeficientes: $-4$ ✔). Irene se equivocó en el término en $x$ : $(-x)\cdot(-2) + 3x = 2x + 3x = 5x$ , no $x$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Calcula en columna $(3x^3 + x - 2)(x^2 - 2x + 1)$ . Compruébalo con $x = 2$ (¿por qué no sirve de mucho $x = 1$ ?).

Ver solución
$3x^5 - 6x^4 + 4x^3 - 4x^2 + 5x - 2$
$\begin{array}{rrrrrr} & & 3x^3 & & +x & -2 \\ & & & x^2 & -2x & +1 \\ \hline & & 3x^3 & & +x & -2 \\ & -6x^4 & & -2x^2 & +4x & \\ 3x^5 & & +x^3 & -2x^2 & & \\ \hline 3x^5 & -6x^4 & +4x^3 & -4x^2 & +5x & -2 \end{array}$

Con $x = 1$ el segundo factor vale 0, así que cualquier resultado con suma de coeficientes 0 pasaría la prueba. Con $x = 2$ : $P(2) = 24 + 2 - 2 = 24$ , $Q(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ , $24 \cdot 1 = 24$ ; resultado: $96 - 96 + 32 - 16 + 10 - 2 = 24$ ✔.
2. Media
Calcula en columna $(x^4 - x^2 + 3)(2x - 5)$ y comprueba el resultado con $x = 1$ .

Ver solución
$2x^5 - 5x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 6x - 15$
$\begin{array}{rrrrrr} & x^4 & & -x^2 & & +3 \\ & & & & 2x & -5 \\ \hline & -5x^4 & & +5x^2 & & -15 \\ 2x^5 & & -2x^3 & & +6x & \\ \hline 2x^5 & -5x^4 & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -15 \end{array}$

Comprobación: $P(1) = 3$ , $Q(1) = -3$ , $3 \cdot (-3) = -9$ ; $2 - 5 - 2 + 5 + 6 - 15 = -9$ ✔.
3. Fácil
Comprueba con $x = 1$ y con $x = 2$ si es correcto: $(x^2 + 2x - 1)(x^2 - 3) = x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 6x + 3$ .

Ver solución
Es correcto (coincide en los dos valores).
$x = 1$ : $(1 + 2 - 1)(1 - 3) = 2 \cdot (-2) = -4$ ; $1 + 2 - 4 - 6 + 3 = -4$ ✔. $x = 2$ : $(4 + 4 - 1)(4 - 3) = 7$ ; $16 + 16 - 16 - 12 + 3 = 7$ ✔. Multiplicando se confirma: $x^4 - 3x^2 + 2x^3 - 6x - x^2 + 3 = x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 6x + 3$ .

Para practicar más

1. Media
Calcula en columna $(2x^3 - x^2 + 5)(x^2 + 4x - 2)$ y comprueba el resultado con $x = 1$ .

Ver solución
$2x^5 + 7x^4 - 8x^3 + 7x^2 + 20x - 10$
$\begin{array}{rrrrrr} & & 2x^3 & -x^2 & & +5 \\ & & & x^2 & +4x & -2 \\ \hline & & -4x^3 & +2x^2 & & -10 \\ & 8x^4 & -4x^3 & & +20x & \\ 2x^5 & -x^4 & & +5x^2 & & \\ \hline 2x^5 & +7x^4 & -8x^3 & +7x^2 & +20x & -10 \end{array}$

Comprobación: $P(1) = 6$ , $Q(1) = 3$ , $6 \cdot 3 = 18$ ; $2 + 7 - 8 + 7 + 20 - 10 = 18$ ✔.
2. Media
Calcula en columna $(x^3 - 3x + 2)(-x^2 + x + 3)$ y comprueba el resultado con un valor adecuado.

Ver solución
$-x^5 + x^4 + 6x^3 - 5x^2 - 7x + 6$
$\begin{array}{rrrrrr} & & x^3 & & -3x & +2 \\ & & & -x^2 & +x & +3 \\ \hline & & 3x^3 & & -9x & +6 \\ & x^4 & & -3x^2 & +2x & \\ -x^5 & & +3x^3 & -2x^2 & & \\ \hline -x^5 & +x^4 & +6x^3 & -5x^2 & -7x & +6 \end{array}$

$P(1) = 0$ , así que mejor comprobar con $x = 2$ : $P(2) = 8 - 6 + 2 = 4$ , $Q(2) = -4 + 2 + 3 = 1$ , $4 \cdot 1 = 4$ ; resultado: $-32 + 16 + 48 - 20 - 14 + 6 = 4$ ✔.
3. Difícil
Mario ha calculado $(x^2 - 4x + 1)(2x + 3) = 2x^3 - 5x^2 - 12x + 5$ . a) Comprueba con $x = 1$ . b) Comprueba con $x = 2$ . c) ¿Está bien? Si no, corrígelo.

Ver solución
a) Coincide ( $-10$ ). b) No coincide ( $-21 \neq -23$ ). c) Está mal: es $2x^3 - 5x^2 - 10x + 3$ .
a) $(1 - 4 + 1)(5) = -10$ ; $2 - 5 - 12 + 5 = -10$ ✔ (¡pasa la prueba!). b) $(4 - 8 + 1)(7) = -21$ ; $16 - 20 - 24 + 5 = -23$ ✘. c) $2x^3 + 3x^2 - 8x^2 - 12x + 2x + 3 = 2x^3 - 5x^2 - 10x + 3$ . Moraleja: la prueba con $x = 1$ no es suficiente.