Operaciones combinadas largas y comprobación con valores numéricos

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorElevar al cubo término a término: $(x + 1)^3 = x^3 + 1$.

  Cómo corregirloMultiplica: $(x + 1)^3 = (x^2 + 2x + 1)(x + 1) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

• ErrorComprobar con $x = 0$ o $x = 1$ y dar por buena una simplificación errónea.

  Cómo corregirloCon $x = 0$ desaparecen todos los términos con $x$, y con $x = 1$ todas las potencias valen lo mismo. Usa $x = 2$ o $x = 3$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Fracciones y un cubo numérico (fracciones)

   Simplifica $\left(\dfrac{x}{2} - 1\right)^2 - (x + 1)^3$ y comprueba con $x = 2$.

   Resolución

   1. $\left(\dfrac{x}{2} - 1\right)^2 = \dfrac{x^2}{4} - x + 1$
   2. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
   3. Restamos: $$\dfrac{x^2}{4} - x + 1 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = -x^3 - \dfrac{11}{4}x^2 - 4x$$ Comprobación con $x = 2$: inicial, $(1 - 1)^2 - 3^3 = 0 - 27 = -27$; resultado, $-8 - 11 - 8 = -27$ ✔

2. Ejemplo 2. ¿Dónde está el error? análisis de errores (comprobación numérica)

   Un alumno ha simplificado así: $$(x - 3)^2 - 2(x + 1)(x - 1) = x^2 - 9 - 2x^2 - 2 = -x^2 - 11$$ a) Comprueba con $x = 2$ que el resultado está mal. b) Encuentra los errores y simplifica correctamente.

   Resolución

   a) Inicial: $(-1)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 6 = -5$. Su resultado: $-4 - 11 = -15$. No coinciden: hay un error.

   b) Hay dos errores:

   • $(x - 3)^2$ no es $x^2 - 9$; falta el doble producto y el signo de 9: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
   • $-2(x^2 - 1) = -2x^2 + 2$, no $-2x^2 - 2$.

   Correcto: $(x^2 - 6x + 9) - 2(x^2 - 1) = x^2 - 6x + 9 - 2x^2 + 2 = -x^2 - 6x + 11$. Comprobación con $x = 2$: $-4 - 12 + 11 = -5$ ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Difícil

   Simplifica y comprueba con $x = 3$: $$\left(\dfrac{2x}{3} + 1\right)\left(\dfrac{2x}{3} - 1\right) - \left(\dfrac{x}{3} - 2\right)^2$$

   Ver solución

   $\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{4x}{3} - 5$; con x = 3 vale 2.

   $\left(\dfrac{4x^2}{9} - 1\right) - \left(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{4x}{3} + 4\right) = \dfrac{4x^2}{9} - 1 - \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{4x}{3} - 4 = \dfrac{3x^2}{9} + \dfrac{4x}{3} - 5 = \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{4x}{3} - 5$ Con $x = 3$: inicial, $3 \cdot 1 - (-1)^2 = 2$; resultado, $3 + 4 - 5 = 2$ ✔

2. 2. Difícil

   Simplifica $(x - 2)^3 - x \cdot (x - 3)^2$ y comprueba con $x = 2$.

   Ver solución

   $3x - 8$; con x = 2 vale −2.

   $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$; $x \cdot (x - 3)^2 = x \cdot (x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$. $(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - (x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x - 8$ Con $x = 2$: inicial, $0 - 2 \cdot 1 = -2$; resultado, $6 - 8 = -2$ ✔

3. 3. Media

   Lucía ha simplificado así: $$\dfrac{1}{2}(x + 4)^2 - (x + 2)(x - 2) = \dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 8 - x^2 - 4 = -\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 4$$ Comprueba con $x = 2$ si es correcto. Si no lo es, localiza el error y corrígelo.

   Ver solución

   Está mal (da 10 y debería dar 18). El error es el signo del 4; el resultado correcto es $-\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 12$.

   Inicial con $x = 2$: $\dfrac{1}{2} \cdot 36 - 4 \cdot 0 = 18$. El resultado de Lucía: $-2 + 8 + 4 = 10$. No coinciden. El primer paso está bien: $\dfrac{1}{2}(x^2 + 8x + 16) = \dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 8$. El error está en la resta: $-(x^2 - 4) = -x^2 + 4$, no $-x^2 - 4$. Correcto: $\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 8 - x^2 + 4 = -\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 12$. Con $x = 2$: $-2 + 8 + 12 = 18$ ✔

Para practicar más

1. 1. Difícil

   Simplifica: a) $\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 - \left(\dfrac{x}{2} - 3\right)\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)$ b) $(x + 2)^3 - (x - 2)^3$

   Ver solución

   a) $3x + 18$ b) $12x^2 + 16$

   a) $\left(\dfrac{x^2}{4} + 3x + 9\right) - \left(\dfrac{x^2}{4} - 9\right) = 3x + 18$ b) $(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 12x^2 + 16$

2. 2. Difícil

   Simplifica y comprueba con $x = 2$: $$\dfrac{1}{2}(2x - 4)^2 - 3(x - 1)(x + 1) + (x + 1)^3$$

   Ver solución

   $x^3 + 2x^2 - 5x + 12$; con x = 2 vale 18.

   $\dfrac{1}{2}(4x^2 - 16x + 16) = 2x^2 - 8x + 8$; $3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$; $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$. $2x^2 - 8x + 8 - 3x^2 + 3 + x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 2x^2 - 5x + 12$ Con $x = 2$: inicial, $0 - 3 \cdot 1 \cdot 3 + 27 = 18$; resultado, $8 + 8 - 10 + 12 = 18$ ✔

3. 3. Difícil

   Marcos ha simplificado así: $$(2x + 1)^2 - (x - 3)(x + 3) - 3x \cdot (x + 1) = 4x^2 + 1 - x^2 - 9 - 3x^2 + 3x = 3x - 8$$ a) Comprueba con $x = 2$ que hay algún error. b) Encuentra los tres errores y da el resultado correcto.

   Ver solución

   a) Debería dar 12 y da −2. b) $x + 10$

   a) Inicial: $5^2 - (-1) \cdot 5 - 6 \cdot 3 = 25 + 5 - 18 = 12$. El de Marcos: $6 - 8 = -2$. No coinciden. b) Errores: 1) $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ (falta $4x$); 2) $-(x^2 - 9) = -x^2 + 9$ (no $-9$); 3) $-3x \cdot (x + 1) = -3x^2 - 3x$ (no $+3x$). Correcto: $4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 9 - 3x^2 - 3x = x + 10$. Con $x = 2$: $12$ ✔