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Explicación

La división entera, como con números

Al dividir $17$ entre $5$ obtenemos cociente $3$ y resto $2$ , porque $17 = 5 \cdot 3 + 2$ y el resto es menor que el divisor. Con polinomios ocurre lo mismo:

$D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$

donde $D$ es el dividendo, $d$ el divisor, $C$ el cociente y $R$ el resto, y el grado del resto es menor que el grado del divisor. Si el divisor es de grado 1, el resto es un número. Si $R(x) = 0$ , la división es exacta.

El algoritmo, paso a paso

Dividimos $(2x^3 - 3x^2 + x - 5) : (x - 2)$ :

Ordena dividendo y divisor de mayor a menor grado (si falta algún término, deja un hueco).
Divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor: $2x^3 : x = 2x^2$ . Es el primer término del cociente.
Multiplica ese término por el divisor, $2x^2 \cdot (x - 2) = 2x^3 - 4x^2$ , y escríbelo debajo del dividendo cambiado de signo: $-2x^3 + 4x^2$ .
Suma: queda $x^2 + x - 5$ .
Repite con lo que queda hasta que su grado sea menor que el del divisor.

$\begin{array}{rrrr|l} 2x^3 & -3x^2 & +x & -5 & \underline{x - 2} \\ \underline{-2x^3} & \underline{+4x^2} & & & 2x^2 + x + 3 \\ & x^2 & +x & -5 & \\ & \underline{-x^2} & \underline{+2x} & & \\ & & 3x & -5 & \\ & & \underline{-3x} & \underline{+6} & \\ & & & 1 & \end{array}$

Cociente: $C(x) = 2x^2 + x + 3$ . Resto: $R = 1$ .

Comprobación: $(x - 2)(2x^2 + x + 3) + 1 = 2x^3 + x^2 + 3x - 4x^2 - 2x - 6 + 1 = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$ ✔

El grado del cociente es el grado del dividendo menos el del divisor: aquí, $3 - 1 = 2$ .

Puntos clave

$D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$ , con grado de $R$ menor que el de $d$ .
Si el divisor es de grado 1, el resto es un número.
Cada paso: dividir primeros términos, multiplicar por el divisor, cambiar de signo y sumar.
Se para cuando lo que queda tiene menor grado que el divisor.
Grado del cociente = grado del dividendo − grado del divisor.
Comprueba siempre con $D = d \cdot C + R$ .

Errores frecuentes

ErrorRestar sin cambiar el signo de todos los términos del producto.
Cómo corregirloEscribe el producto ya cambiado de signo debajo del dividendo y suma. Así solo hay que sumar columnas.
ErrorSeguir dividiendo cuando lo que queda ya es un número (o tiene menor grado que el divisor).
Cómo corregirloSi el grado de lo que queda es menor que el del divisor, eso es el resto: la división ha terminado.
ErrorDesordenar las columnas y sumar términos de distinto grado.
Cómo corregirloEscribe cada término debajo de su semejante: $x^3$ bajo $x^3$ , $x^2$ bajo $x^2$ … Si falta un término, deja su hueco.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una división explicada paso a paso numérico
Divide $(3x^3 + 5x^2 - 4x + 2) : (x + 2)$ e indica el cociente y el resto.

Resolución
1. $3x^3 : x = 3x^2$ . Multiplicamos $3x^2 \cdot (x + 2) = 3x^3 + 6x^2$ ; lo escribimos cambiado de signo y sumamos: queda $-x^2 - 4x + 2$ .
2. $-x^2 : x = -x$ . Multiplicamos $-x \cdot (x + 2) = -x^2 - 2x$ ; cambiado de signo, $+x^2 + 2x$ , y sumando: queda $-2x + 2$ .
3. $-2x : x = -2$ . Multiplicamos $-2 \cdot (x + 2) = -2x - 4$ ; cambiado de signo, $+2x + 4$ , y sumando: queda $6$ .
4. $6$ tiene grado 0, menor que el del divisor: es el resto.
$\begin{array}{rrrr|l} 3x^3 & +5x^2 & -4x & +2 & \underline{x + 2} \\ \underline{-3x^3} & \underline{-6x^2} & & & 3x^2 - x - 2 \\ & -x^2 & -4x & +2 & \\ & \underline{+x^2} & \underline{+2x} & & \\ & & -2x & +2 & \\ & & \underline{+2x} & \underline{+4} & \\ & & & 6 & \end{array}$

$C(x) = 3x^2 - x - 2$ y $R = 6$ .

Comprobación: $(x + 2)(3x^2 - x - 2) + 6 = 3x^3 - x^2 - 2x + 6x^2 - 2x - 4 + 6 = 3x^3 + 5x^2 - 4x + 2$ ✔
Ejemplo 2. Divisor con coeficiente distinto de 1 y comprobación numérico (comprobación)
Divide $(6x^2 + x - 4) : (2x + 1)$ y comprueba el resultado con $D = d \cdot C + R$ .

Resolución
1. $6x^2 : 2x = 3x$ . $3x \cdot (2x + 1) = 6x^2 + 3x$ ; cambiado de signo y sumando: $-2x - 4$ .
2. $-2x : 2x = -1$ . $-1 \cdot (2x + 1) = -2x - 1$ ; cambiado de signo, $+2x + 1$ , y sumando: $-3$ .
$\begin{array}{rrr|l} 6x^2 & +x & -4 & \underline{2x + 1} \\ \underline{-6x^2} & \underline{-3x} & & 3x - 1 \\ & -2x & -4 & \\ & \underline{+2x} & \underline{+1} & \\ & & -3 & \end{array}$

$C(x) = 3x - 1$ y $R = -3$ .

Comprobación: $(2x + 1)(3x - 1) + (-3) = 6x^2 - 2x + 3x - 1 - 3 = 6x^2 + x - 4$ ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Divide $(x^2 + 5x + 7) : (x + 2)$ e indica el cociente y el resto.

Ver solución
$C(x) = x + 3$ ; $R = 1$
$\begin{array}{rrr|l} x^2 & +5x & +7 & \underline{x + 2} \\ \underline{-x^2} & \underline{-2x} & & x + 3 \\ & 3x & +7 & \\ & \underline{-3x} & \underline{-6} & \\ & & 1 & \end{array}$ Comprobación: $(x + 2)(x + 3) + 1 = x^2 + 5x + 6 + 1 = x^2 + 5x + 7$ ✔
2. Media
Divide $(3x^3 - x^2 + 2x + 4) : (x + 1)$ y comprueba el resultado.

Ver solución
$C(x) = 3x^2 - 4x + 6$ ; $R = -2$
$\begin{array}{rrrr|l} 3x^3 & -x^2 & +2x & +4 & \underline{x + 1} \\ \underline{-3x^3} & \underline{-3x^2} & & & 3x^2 - 4x + 6 \\ & -4x^2 & +2x & +4 & \\ & \underline{+4x^2} & \underline{+4x} & & \\ & & 6x & +4 & \\ & & \underline{-6x} & \underline{-6} & \\ & & & -2 & \end{array}$ Comprobación: $(x + 1)(3x^2 - 4x + 6) - 2 = 3x^3 - x^2 + 2x + 6 - 2 = 3x^3 - x^2 + 2x + 4$ ✔
3. Media
Un panel solar rectangular tiene un área de $2x^2 + 7x + 6$ dm² y uno de sus lados mide $x + 2$ dm. a) ¿Cuánto mide el otro lado? b) Comprueba el resultado con $x = 4$ .

Ver solución
a) $2x + 3$ dm (división exacta). b) Con x = 4: 6 dm · 11 dm = 66 dm².
$\begin{array}{rrr|l} 2x^2 & +7x & +6 & \underline{x + 2} \\ \underline{-2x^2} & \underline{-4x} & & 2x + 3 \\ & 3x & +6 & \\ & \underline{-3x} & \underline{-6} & \\ & & 0 & \end{array}$ a) La división es exacta: el otro lado mide $2x + 3$ dm. b) Con $x = 4$ : lados $6$ dm y $11$ dm; $6 \cdot 11 = 66$ dm². Con la expresión: $32 + 28 + 6 = 66$ dm² ✔
4. Difícil
Divide $(4x^3 + 4x^2 - 5x + 3) : (2x - 1)$ y comprueba el resultado.

Ver solución
$C(x) = 2x^2 + 3x - 1$ ; $R = 2$
$\begin{array}{rrrr|l} 4x^3 & +4x^2 & -5x & +3 & \underline{2x - 1} \\ \underline{-4x^3} & \underline{+2x^2} & & & 2x^2 + 3x - 1 \\ & 6x^2 & -5x & +3 & \\ & \underline{-6x^2} & \underline{+3x} & & \\ & & -2x & +3 & \\ & & \underline{+2x} & \underline{-1} & \\ & & & 2 & \end{array}$ Comprobación: $(2x - 1)(2x^2 + 3x - 1) + 2 = 4x^3 + 6x^2 - 2x - 2x^2 - 3x + 1 + 2 = 4x^3 + 4x^2 - 5x + 3$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Divide $(x^2 - 3x + 8) : (x - 1)$ e indica el cociente y el resto.

Ver solución
$C(x) = x - 2$ ; $R = 6$
$\begin{array}{rrr|l} x^2 & -3x & +8 & \underline{x - 1} \\ \underline{-x^2} & \underline{+x} & & x - 2 \\ & -2x & +8 & \\ & \underline{+2x} & \underline{-2} & \\ & & 6 & \end{array}$ Comprobación: $(x - 1)(x - 2) + 6 = x^2 - 3x + 2 + 6 = x^2 - 3x + 8$ ✔
2. Media
Divide $(2x^3 + x^2 - 4x + 1) : (x + 2)$ y comprueba el resultado.

Ver solución
$C(x) = 2x^2 - 3x + 2$ ; $R = -3$
$\begin{array}{rrrr|l} 2x^3 & +x^2 & -4x & +1 & \underline{x + 2} \\ \underline{-2x^3} & \underline{-4x^2} & & & 2x^2 - 3x + 2 \\ & -3x^2 & -4x & +1 & \\ & \underline{+3x^2} & \underline{+6x} & & \\ & & 2x & +1 & \\ & & \underline{-2x} & \underline{-4} & \\ & & & -3 & \end{array}$ Comprobación: $(x + 2)(2x^2 - 3x + 2) - 3 = 2x^3 + x^2 - 4x + 4 - 3 = 2x^3 + x^2 - 4x + 1$ ✔
3. Media
Divide $(6x^3 - 5x^2 + 4x - 1) : (3x - 1)$ . ¿Es exacta la división?

Ver solución
$C(x) = 2x^2 - x + 1$ ; $R = 0$ : sí, es exacta.
$\begin{array}{rrrr|l} 6x^3 & -5x^2 & +4x & -1 & \underline{3x - 1} \\ \underline{-6x^3} & \underline{+2x^2} & & & 2x^2 - x + 1 \\ & -3x^2 & +4x & -1 & \\ & \underline{+3x^2} & \underline{-x} & & \\ & & 3x & -1 & \\ & & \underline{-3x} & \underline{+1} & \\ & & & 0 & \end{array}$ El resto es 0: la división es exacta y $6x^3 - 5x^2 + 4x - 1 = (3x - 1)(2x^2 - x + 1)$ .
4. Difícil
En una carrera solidaria por el Retiro se reparten $2x^2 + 9x + 11$ botellas de agua entre $x + 3$ puestos de avituallamiento, el mismo número de botellas en cada puesto. a) Haz la división: ¿cuántas botellas van a cada puesto y cuántas sobran? b) Comprueba el resultado con $x = 10$ .

Ver solución
a) $2x + 3$ botellas por puesto y sobran 2. b) 301 botellas, 13 puestos, 23 por puesto y sobran 2.
$\begin{array}{rrr|l} 2x^2 & +9x & +11 & \underline{x + 3} \\ \underline{-2x^2} & \underline{-6x} & & 2x + 3 \\ & 3x & +11 & \\ & \underline{-3x} & \underline{-9} & \\ & & 2 & \end{array}$ a) Cada puesto recibe $2x + 3$ botellas y sobran $2$ . b) Con $x = 10$ : hay $200 + 90 + 11 = 301$ botellas y $13$ puestos; a cada puesto, $2 \cdot 10 + 3 = 23$ botellas. $13 \cdot 23 + 2 = 299 + 2 = 301$ ✔

División de polinomios: divisor de grado 1