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Matemáticas 3.º ESO · Expresiones algebraicas y polinomios: repaso

Ampliación: sumas y restas de varios polinomios con paréntesis

Objetivo: Al terminar, sabrás operar sumas y restas de varios polinomios con paréntesis y corchetes, cuidando el cambio de signo, y hallar el polinomio que falta en una suma o una resta.

Explicación

Varios polinomios y paréntesis

Cuando hay varios polinomios con paréntesis, se quitan los paréntesis y después se reducen los términos semejantes:

Un paréntesis precedido de + se quita sin cambiar nada.
Un paréntesis precedido de − se quita cambiando el signo de todos sus términos.
Si hay paréntesis dentro de corchetes, se empieza por el más interior.

$P - (Q - R) = P - Q + R$

Ejemplo: $(2x^2 - x) - \left[x^2 - (3x - 4)\right] = 2x^2 - x - \left[x^2 - 3x + 4\right] = 2x^2 - x - x^2 + 3x - 4 = x^2 + 2x - 4$

Polinomio desconocido

¿Qué polinomio $X$ hay que sumar a $P$ para obtener $Q$ ? $\;P + X = Q \Rightarrow X = Q - P$ .
¿Qué polinomio $X$ hay que restar a $P$ para obtener $Q$ ? $\;P - X = Q \Rightarrow X = P - Q$ .

Comprueba siempre el resultado haciendo la operación del enunciado.

Puntos clave

Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos sus términos.
$P - (Q - R) = P - Q + R$ : el término de $R$ acaba sumando.
Con corchetes, empieza por el paréntesis más interior.
Si $P + X = Q$ , entonces $X = Q - P$ ; si $P - X = Q$ , entonces $X = P - Q$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir $P - (Q - R) = P - Q - R$ .
Cómo corregirloEl menos de fuera cambia también el signo de $-R$ : queda $+R$ .
ErrorPara hallar el polinomio que sumado a $P$ da $Q$ , calcular $P - Q$ .
Cómo corregirloSi $P + X = Q$ , se despeja $X = Q - P$ . Comprueba: $P + (Q - P) = Q$ .
ErrorQuitar un corchete sin haber quitado antes el paréntesis interior y perder signos.
Cómo corregirloTrabaja de dentro hacia fuera y copia en cada paso todo lo que aún no has tocado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Resta con paréntesis numérico
Dados $P(x) = x^2 - 3x + 2$ , $Q(x) = 2x^2 + x - 5$ y $R(x) = -x^2 + 4x$ , calcula $P(x) - [Q(x) - R(x)]$ .

Resolución
Quitamos el corchete cambiando el signo de $Q$ y de $-R$ : $\;P - Q + R$ .

$x^2 - 3x + 2 - 2x^2 - x + 5 - x^2 + 4x$

Reducimos: $x^2$ : $1 - 2 - 1 = -2$ ; $\;x$ : $-3 - 1 + 4 = 0$ ; $\;$ números: $2 + 5 = 7$ .

Resultado: $-2x^2 + 7$ (el término en $x$ se anula).
Ejemplo 2. El polinomio que falta razonamiento
¿Qué polinomio hay que sumar a $A(x) = 3x^3 - x + 4$ para obtener $B(x) = x^3 + 2x^2 - 6$ ?

Resolución
Buscamos $X$ con $A + X = B$ , así que $X = B - A$ : $X = x^3 + 2x^2 - 6 - 3x^3 + x - 4 = -2x^3 + 2x^2 + x - 10$

Comprobación: $A + X = 3x^3 - x + 4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 10 = x^3 + 2x^2 - 6 = B$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Dados $A(x) = 4x^2 - x + 3$ , $B(x) = x^2 + 2x - 1$ y $C(x) = 3x - 2$ , calcula: a) $A + B - C$ b) $A - (B + C)$ c) $(A - B) - (B - C)$

Ver solución
a) $5x^2 - 2x + 4$ b) $3x^2 - 6x + 6$ c) $2x^2 - 2x + 3$
a) $4x^2 - x + 3 + x^2 + 2x - 1 - 3x + 2$ . b) $4x^2 - x + 3 - x^2 - 2x + 1 - 3x + 2$ . c) $A - 2B + C = 4x^2 - x + 3 - 2x^2 - 4x + 2 + 3x - 2$ .
2. Media
Quita paréntesis y corchetes y reduce: $(5x^3 - 2x) - \left[(x^3 + x^2) - (4x^2 - 3x + 1)\right]$

Ver solución
$4x^3 + 3x^2 - 5x + 1$
Interior: $(x^3 + x^2) - (4x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ . Luego: $5x^3 - 2x - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 = 4x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ .
3. Media
¿Qué polinomio hay que restar a $P(x) = 6x^2 - 2x + 1$ para obtener $Q(x) = 2x^2 + 5x - 3$ ?

Ver solución
$4x^2 - 7x + 4$
$P - X = Q \Rightarrow X = P - Q = 6x^2 - 2x + 1 - 2x^2 - 5x + 3 = 4x^2 - 7x + 4$ . Comprobación: $6x^2 - 2x + 1 - (4x^2 - 7x + 4) = 2x^2 + 5x - 3$ ✔.

Para practicar más

1. Media
Dados $P(x) = 2x^3 - x + 6$ , $Q(x) = x^3 + 3x^2 - 2$ y $R(x) = -4x^2 + x - 1$ , calcula: a) $P - Q - R$ b) $Q - (P - R)$

Ver solución
a) $x^3 + x^2 - 2x + 9$ b) $-x^3 - x^2 + 2x - 9$
a) $2x^3 - x + 6 - x^3 - 3x^2 + 2 + 4x^2 - x + 1 = x^3 + x^2 - 2x + 9$ . b) $Q - P + R = x^3 + 3x^2 - 2 - 2x^3 + x - 6 - 4x^2 + x - 1 = -x^3 - x^2 + 2x - 9$ . Fíjate en que b) es el opuesto de a).
2. Media
Quita paréntesis y corchetes y reduce: $x^2 - \left[3x - (2x^2 - x + 4)\right] + (x - 5)$

Ver solución
$3x^2 - 3x - 1$
Interior: $3x - 2x^2 + x - 4 = -2x^2 + 4x - 4$ . Luego: $x^2 + 2x^2 - 4x + 4 + x - 5 = 3x^2 - 3x - 1$ .
3. Fácil
a) ¿Qué polinomio hay que sumar a $5x^2 - 3x + 7$ para obtener 0? b) ¿Qué polinomio hay que sumar a $x^3 - 4$ para obtener $2x^3 + x^2$ ?

Ver solución
a) $-5x^2 + 3x - 7$ b) $x^3 + x^2 + 4$
a) Su opuesto: $0 - (5x^2 - 3x + 7) = -5x^2 + 3x - 7$ . b) $2x^3 + x^2 - (x^3 - 4) = x^3 + x^2 + 4$ .