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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Recuerda: suma y resta de polinomios

Objetivo: Al terminar, sabrás sumar y restar dos polinomios en línea y en columna, reduciendo términos semejantes y cambiando bien los signos en la resta.

Recuerda

Suma y resta de polinomios

Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes): $3x^2$ y $-5x^2$ son semejantes; $3x^2$ y $3x$ no lo son. Solo los términos semejantes se pueden juntar en uno.

Sumar dos polinomios es reducir sus términos semejantes: se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal. $(3x^2 - x + 4) + (x^2 + 5x - 6) = 4x^2 + 4x - 2$

Restar es sumar el opuesto: se cambia el signo de todos los términos del polinomio que se resta y se reduce. $(3x^2 - x + 4) - (x^2 + 5x - 6) = 3x^2 - x + 4 - x^2 - 5x + 6 = 2x^2 - 6x + 10$

Se puede hacer en línea (como arriba) o en columna: se ordenan los polinomios de mayor a menor grado, se colocan los términos semejantes uno debajo de otro y se deja un hueco donde falte algún grado.

El grado del resultado. La suma o la resta de dos polinomios tiene, como mucho, el grado del mayor. Puede tener un grado menor si los términos de mayor grado se anulan: $(2x^3 + x) + (-2x^3 + 5) = x + 5$ .

Comprobación. Puedes comprobar una suma o una resta con un valor numérico: si $R = P - Q$ , para cualquier valor de $x$ se cumple $R(x) = P(x) - Q(x)$ .

Puntos clave

Solo se suman o restan términos semejantes: $3x^2 + 2x$ no se puede reducir más.
Al sumar términos semejantes, el exponente no cambia: $x^2 + x^2 = 2x^2$ .
Para restar, cambia el signo de todos los términos del segundo polinomio.
En columna: ordena, alinea por grados y deja hueco donde falte un término.

Errores frecuentes

ErrorAl restar, cambiar solo el signo del primer término: $(\ldots) - (x^2 + 5x - 6) = \ldots - x^2 + 5x - 6$ .
Cómo corregirloEl signo menos afecta a todo el paréntesis: $-(x^2 + 5x - 6) = -x^2 - 5x + 6$ .
ErrorSumar los exponentes: $x^2 + x^2 = x^4$ .
Cómo corregirloAl sumar se suman los coeficientes, no los exponentes: $x^2 + x^2 = 2x^2$ . (Los exponentes se suman al multiplicar.)
ErrorJuntar términos no semejantes: $3x^2 + 2x = 5x^3$ .
Cómo corregirloSi la parte literal es distinta, se dejan indicados: $3x^2 + 2x$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Suma y resta en línea numérico
Dados $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ y $Q(x) = x^3 + 4x^2 - 7$ , calcula $P(x) + Q(x)$ y $P(x) - Q(x)$ .

Resolución
Suma: juntamos los semejantes. $P + Q = (3x^3 + x^3) + (-2x^2 + 4x^2) + 5x + (-1 - 7) = 4x^3 + 2x^2 + 5x - 8$

Resta: cambiamos el signo de todos los términos de $Q$ . $P - Q = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 - x^3 - 4x^2 + 7 = 2x^3 - 6x^2 + 5x + 6$
Ejemplo 2. Resta en columna con huecos en columna
Calcula en columna $A(x) - B(x)$ , siendo $A(x) = 5x^4 - 3x^2 + x - 2$ y $B(x) = 2x^4 + x^3 - 3x^2 + 4$ .

Resolución
A $A$ le falta el término en $x^3$ y a $B$ el término en $x$ : dejamos huecos. Escribimos $A$ y, debajo, el opuesto de $B$ :

$\begin{array}{rrrrr} 5x^4 & & -3x^2 & +x & -2 \\ -2x^4 & -x^3 & +3x^2 & & -4 \\ \hline 3x^4 & -x^3 & & +x & -6 \end{array}$

$A(x) - B(x) = 3x^4 - x^3 + x - 6$ (los términos en $x^2$ se anulan).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dados $P(x) = 2x^2 + 3x - 4$ y $Q(x) = -x^2 + 5x + 1$ , calcula en línea $P(x) + Q(x)$ y $P(x) - Q(x)$ .

Ver solución
$P + Q = x^2 + 8x - 3$ ; $\;P - Q = 3x^2 - 2x - 5$
$P + Q = (2 - 1)x^2 + (3 + 5)x + (-4 + 1) = x^2 + 8x - 3$ . $P - Q = 2x^2 + 3x - 4 + x^2 - 5x - 1 = 3x^2 - 2x - 5$ .
2. Media
Calcula en columna $R(x) + S(x)$ y $R(x) - S(x)$ , siendo $R(x) = x^3 - 6x + 2$ y $S(x) = 4x^3 + 2x^2 - x - 5$ .

Ver solución
$R + S = 5x^3 + 2x^2 - 7x - 3$ ; $\;R - S = -3x^3 - 2x^2 - 5x + 7$
En $R$ falta el término en $x^2$ : hueco.

$\begin{array}{rrrr} x^3 & & -6x & +2 \\ 4x^3 & +2x^2 & -x & -5 \\ \hline 5x^3 & +2x^2 & -7x & -3 \end{array} \qquad \begin{array}{rrrr} x^3 & & -6x & +2 \\ -4x^3 & -2x^2 & +x & +5 \\ \hline -3x^3 & -2x^2 & -5x & +7 \end{array}$
3. Media
Pablo ha hecho esta resta: $(4x^2 - 3x + 1) - (x^2 - 2x + 5) = 3x^2 - 5x + 6$ . Explica su error y escribe el resultado correcto.

Ver solución
Solo cambió el signo de $x^2$ ; el resultado correcto es $3x^2 - x - 4$ .
Pablo ha restado $x^2$ pero ha sumado $-2x$ y $5$ sin cambiarles el signo. Correcto: $4x^2 - 3x + 1 - x^2 + 2x - 5 = 3x^2 - x - 4$ .

Para practicar más

1. Fácil
Dados $P(x) = 6x^3 - x + 2$ y $Q(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x$ , calcula $P(x) + Q(x)$ y $P(x) - Q(x)$ .

Ver solución
$P + Q = 8x^3 + 3x^2 - 5x + 2$ ; $\;P - Q = 4x^3 - 3x^2 + 3x + 2$
$P + Q = (6 + 2)x^3 + 3x^2 + (-1 - 4)x + 2$ . $P - Q = 6x^3 - x + 2 - 2x^3 - 3x^2 + 4x = 4x^3 - 3x^2 + 3x + 2$ .
2. Media
Calcula en columna $A(x) + B(x)$ y $B(x) - A(x)$ , siendo $A(x) = x^4 - 2x^3 + 5$ y $B(x) = -3x^4 + x^2 - 2x - 1$ .

Ver solución
$A + B = -2x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 4$ ; $\;B - A = -4x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x - 6$
$\begin{array}{rrrrr} x^4 & -2x^3 & & & +5 \\ -3x^4 & & +x^2 & -2x & -1 \\ \hline -2x^4 & -2x^3 & +x^2 & -2x & +4 \end{array} \qquad \begin{array}{rrrrr} -3x^4 & & +x^2 & -2x & -1 \\ -x^4 & +2x^3 & & & -5 \\ \hline -4x^4 & +2x^3 & +x^2 & -2x & -6 \end{array}$

Ojo: en $B - A$ el que cambia de signo es $A$ .
3. Media
Un club de pádel de Alcobendas calcula que, si alquila sus pistas $x$ veces en un día, ingresa $I(x) = 12x + 30$ euros (alquileres y cafetería) y gasta $G(x) = 4x + 50$ euros (luz, limpieza y personal). a) Escribe el beneficio $B(x) = I(x) - G(x)$ . b) ¿Cuál es el beneficio un día con 10 alquileres?

Ver solución
a) $B(x) = 8x - 20$ b) 60 €
a) $B(x) = 12x + 30 - (4x + 50) = 12x + 30 - 4x - 50 = 8x - 20$ . b) $B(10) = 8 \cdot 10 - 20 = 60$ €. Comprobación: $I(10) = 150$ , $G(10) = 90$ , $150 - 90 = 60$ ✔.