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Matemáticas 3.º ESO · Operaciones combinadas con polinomios

Operaciones combinadas con identidades notables y corchetes

Objetivo: Al terminar, sabrás simplificar expresiones con paréntesis, corchetes, potencias e identidades notables respetando la jerarquía de las operaciones.

Explicación

Jerarquía completa

Ahora las expresiones pueden llevar identidades notables, números multiplicando y corchetes. El orden es:

Lo de dentro de los paréntesis y corchetes, empezando por los más interiores.
Las potencias: los cuadrados de binomios se desarrollan con las identidades notables.
Los productos: suma por diferencia, productos de binomios y números que multiplican a un paréntesis.
Las sumas y restas.

Método

Desarrolla cada identidad o producto y escribe el resultado entre paréntesis.
Si un número multiplica a ese paréntesis, multiplícalo por todos sus términos.
Quita los paréntesis cuidando los signos y reduce los términos semejantes.

Ejemplo de un número delante de una identidad: $5 - 2(x - 3)^2 = 5 - 2(x^2 - 6x + 9) = 5 - 2x^2 + 12x - 18 = -2x^2 + 12x - 13$

Primero el cuadrado y después el $-2$ : no se puede multiplicar $2 \cdot (x - 3)$ y elevar luego al cuadrado.

Corchetes

Con paréntesis dentro de corchetes, trabaja de dentro hacia fuera: $5 - 2\left[x - (x + 1)^2\right] = 5 - 2\left[x - x^2 - 2x - 1\right] = 5 - 2\left[-x^2 - x - 1\right] = 2x^2 + 2x + 7$

Puntos clave

Orden: paréntesis y corchetes (de dentro afuera), potencias, productos, sumas y restas.
Desarrolla cada identidad notable entre paréntesis.
Un número delante de un cuadrado multiplica después de desarrollar el cuadrado.
Un $-$ delante de un paréntesis o corchete cambia el signo de todos los términos.
Comprueba con un valor de $x$ en la expresión y en el resultado.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar el número antes de elevar: $2(x - 3)^2 = (2x - 6)^2$ .
Cómo corregirloLa potencia va antes que el producto: $2(x - 3)^2 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2x^2 - 12x + 18$ .
ErrorRestar una identidad sin paréntesis: $x^2 - (x - 2)^2 = x^2 - x^2 - 4x + 4$ .
Cómo corregirloEscribe $x^2 - (x^2 - 4x + 4)$ y cambia los tres signos: $x^2 - x^2 + 4x - 4 = 4x - 4$ .
ErrorQuitar primero el corchete exterior sin haber operado lo de dentro.
Cómo corregirloSimplifica primero el paréntesis más interior; el corchete se quita al final, con su signo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres productos con identidades numérico
Simplifica $(2x - 1)^2 - 3(x + 2)(x - 2) + x \cdot (x - 4)$ y comprueba con $x = 1$ .

Resolución
1. Desarrollamos cada parte entre paréntesis: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \qquad 3(x + 2)(x - 2) = 3(x^2 - 4) = 3x^2 - 12 \qquad x \cdot (x - 4) = x^2 - 4x$
2. Sustituimos y quitamos paréntesis: $(4x^2 - 4x + 1) - (3x^2 - 12) + (x^2 - 4x) = 4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 + 12 + x^2 - 4x$
3. Reducimos: $2x^2 - 8x + 13$ .
Comprobación con $x = 1$ : expresión inicial, $1^2 - 3 \cdot 3 \cdot (-1) + 1 \cdot (-3) = 1 + 9 - 3 = 7$ ; resultado, $2 - 8 + 13 = 7$ ✔
Ejemplo 2. El marco de una foto situación real (áreas)
Una foto cuadrada de $x - 3$ dm de lado lleva un marco, también cuadrado, de $x + 3$ dm de lado exterior. a) Escribe y simplifica el área del marco (la parte que no ocupa la foto). b) Comprueba el resultado con $x = 5$ .

Resolución
a) Área del marco = área exterior − área de la foto: $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x$ El marco ocupa $12x$ dm².

b) Con $x = 5$ : lado exterior $8$ dm y foto de $2$ dm de lado. $8^2 - 2^2 = 64 - 4 = 60$ dm², y $12 \cdot 5 = 60$ dm² ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Simplifica: a) $(x + 3)^2 - x \cdot (x + 6)$ b) $(x - 2)^2 + (x + 1)(x - 1)$

Ver solución
a) $9$ b) $2x^2 - 4x + 3$
a) $(x^2 + 6x + 9) - (x^2 + 6x) = 9$ b) $(x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 1) = 2x^2 - 4x + 3$
2. Media
Simplifica: a) $2(x - 3)^2 - (x + 4)(x - 4)$ b) $4x \cdot (x - 1) - (2x - 1)^2$

Ver solución
a) $x^2 - 12x + 34$ b) $-1$
a) $2(x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 16) = 2x^2 - 12x + 18 - x^2 + 16 = x^2 - 12x + 34$ b) $(4x^2 - 4x) - (4x^2 - 4x + 1) = 4x^2 - 4x - 4x^2 + 4x - 1 = -1$
3. Media
Simplifica: a) $3x - \left[x^2 - (x - 2)^2\right]$ b) $\left[(x + 1)^2 - x^2\right] \cdot (x - 1)$

Ver solución
a) $-x + 4$ b) $2x^2 - x - 1$
a) Dentro del corchete: $x^2 - (x^2 - 4x + 4) = 4x - 4$ . Entonces $3x - (4x - 4) = 3x - 4x + 4 = -x + 4$ . b) Dentro del corchete: $(x^2 + 2x + 1) - x^2 = 2x + 1$ . Entonces $(2x + 1)(x - 1) = 2x^2 - 2x + x - 1 = 2x^2 - x - 1$ .
4. Difícil
Un salón cuadrado mide $x + 4$ metros de lado. En él se coloca una alfombra rectangular de $x + 2$ metros por $x - 2$ metros. a) Escribe y simplifica el área del suelo que queda sin alfombra. b) Comprueba el resultado con $x = 3$ .

Ver solución
a) $8x + 20$ m² b) Con x = 3: 44 m².
a) $(x + 4)^2 - (x + 2)(x - 2) = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 4) = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 4 = 8x + 20$ m² b) Con $x = 3$ : salón de $7$ m de lado ( $49$ m²) y alfombra de $5$ m por $1$ m ( $5$ m²); $49 - 5 = 44$ m². Con el resultado: $8 \cdot 3 + 20 = 44$ m² ✔

Para practicar más

1. Fácil
Simplifica: a) $(x - 4)^2 - x \cdot (x - 8)$ b) $(x + 6)(x - 6) + (x + 6)^2$

Ver solución
a) $16$ b) $2x^2 + 12x$
a) $(x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 8x) = 16$ b) $(x^2 - 36) + (x^2 + 12x + 36) = 2x^2 + 12x$
2. Media
Simplifica: a) $3(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2$ b) $(x^2 - 1)^2 - (x^2 + 1)(x^2 - 1)$

Ver solución
a) $x^2 + 10x + 1$ b) $-2x^2 + 2$
a) $3(x^2 + 2x + 1) - 2(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3 - 2x^2 + 4x - 2 = x^2 + 10x + 1$ b) $(x^4 - 2x^2 + 1) - (x^4 - 1) = x^4 - 2x^2 + 1 - x^4 + 1 = -2x^2 + 2$
3. Media
Simplifica: a) $2x - \left[5 - (x + 3)(x - 3)\right]$ b) $x \cdot \left[(x - 1)^2 - (x + 1)^2\right]$

Ver solución
a) $x^2 + 2x - 14$ b) $-4x^2$
a) Dentro: $5 - (x^2 - 9) = 14 - x^2$ . Entonces $2x - (14 - x^2) = x^2 + 2x - 14$ . b) Dentro: $(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1) = -4x$ . Entonces $x \cdot (-4x) = -4x^2$ .
4. Difícil
Para hacer una caja sin tapa se parte de una lámina cuadrada de cartón de $x + 6$ cm de lado. En cada esquina se recorta un cuadrado de 3 cm de lado y se doblan las solapas hacia arriba. a) Escribe y simplifica el área de cartón que queda después de recortar las esquinas. b) La base de la caja es un cuadrado de $x$ cm de lado y su altura es 3 cm. Escribe su volumen. c) Calcula el área de a) y el volumen de b) para $x = 10$ .

Ver solución
a) $x^2 + 12x$ cm² b) $3x^2$ cm³ c) 220 cm² y 300 cm³.
a) $(x + 6)^2 - 4 \cdot 3^2 = (x^2 + 12x + 36) - 36 = x^2 + 12x$ cm² b) $V = x \cdot x \cdot 3 = 3x^2$ cm³ c) Área: $100 + 120 = 220$ cm² (comprobación: $16^2 - 36 = 256 - 36 = 220$ ✔). Volumen: $3 \cdot 100 = 300$ cm³.