División de un polinomio entre un monomio

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorDividir los exponentes: $x^6 : x^3 = x^2$.

  Cómo corregirloLos exponentes se restan: $x^6 : x^3 = x^{6 - 3} = x^3$. Comprueba: $x^3 \cdot x^3 = x^6$ ✔

• ErrorDividir solo el primer término: $(6x^4 - 3x^2 + 9x) : 3x = 2x^3 - 3x^2 + 9x$.

  Cómo corregirloHay que dividir todos los términos entre $3x$.

• ErrorEscribir $0$ al dividir un término entre sí mismo: $9x : 3x = 0$.

  Cómo corregirlo$9x : 3x = 3$ y $3x : 3x = 1$. Al restar exponentes queda $x^0 = 1$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Dividir término a término numérico

   a) Calcula $(6x^4 - 3x^2 + 9x) : 3x$ y comprueba el resultado. b) ¿Es un polinomio el cociente $(10x^3 - 5x^2 + 2) : 5x^2$?

   Resolución

   a) Dividimos cada término entre $3x$: $$6x^4 : 3x = 2x^3 \qquad -3x^2 : 3x = -x \qquad 9x : 3x = 3$$ Cociente: $2x^3 - x + 3$. Comprobación: $3x \cdot (2x^3 - x + 3) = 6x^4 - 3x^2 + 9x$ ✔

   b) $10x^3 : 5x^2 = 2x$ y $-5x^2 : 5x^2 = -1$, pero $2 : 5x^2 = \dfrac{2}{5x^2}$, que no es un monomio (la $x$ queda en el denominador). El cociente no es un polinomio.

2. Ejemplo 2. La altura de un rectángulo situación real (área)

   Un rectángulo tiene un área de $8x^3 + 12x^2$ cm² y su base mide $4x$ cm. a) Calcula la expresión de su altura. b) Si $x = 5$, ¿cuánto miden la base y la altura? Comprueba el área.

   Resolución

   a) Altura = área : base: $$(8x^3 + 12x^2) : 4x = 2x^2 + 3x$$ La altura mide $2x^2 + 3x$ cm.

   b) Base: $4 \cdot 5 = 20$ cm. Altura: $2 \cdot 25 + 15 = 65$ cm. Área: $20 \cdot 65 = 1300$ cm². Con la expresión: $8 \cdot 125 + 12 \cdot 25 = 1000 + 300 = 1300$ cm² ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Calcula: a) $15x^4 : 5x$ b) $-8x^3y^2 : 2xy$ c) $7x^5 : 7x^5$ d) $6x^2 : (-3x^2)$

   Ver solución

   a) $3x^3$ b) $-4x^2y$ c) $1$ d) $-2$

   a) $\dfrac{15}{5}x^{4 - 1} = 3x^3$ b) $\dfrac{-8}{2}x^{3 - 1}y^{2 - 1} = -4x^2y$ c) $1$ (todo número o monomio no nulo dividido entre sí mismo da 1) d) $\dfrac{6}{-3}x^{0} = -2$

2. 2. Fácil

   Calcula y comprueba uno de los resultados multiplicando: a) $(12x^3 + 8x^2 - 4x) : 4x$ b) $(10x^5 - 15x^3) : 5x^3$ c) $(-6x^4 + 9x^3 - 3x^2) : (-3x^2)$

   Ver solución

   a) $3x^2 + 2x - 1$ b) $2x^2 - 3$ c) $2x^2 - 3x + 1$

   a) $12x^3 : 4x = 3x^2$; $8x^2 : 4x = 2x$; $-4x : 4x = -1$ → $3x^2 + 2x - 1$ b) $10x^5 : 5x^3 = 2x^2$; $-15x^3 : 5x^3 = -3$ → $2x^2 - 3$ c) Al dividir entre un número negativo cambian todos los signos: $2x^2 - 3x + 1$ Comprobación de a): $4x \cdot (3x^2 + 2x - 1) = 12x^3 + 8x^2 - 4x$ ✔

3. 3. Media

   Indica en qué casos el cociente es un polinomio y calcúlalo: a) $(4x^3 - 2x) : 2x$ b) $(x^4 + 3x^2 + 5) : x^2$ c) $(9x^2y - 6xy^2) : 3xy$

   Ver solución

   a) Sí: $2x^2 - 1$ b) No c) Sí: $3x - 2y$

   a) $4x^3 : 2x = 2x^2$ y $-2x : 2x = -1$. Es un polinomio: $2x^2 - 1$. b) $x^4 : x^2 = x^2$ y $3x^2 : x^2 = 3$, pero $5 : x^2 = \dfrac{5}{x^2}$ no es un monomio. No es un polinomio. c) $9x^2y : 3xy = 3x$ y $-6xy^2 : 3xy = -2y$. Es un polinomio: $3x - 2y$.

4. 4. Difícil

   Una caja con forma de prisma tiene un volumen de $12x^4 - 18x^3 + 6x^2$ cm³ y el área de su base es $6x^2$ cm². a) Calcula la expresión de su altura. b) Calcula la altura para $x = 3$ y comprueba el resultado con el volumen.

   Ver solución

   a) $2x^2 - 3x + 1$ cm b) 10 cm.

   a) Volumen = área de la base · altura, así que altura = volumen : área de la base: $(12x^4 - 18x^3 + 6x^2) : 6x^2 = 2x^2 - 3x + 1$ cm b) Con $x = 3$: altura $= 18 - 9 + 1 = 10$ cm. Comprobación: volumen $= 12 \cdot 81 - 18 \cdot 27 + 6 \cdot 9 = 972 - 486 + 54 = 540$ cm³; base $= 6 \cdot 9 = 54$ cm²; $540 : 54 = 10$ cm ✔

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Calcula: a) $20x^6 : 4x^3$ b) $-9x^2y^3 : 3y^2$ c) $\dfrac{1}{2}x^4 : 2x$

   Ver solución

   a) $5x^3$ b) $-3x^2y$ c) $\dfrac{1}{4}x^3$

   a) $\dfrac{20}{4}x^{6 - 3} = 5x^3$ b) $\dfrac{-9}{3}x^2y^{3 - 2} = -3x^2y$ c) $\dfrac{1}{2} : 2 = \dfrac{1}{4}$ y $x^4 : x = x^3$ → $\dfrac{1}{4}x^3$

2. 2. Media

   Calcula: a) $(14x^4 - 21x^3 + 7x) : 7x$ b) $(-5x^6 + 10x^4 + 15x^2) : 5x^2$ c) $(8x^3y - 4x^2y^2) : (-4x^2y)$

   Ver solución

   a) $2x^3 - 3x^2 + 1$ b) $-x^4 + 2x^2 + 3$ c) $-2x + y$

   a) $14x^4 : 7x = 2x^3$; $-21x^3 : 7x = -3x^2$; $7x : 7x = 1$ → $2x^3 - 3x^2 + 1$ b) $-5x^6 : 5x^2 = -x^4$; $10x^4 : 5x^2 = 2x^2$; $15x^2 : 5x^2 = 3$ → $-x^4 + 2x^2 + 3$ c) $8x^3y : (-4x^2y) = -2x$; $-4x^2y^2 : (-4x^2y) = y$ → $-2x + y$

3. 3. Media

   ¿En qué casos el cociente es un polinomio? Calcúlalo cuando lo sea. a) $(6x^3 - 3x + 1) : 3x$ b) $(2x^5 - 8x^3) : 2x^3$ c) $(x^3 + x) : x^3$

   Ver solución

   a) No b) Sí: $x^2 - 4$ c) No

   a) $1 : 3x = \dfrac{1}{3x}$ no es un monomio → no es un polinomio. b) $2x^5 : 2x^3 = x^2$; $-8x^3 : 2x^3 = -4$ → $x^2 - 4$. c) $x^3 : x^3 = 1$, pero $x : x^3 = \dfrac{1}{x^2}$ → no es un polinomio.

4. 4. Media

   Un grupo de $3x$ amigos compra entradas para un partido en el Metropolitano. En total pagan $9x^2 + 15x$ euros y se lo reparten a partes iguales. a) ¿Cuánto paga cada uno? b) Si son 12 amigos, ¿cuánto vale $x$? ¿Cuánto pagan en total y cuánto cada uno?

   Ver solución

   a) $3x + 5$ euros b) x = 4; 204 € en total y 17 € cada uno.

   a) $(9x^2 + 15x) : 3x = 3x + 5$ euros cada uno. b) $3x = 12$, así que $x = 4$. Total: $9 \cdot 16 + 15 \cdot 4 = 144 + 60 = 204$ €. Cada uno: $3 \cdot 4 + 5 = 17$ €. Comprobación: $204 : 12 = 17$ ✔